1、小学六年级奥数教师讲义版工程问题docxXX文库 - 让每个人平等地提升自我六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量 =工作效率工作时间，工作时间 =工作量工作效率，工作效率 =工作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”
2、，或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 分析与解： 以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析： 将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。1XX文库 - 让每个人平等
3、地提升自我例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解： 乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？分析与解： 这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管， 单开放水管 5 时可将空池灌满， 单
4、开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池， 打开放水管 1 时后又打开排水管， 那么再过多长时间池内将积有半池水？例 6 甲、乙二人同时从两地出发， 相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发 152XX文库 - 让每个人平等地提升自我分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙
5、需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。1.某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙
6、队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8 时，比快车从40千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示 练习 5天。天。3XX文库 - 让每个人平等地提升自我时。提示：甲管 12 时都开着，乙管开千米。一、 单独修一条公路，甲工程队需 100 天完成，乙工程队需 150 天完成。甲、乙两工程队合修 50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完
7、成？解：设全部工程量为“ 1”，则甲队的工作效率为： ，乙队的工作效率为： ，余下的工作量为： 。故还需： （天）。答：余下的工程由乙独做还需 25 天完成。（综合算式为： （天）二、 单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、 15 小时、 20 小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。解法二：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：4XX文库 - 让每个人平等地提升自我（
8、小 ）。三、 一件工作，甲 5 小 完成了全部工作的 ，乙 6 小 又完成剩下工作的一半， 最后，余下的工作由甲、乙合做， 需几小 才能完成？解：甲的工作效率 ： ，乙的工作效率 ： ，余下的工作量 ： ，甲、 乙的工作效率和 ： 。于是， 需 （小 ）。答： 需 小 才能完成任 。（ 合算式： （小 ）四、 一 工程，甲 独做 9 小 完成，乙 独做需 12 小 。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙的 序 流工作， 每天每次工作 1 小 。那么，完成 工程共需要几小 ？解：甲的工作效率 ，乙的工作效率 ，甲工作 1 小 ，乙再工作 1 小 ，即一个循 完成工作量，由 知，最多可以有 5 次循 ，
9、而 5 次循 将完成工作量： ， 剩下 的工作量，剩下的工作量甲 需（小 ）即可完成。因此，共需 （小 ）完成 工程。五、 一批零件，甲独做 20 小 完成，乙独做 30 小 完成。如果甲、乙两人同 做，那么完成任 乙比甲少做 60 个零件。 批零件共有多少个？解：甲的工作效率 ，乙的工作效率 ，两人合做所需 ： （小 ）。甲、乙两人的工作效率之差 。从而两人的工作量的差 。的工作量 60 个零件，因此，共有零件 （个）。 合算式 ： （个）答： 批零件共有 300 个。六、 一 工程，甲 独做需 12 天完成，乙 独做需 9 天完成。若甲先做若干天后乙接着做， 共用10天完成， 甲做了多少天
10、？一、 某工程，甲 独做 24 天完成，乙 独做 30 天完成。甲、乙两 合做 8 天后，余下的工作由丙 独做，又做了 6 天才完成。 工程由丙 独做需几天完成？解： （天）。5XX文库 - 让每个人平等地提升自我答：余下的工程由丙 独做需 15 天完成。二、 一 工程，甲 独做 20 天完成，乙 独做 30 天完成。 由两 一起做，其 甲 休息了 3天，乙 也休息了若干天， ，从开始到工程完成共用了 16 天。 乙 休息了多少天？解： （天）。三、 一件工程，小明 4 小 完成了全部工作的 ，小 5 小 又完成了剩下任 的 ，最后余下的部分由小明与小 合做。 完成 工作共用多少小 ？解： （
