小学六年级奥数教师讲义版工程问题docx.docx
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XX文库-让每个人平等地提升自我
六年级奥数第三讲工程问题
顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:
工作量=工作效率×工作时间,
工作时间=工作量÷工作效率,
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1表示,也可
工作效率指的是干工作的
快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
分析与解:
以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天,甲的工作效
例2某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。
问:
甲队干了多少天?
分析:
将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?
”这样一来,问题就简单多了。
1
XX文库-让每个人平等地提升自我
例3单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。
开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。
问:
甲队实际工作了几天?
分析与解:
乙、丙两队自始至终工作了6天,去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实际工作了
例4一批零件,张师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。
如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个?
分析与解:
这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间,
例5一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌满,单开排水管7时可将满池水排完。
如果一开始是空池,打开放水管1时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水?
例6甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。
走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。
出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇?
分析:
这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者
的关系来解答。
甲出发5分钟后返回,路上耽误10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15
2
XX文库-让每个人平等地提升自我
分钟。
我们将题目改述一下:
完成一件工作,甲需60分钟,乙需40分钟,乙先干15分钟后,甲、乙合干还需多少时间?
由此看出,这道题应该用工程问题的解法来解答。
1.某工程甲单独干10天完成,乙单独干15天完成,他们合干多少天才可完成工程的一半?
2.某工程甲队单独做需48天,乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干,后来甲队重新回来与乙队一起干了10天,将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠,甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后,剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天?
则完成任务时乙比甲多植50棵。
这批树共有多少棵?
5.修一段公路,甲队独做要用40天,乙队独做要用24天。
现在两队同时从两端开工,结果在距中点750米处相遇。
这段公路长多少米?
6.蓄水池有甲、乙两个进水管,单开甲管需18时注满,单开乙管需24时注满。
如果要求12时注满水池,那么甲、乙两管至少要合开多长时间?
7.两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需8时,比快车从
40千米。
求甲、乙两地的距离。
答案与提示练习5
天。
天。
3
XX文库-让每个人平等地提升自我
时。
提示:
甲管12时都开着,乙管开
千米。
一、单独修一条公路,甲工程队需100天完成,乙工程队需150天完成。
甲、乙两工程队合修50天后,余下的工程由乙工程队单独做,还需几天才能完成?
解:
设全部工程量为“1”,则甲队的工作效率为:
,
乙队的工作效率为:
,
余下的工作量为:
。
故还需:
(天)。
答:
余下的工程由乙独做还需25天完成。
(综合算式为:
(天))
二、单独完成某项工程,甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时,开始三人一起干,后因工作需要,甲中途调走了,结果共用了6小时完成了这项工作。
问甲实际工作了多少小时?
解法一:
甲的工作效率为,乙的工作效率为,丙的工作效率为,由此得,甲实际的工作时间为:
(小时)。
解法二:
甲的工作效率为,乙的工作效率为,丙的工作效率为,由此得,甲实际的工作时间为:
4
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(小)。
三、一件工作,甲5小完成了全部工作的,乙6小又完成剩下工作的一半,最后,余下的工作由甲、乙合做,需几小才能完成?
解:
甲的工作效率:
,
乙的工作效率:
,
余下的工作量:
,
甲、乙的工作效率和:
。
于是,需(小)。
答:
需小才能完成任。
(合算式:
(小))四、一工程,甲独做9小完成,乙独做需12小。
如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙⋯⋯的序流工作,每天每次工作1小。
那么,完成工程共需要几小?
解:
甲的工作效率,乙的工作效率,甲工作1小,乙再工作1小,即一个循完成工作量,由知,最多可以有5次循,而5次循将完成工作量:
,剩下的工作量,剩下的工作量甲需(小)即可完成。
因此,共需(小)完成工程。
五、一批零件,甲独做20小完成,乙独做30小完成。
如果甲、乙两人同做,那么完成任乙比甲少做60个零件。
批零件共有多少个?