11、小 ）。答：完成 工作共用了 小 。四、 一件工程，甲独做需 24 小 ，乙独做需 18 小 。若甲先做 2 小 ，然后乙接替甲做 1 小 ，再由甲接替乙做 2 小 ，再由乙独做 1 小 两人如此交替工作。 完成任 共用多少小 ？解：甲做 2 小 ，乙做 1 小 一个循 。一个循 完成工作量： ，七个循 完成工作量： ，余下的工作量由甲完成，需： （小 ）。于是，完成 任 共需： （小 ）。答：完成任 共用 小 。五、 有一批待加工的零件， 甲 独做需 4 天，乙 独做需 5 天，如果两人合作， 那么完成任 ，甲比乙多做了 20 个零件。 批零件共有多少个？解：完成任 所需的 （天），此 ，甲
12、比乙多完成工作量 ，于是， 批零件共有 （个）。答： 批零件共有 180 个。六、 独完成一件工程，甲需要 24 天，乙需要 32 天。若甲先独做若干天后乙 独做， 共用 26 天完成工作。 甲做了多少天？6XX文库 - 让每个人平等地提升自我七、 打印一份稿件，甲单独打需 50 分钟完成，乙单独打需 30 分钟完成。现在甲单独打若干分钟后乙接着打，共 42 分钟打完。问甲完成了这份稿件的几分之几？一、 单独修一条公路，甲工程队需 100 天完成，乙工程队需 150 天完成。甲、乙两工程队合修 50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？解：设全部工程量为“ 1”，则甲队的工作效
13、率为： ，乙队的工作效率为： ，余下的工作量为： 。故还需： （天）。答：余下的工程由乙独做还需 25 天完成。（综合算式为： （天）二、 单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、 15 小时、 20 小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。解法二：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。答：甲实际工作了 3 小时。三、 一件工作，甲 5 小时完成了全部工作的 ，
14、乙 6 小时又完成剩下工作的一半， 最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？解：甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，余下的工作量为： ，甲、 乙的工作效率和为： 。于是，还需 （小时）。答：还需 小时才能完成任务。7XX文库 - 让每个人平等地提升自我（ 合算式： （小 ）四、 一 工程，甲 独做 9 小 完成，乙 独做需 12 小 。如果按照甲、 乙、甲、乙、甲、乙的 序 流工作，每天每次工作 1 小 。那么，完成 工程共需要几小 ？解：甲的工作效率 ，乙的工作效率 ，甲工作 1 小 ，乙再工作 1 小 ，即一个循 完成工作量，由 知，最多可以有 5 次循 ，而 5 次循 将完
15、成工作量： ， 剩下 的工作量，剩下的工作量甲 需（小 ）即可完成。因此，共需 （小 ）完成 工程。五、 一批零件，甲独做 20 小完成，乙独做 30 小 完成。如果甲、乙两人同 做，那么完成任 乙比甲少做 60 个零件。 批零件共有多少个？解：甲的工作效率 ，乙的工作效率 ，两人合做所需 ： （小 ）。甲、乙两人的工作效率之差 。从而两人的工作量的差 。 的工作量 60 个零件，因此，共有零件 （个）。 合算式 ： （个）答： 批零件共有 300 个。六、 一 工程，甲 独做需 12 天完成，乙 独做需 9 天完成。若甲先做若干天后乙接着做， 共用10天完成， 甲做了多少天？一、 答：甲做了
16、 4 一、甲、乙、丙三人合挖一条水渠，甲、乙合挖 5 天挖了水渠的 1 ，乙、丙合3挖 2 天挖了余下的 1 ，剩下的又由甲、丙合挖 5 天 好挖完， 甲、乙、丙三人 独挖 条水渠4分 需要多少天？解：甲、乙的工作效率之和 151 ，315乙、丙的工作效率之和 11121 ，3412甲、丙的工作效率之和 111151 。3410由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和 11121 。15121088XX文库 - 让每个人平等地提升自我从而甲的工作效率为111 ，81224乙的工作效率为111 ，81040丙的工作效率为117。815120于是，甲单独完成需 24 天，乙单独完成需 40 天，丙单
17、独完成需 120 17 1 天。7 7答：甲、乙、丙单独完成这条水渠分别需 24 天、40 天、 171 天。7二、 将一空池加满水，若同时开启 1、2 、 3 号进水管，则 20 分钟可以完成；若同时开启 2、 3 、4 号进水管，则 21 分钟可以完成；若同时开启 1 、3 、4 号进水管，则 28 分钟可以完成；若同时开启 1 、2、4 号进水管，则 30 分钟可以完成。求若同时开启 1、 2、 3、 4 号进水管，则需多少分钟可以完成？若单开 1 号进水管，则多少分钟可以完成？解： 1 、2、3 号进水管的工作效率和为 1 ，202 、3、 4 号进水管的工作效率和为 1 ，211 、
18、3、 4 号进水管的工作效率和为 1 ，281 、2、 4 号进水管的工作效率和为 1 。30相加后除 3 即得 1 、2、3 、4 号进水管的工作效率和：111131 。2021283018从而同时开启 1、 2、 3、 4 号进水管需时11 18 （分）。18再结合前面的条件可知， 1 号进水管的工作效率为11118211261于是，单开 1号进水管需时 1126 （分）。126答：同时开启1、 2、 3、 4 号进水管，需时 18分钟。单开 1 号进水管需时 126分钟。三、单独完成一件工作，甲比规定时间提前2 天完成，乙则要比规定时间推迟3 天完成。如果先9XX文库 - 让每个人平等地
19、提升自我让甲、乙两人合做 2 天，再由乙单独完成剩下的工作，那么刚好在规定时间完成。问甲、乙两人合干需多少天完成？规定时间是几天？解：由题设知 ,乙比甲多用 2+3=5( 天 ),且甲做 2 天相当于乙做 3 天,即乙所需时间为甲所需时间的3 倍,2从而 ,甲所需时间为 5310 (天)。12（这是差倍问题），乙所需时间为 10 315 （天），2于是，甲、乙合做需时11（天）。161015规定时间为 10+2=12 （天）（或 15-3=12 （天）。答：甲、乙合做需 6 天，规定时间为 12天。四、一件工作甲先做6 小时，乙再接着做 12 小时可以完成；甲先做8 小时，乙接着做 6 小时也
20、可以完成。问：如果甲先做3 小时，那么乙再做几小时就可以完成？甲、乙单独完成分别要多少小时？解：比较可知，甲 1 小时的工作量等于乙 3 小时的工作量，由此，甲单独做需： 6+12 3=10（小时）。乙单独做需： 12+ 3 6=30（小时）。若甲先做 3 小时，则乙还需做12+3（6-3）=21（小时），或 3 （ 10-3）=21（小时）。答：甲先做 3 小时，乙再做 21 小时完成；甲、乙单独完成分别需 10 小时、 30 小时。五、 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用 1 天；若按丙、甲、
21、乙的顺序每人一2天轮流去做，则比原计划多用 1 天。已知甲单独做完这件工作要 13 天，问：甲、乙、丙三人一310XX文库 - 让每个人平等地提升自我起做这件工作要用多少天完成？解：由题设甲的工作效率为 1 ，而对于甲、乙、丙次序的安排，结束工作的只可能为甲或乙。分两13种情况讨论：（ 1）结束工作的是甲。此时，第一种安排的收尾是甲做 1 天，第二种安排的收尾为乙做 1 天，丙做1天，第三种安排的收尾为丙做 1 天，甲做 1 天。但这三种收尾的工作量相等。所以，比较可知，2 3丙的工作效率为甲的 2 ，乙的工作效率也为甲的 2 。从而，原计划的工作时间为33111112123163，13131
22、331337不是整数，与题设矛盾，即这种情况不可能。（ 2）结束工作的是乙。此时，第一种安排的收尾为甲做1 天，乙做 1 天；第二种安排的收尾为乙做1 天，丙做 1 天，甲做 1 天；第三种安排的收尾为丙做1 天，甲做 1 天，乙做 1 天。但这三种收尾23工作量都相等，所以，比较可知，丙的工作效率为甲的1 ，乙的工作效率为甲的 3 。从而，原计划的24工作时间为113113112 113413134133 17 （天）132为整天，符合要求。因此，甲、乙、丙一起完成这件工作需11131157（天）。131341329答：甲、乙、丙合做需5 7天。9元。已知甲、乙先合做 8 天完成工程的 1六
23、、甲、乙、丙三人合作完成一件工程， 共得报酬 1800，3接着乙、丙合做 2 天完成余下的 1 ，最后三人合做 5 天完成全部工程。今按劳取酬，问甲、乙、4丙三人每人可得报酬多少元？11XX文库 - 让每个人平等地提升自我解：甲、乙的工作效率和为181 ，324乙、丙的工作效率和为11121，3412甲、乙、丙的工作效率和为111151 ，3410于是甲的工作效率为111 ，101260乙的工作效率为111 ，246040丙的工作效率为 117，从而，1024120甲应得报酬1800185390 （元），60乙应得报酬18001825675 （元），407丙应得报酬 1800 2 5 735
24、（元），120或 =735 （元）答：甲、乙、丙三人每人可得报酬 390 元、 675 元、 735 元。天。一项工程，甲、乙两队合做需 12 天完成，乙、丙两队合做需 15 天完成，甲、丙两队合做需 20 天完成。问甲、乙、丙单独完成分别需多少天？三队合作需多少天完成？解：甲、乙的工作效率和为 1 ，12乙、丙的工作效率和为 1 ，15甲、丙的工作效率和为 1 。20于是，甲、乙、丙三人的工作效率和为11121 ，12152010即甲、乙、丙三人合做需 10 天。甲、乙、丙的工作效率分别为12XX文库 - 让每个人平等地提升自我1 11，1 11，1 11101530102020101260于是，甲、乙、丙 独做分 需要30天、 20天、 60天。答：甲、乙、丙 独完成分 需要30天、 20天、 60天，三 合作需 10 天。一、某工程由一、二、三三个小 合干需 8天完成；由二、三、四三个小 合干需10 天完成；由一、四两个小 合干需 15 天完成。 二、三 合干需多少天完成？四小 合干需多少天完成？解：一、二、三小 的工作效率和 1 ，二、三、四小 的工作效率和 1 ，一、四小 的工作效率和 1 。81015于是，一、二、三、四小 的工作效率和 ：11127 。8101548由此，二、三 合干需 2401212 （天），1919四个 合干需 4866 （天）。7