解:
甲的工作效率,乙的工作效率,两人合做所需:
(小)。
甲、乙两人的工作效率之差。
从而两人的工作量的差。
的工作量60个零件,因此,共有零件(个)。
合算式:
(个)
答:
批零件共有300个。
六、一工程,甲独做需12天完成,乙独做需9天完成。
若甲先做若干天后乙接着做,共用
10天完成,甲做了多少天?
一、某工程,甲独做24天完成,乙独做30天完成。
甲、乙两合做8天后,余下的工作由丙独做,又做了6天才完成。
工程由丙独做需几天完成?
解:
(天)。
5
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答:
余下的工程由丙独做需15天完成。
二、一工程,甲独做20天完成,乙独做30天完成。
由两一起做,其甲休息了3
天,乙也休息了若干天,,从开始到工程完成共用了16天。
乙休息了多少天?
解:
(天)。
三、一件工程,小明4小完成了全部工作的,小5小又完成了剩下任的,最后余下的部分由小明与小合做。
完成工作共用多少小?
解:
(小)。
答:
完成工作共用了小。
四、一件工程,甲独做需24小,乙独做需18小。
若甲先做2小,然后乙接替甲做1小,再由甲接替乙做2小,再由乙独做1小⋯⋯两人如此交替工作。
完成任共用多少小?
解:
甲做2小,乙做1小一个循。
一个循完成工作量:
,
七个循完成工作量:
,
余下的工作量由甲完成,需:
(小)。
于是,完成任共需:
(小)。
答:
完成任共用小。
五、有一批待加工的零件,甲独做需4天,乙独做需5天,如果两人合作,那么完成任,甲比乙多做了20个零件。
批零件共有多少个?
解:
完成任所需的(天),
此,甲比乙多完成工作量,
于是,批零件共有(个)。
答:
批零件共有180个。
六、独完成一件工程,甲需要24天,乙需要32天。
若甲先独做若干天后乙独做,共用26天完成工作。
甲做了多少天?
6
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七、打印一份稿件,甲单独打需50分钟完成,乙单独打需30分钟完成。
现在甲单独打若干分钟后乙接着打,共42分钟打完。
问甲完成了这份稿件的几分之几?
一、单独修一条公路,甲工程队需100天完成,乙工程队需150天完成。
甲、乙两工程队合修50天后,余下的工程由乙工程队单独做,还需几天才能完成?
解:
设全部工程量为“1”,则甲队的工作效率为:
,
乙队的工作效率为:
,
余下的工作量为:
。
故还需:
(天)。
答:
余下的工程由乙独做还需25天完成。
(综合算式为:
(天))
二、单独完成某项工程,甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时,开始三人一起干,后因工作需要,甲中途调走了,结果共用了6小时完成了这项工作。
问甲实际工作了多少小时?
解法一:
甲的工作效率为,乙的工作效率为,丙的工作效率为,由此得,甲实际的工作时间为:
(小时)。
解法二:
甲的工作效率为,乙的工作效率为,丙的工作效率为,由此得,甲实际的工作时间为:
(小时)。
答:
甲实际工作了3小时。
三、一件工作,甲5小时完成了全部工作的,乙6小时又完成剩下工作的一半,最后,余下的工作由甲、乙合做,还需几小时才能完成?
解:
甲的工作效率为:
,
乙的工作效率为:
,
余下的工作量为:
,
甲、乙的工作效率和为:
。
于是,还需(小时)。
答:
还需小时才能完成任务。
7
XX文库-让每个人平等地提升自我
(合算式:
(小))
四、一工程,甲独做9小完成,乙独做需12小。
如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙⋯⋯的序流工作,每天每次工作1小。
那么,完成工程共需要几小?
解:
甲的工作效率,乙的工作效率,甲工作1小,乙再工作1小,即一个循完成工作量,
由知,最多可以有5次循,而5次循将完成工作量:
,
剩下的工作量,剩下的工作量甲需
(小)即可完成。
因此,共需(小)完成工程。
五、一批零件,甲独做20小完成,乙独做30小完成。
如果甲、乙两人同做,那么完成任乙比甲少做60个零件。
批零件共有多少个?
解:
甲的工作效率,乙的工作效率,两人合做所需:
(小)。
甲、乙两人的工作效率之差。
从而两人的工作量的差。
的工作量60个零件,因此,
共有零件(个)。
合算式:
(个)答:
批零件共有300个。
六、一工程,甲独做需12天完成,乙独做需9天完成。
若甲先做若干天后乙接着做,共用
10天完成,甲做了多少天?
一、答:
甲做了4一、甲、乙、丙三人合挖一条水渠,甲、乙合挖5天挖了水渠的1,乙、丙合
3
挖2天挖了余下的1,剩下的又由甲、丙合挖5天好挖完,甲、乙、丙三人独挖条水渠
4
分需要多少天?
解:
甲、乙的工作效率之和
1
5
1,
3
15
乙、丙的工作效率之和
1
1
1
2
1,
3
4
12
甲、丙的工作效率之和
1
1
1
1
5
1。
3
4
10
由此可知,甲、乙、丙三人的工作效率之和
1
1
1
2
1。
15
12
10
8
8
XX文库-让每个人平等地提升自我
从而甲的工作效率为
1
1
1,
8
12
24
乙的工作效率为
1
1
1,
8
10
40
丙的工作效率为
1
1
7
。
8
15
120
于是,甲单独完成需24天,乙单独完成需40天,丙单独完成需120171天。
77
答:
甲、乙、丙单独完成这条水渠分别需24天、40天、171天。
7
二、将一空池加满水,若同时开启1、2、3号进水管,则20分钟可以完成;若同时开启2、3、
4号进水管,则21分钟可以完成;若同时开启1、3、4号进水管,则28分钟可以完成;若同
时开启1、2、4号进水管,则30分钟可以完成。
求若同时开启1、2、3、4号进水管,则需多
少分钟可以完成?
若单开1号进水管,则多少分钟可以完成?
解:
1、2、3号进水管的工作效率和为1,
20
2、3、4号进水管的工作效率和为1,
21
1、3、4号进水管的工作效率和为1,
28
1、2、4号进水管的工作效率和为1。
30
相加后除3即得1、2、3、4号进水管的工作效率和:
1
1
1
1
3
1。
20
21
28
30
18
从而同时开启1、2、3、4号进水管需时
1
118(分)。
18
再结合前面的条件可知,1号进水管的工作效率为
1
1
1
18
21
126
1
于是,单开1
号进水管需时1
126(分)。
126
答:
同时开启
1、2、3、4号进水管,需时18
分钟。
单开1号进水管需时126
分钟。
三、
单独完成一件工作,甲比规定时间提前
2天完成,乙则要比规定时间推迟
3天完成。
如果先
9
XX文库-让每个人平等地提升自我
让甲、乙两人合做2天,再由乙单独完成剩下的工作,那么刚好在规定时间完成。
问甲、乙两人
合干需多少天完成?
规定时间是几天?
解:
由题设知,乙比甲多用2+3=5(天),且甲做2天相当于乙做3天,即乙所需时间为甲所需时间的
3倍,
2
从而,甲所需时间为5
3
10(天)。
1
2
(这是差倍问题),乙所需时间为103
15(天),
2
于是,甲、乙合做需时
1
1
(天)。
1
6
10
15
规定时间为10+2=12(天)(或15-3=12(天))。
答:
甲、乙合做需6天,规定时间为12
天。
四、
一件工作甲先做
6小时,乙再接着做12小时可以完成;甲先做
8小时,乙接着做6小时也
可以完成。
问:
如果甲先做
3小时,那么乙再做几小时就可以完成?
甲、乙单独完成分别要多少
小时?
解:
比较可知,甲1小时的工作量等于乙3小时的工作量,由此,
甲单独做需:
6+12÷3=10(小时)。
乙单独做需:
12+3×6=30(小时)。
若甲先做3小时,则乙还需做
12+3×(6-3)=21(小时),
或3×(10-3)=21(小时)。
答:
甲先做3小时,乙再做21小时完成;甲、乙单独完成分别需10小时、30小时。
五、甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做,恰好整数天完成。
若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做,则比原计划多用1天;若按丙、甲、乙的顺序每人一
2
天轮流去做,则比原计划多用1天。
已知甲单独做完这件工作要13天,问:
甲、乙、丙三人一
3
10
XX文库-让每个人平等地提升自我
起做这件工作要用多少天完成?
解:
由题设甲的工作效率为1,而对于甲、乙、丙次序的安排,结束工作的只可能为甲或乙。
分两
13
种情况讨论:
(1)结束工作的是甲。
此时,第一种安排的收尾是甲做1天,第二种安排的收尾为乙做1天,丙做
1天,第三种安排的收尾为丙做1天,甲做1天。
但这三种收尾的工作量相等。
所以,比较可知,
23
丙的工作效率为甲的2,乙的工作效率也为甲的2。
从而,原计划的工作时间为
3
3
1
1
1
1
1
2
1
2
3
163,
13
13
13
3
13
3
7
不是整数,与题设矛盾,即这种情况不可能。
(2)结束工作的是乙。
此时,第一种安排的收尾为甲做
1天,乙做1天;第二种安排的收尾为乙做
1天,丙做1天,甲做1天;第三种安排的收尾为丙做
1天,甲做1天,乙做1天。
但这三种收尾
2
3
工作量都相等,所以,比较可知,丙的工作效率为甲的
1,乙的工作效率为甲的3。
从而,原计划的
2
4
工作时间为
1
1
3
1
1
3
1
1
21
13
4
13
13
4
13
317(天)
13
2
为整天,符合要求。
因此,甲、乙、丙一起完成这件工作需
1
1
1
3
1
1
5
7
(天)。
13
13
4
13
2
9
答:
甲、乙、丙合做需
57
天。
9
元。
已知甲、乙先合做8天完成工程的1
六、
甲、乙、丙三人合作完成一件工程,共得报酬1800
,
3
接着乙、丙合做2天完成余下的1,最后三人合做5天完成全部工程。
今按劳取酬,问甲、乙、
4
丙三人每人可得报酬多少元?
11
XX文库-让每个人平等地提升自我
解:
甲、乙的工作效率和为
1
8
1,
3
24
乙、丙的工作效率和为
1
1
1
2
1
,
3
4
12
甲、乙、丙的工作效率和为
1
1
1
1
5
1,
3
4
10
于是甲的工作效率为
1
1
1,
10
12
60
乙的工作效率为
1
1
1,
24
60
40
丙的工作效率为1
1
7
,从而,
10
24
120
甲应得报酬
1800
1
8
5
390(元),
60
乙应得报酬
1800
1
8
25
675(元),
40
7
丙应得报酬180025735(元),
120
或=735(元)
答:
甲、乙、丙三人每人可得报酬390元、675元、735元。
天。
一项工程,甲、乙两队合做需12天完成,乙、丙两队合做需15天完成,甲、丙两队合做需20天完成。
问甲、乙、丙单独完成分别需多少天?
三队合作需多少天完成?
解:
甲、乙的工作效率和为1,
12
乙、丙的工作效率和为1,
15
甲、丙的工作效率和为1。
20
于是,甲、乙、丙三人的工作效率和为
1
1
1
2
1,
12
15
20
10
即甲、乙、丙三人合做需10天。
甲、乙、丙的工作效率分别为
12
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11
1,11
1,11
1
10
15
30
10
20
20
10
12
60
于是,甲、乙、丙独做分需要
30
天、20
天、60
天。
答:
甲、乙、丙独完成分需要
30
天、20
天、60
天,三合作需10天。
一、
某工程由一、二、三三个小合干需8
天完成;由二、三、四三个小合干需
10天完
成;由一、四两个小合干需15天完成。
二、三合干需多少天完成?
四小合干需多少天完成?
解:
一、二、三小的工作效率和
1,二、三、四小的工作效率和
1,一、四小的工
作效率和1。
8
10
15
于是,一、二、三、四小的工作效率和:
1
1
1
2
7。
8
10
15
48
由此,二、三合干需240
1212(天),
19
19
四个合干需48
6
6(天)。
7
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