第1章 11 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx
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第1章11第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标
核心素养
1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(重点)
2.正确地理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(易混点)
3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.(难点)
1.通过两个计数原理的学习,体现了逻辑推理的素养.
2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题,提升数学运算的素养.
1.分类加法计数原理
思考1:
若完成一件事情有几类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同方法?
[提示] 共有m1+m2+…+mn种不同方法.
2.分步乘法计数原理
思考2:
完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有多少种不同的方法?
[提示] 共有m1×m2×…×mn种不同的方法.
1.从甲地到乙地有两类交通方式:
坐飞机和乘轮船,其中飞机每天有3班,轮船有4班.若李先生从甲地去乙地,则不同的方法共有( )
A.3种B.4种
C.7种D.12种
C [由分类加法计数原理,从甲地去乙地共3+4=7(种)不同的方法.]
2.已知x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则x·y可表示不同的值的个数为( )
A.10个B.6个
C.8个D.9个
D [因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值,y从集合{-3,-4,8}中任取一个值共有3个不同的值,故x·y可表示3×3=9个不同的值.]
3.某商场共有4个门,购物者若从任意一个门进,从任意一个门出,则不同走法的种数是________.
16 [不同的走法可以看作是两步完成的,第一步是进门共有4种;第二步是出门,共有4种.由分步乘法计数原理知共有4×4=16(种).]
利用分类加法计数原理解题
【例1】 在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个?
[思路点拨] 根据情况安排个位、十位上的数字.
先确定分类标准,再求出每一类的个数,最后得结论.
[解] 法一:
分析个位数,可分以下几类:
个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;
个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;
同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个;……;个位是2的只有1个.
由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有
1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
法二:
按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有
8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
法三:
将个位比十位数字大的两位数一一写出:
12,13,14,15,16,17,18,19,
23,24,25,26,27,28,29,
34,35,36,37,38,39,
45,46,47,48,49,
56,57,58,59,
67,68,69,
78,79,
89.
共有36个符合题意的两位数.
1.(变结论)本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数.
[解] 当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个.
当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个.
当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个.
同理可知,当个位数字是2时,共7个.
当个位数字是0时,共9个.
由分类加法计数原理知,符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(个).
2.(变条件,变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数?
[解] 分三类:
①第一类为一位整数,有1,2,3,共3个;
②第二类为二位整数,有12,13,21,23,31,32,共6个;
③第三类为三位整数,有123,132,213,231,312,321,共6个.
∴共组成3+6+6=15个无重复数字的整数.
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
提醒:
确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事.
利用分步乘法计数原理解题
【例2】 已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示多少个不同的圆?
[思路点拨] 确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径,可以用分步乘法计数原理解决.
[解] 完成表示不同的圆这件事,可以分为三步:
第一步:
确定a有3种不同的选取方法;
第二步:
确定b有4种不同的选取方法;
第三步:
确定r有2种不同的选取方法.
由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有3×4×2=24(个).
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
提醒:
分步时要注意不能遗漏步骤,否则就不能完成这件事.
1.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点.问:
(1)点P可表示平面上多少个不同的点?
(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点?
[解]
(1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:
第1步确定a的值,有6种不同的结果;第2步确定b的值,也有6种不同的结果.根据分步乘法计数原理,得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6=36.
(2)确定平面上第二象限内的点P(a,b),可分两步完成:
第1步确定a的值,由于a<0,所以有3种不同的结果;第2步确定b的值,由于b>0,所以有2种不同的结果.由分步乘法计数原理,得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2=6.
两个计数原理的简单综合应用
[探究问题]
如何区分一个问题是“分类”还是“分步”?
[提示] 如果完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步.
【例3】 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用,共有多少种不同的取法?
(2)某人手机是双卡双待机,想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用,问一共有多少种不同的取法?
[思路点拨]
[解]
(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况:
第一类:
从第一个袋子中取一张移动手机卡,共有10种取法;
第二类:
从第二个袋子中取一张联通手机卡,共有12种取法.
根据分类加法计数原理,共有10+12=22种取法.
(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行:
第一步,从第一个袋子中任取一张移动手机卡,共有10种取法.
第二步,从第二个袋子中任取一张联通手机卡,共有12种取法.
根据分步乘法计数原理,共有10×12=120种取法.
利用两个计数原理的解题策略
用两个计数原理解决具体问题时,首先,要分清是“分类”还是“分步”,区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否完成这件事情.其次,要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性;有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或“先分步后分类”.
2.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.
(1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法?
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法?
[解]
(1)分三类:
第一类,选出的是医生,有3种选法;
第二类,选出的是护士,有5种选法;
第三类,选出的是麻醉师,有2种选法.
根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10(种)选法.
(2)分三步:
第一步,选1名医生,有3种选法;
第二步,选1名护士,有5种选法;
第三步,选1名麻醉师,有2种选法.
根据分步乘法计数原理知,共有3×5×2=30(种)选法.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事,共有n类办法,关键词是“分类”
完成一件事,共分n个步骤,关键词是“分步”
区别二
每一类办法都能独立地完成这件事
只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的,分类要做到“不重不漏”
各步之间是关联的、独立的,分步要做到“步骤完整”
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )
A.7 B.12
C.64D.81
B [先从4件上衣中任取一件共4种选法,再从3条长裤中任选一条共3种选法,由分步乘法计数原理,上衣与长裤配成一套共4×3=12(种)不同配法.故选B.]
3.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A.1+1+1=3B.3+4+2=9
C.3×4×2=24D.以上都不对
B [分三类:
第一类,乘汽车,从3次中选1次有3种走法;第二类,乘火车,从4次中选1次有4种走法;第三类,乘轮船,从2次中选1次有2种走法.所以,共有3+4+2=9种不同的走法.]
4.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?
(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?
[解]
(1)分为三步:
国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.
(2)分为三类:
第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法.
第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法.
第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法.
所以有10+35+14=59种不同的选法.
课时分层作业
(一)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(建议用时:
60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有6名同学只会用综合法证明,有4名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为( )
A.10B.16
C.20D.24
A [每一种方法都能证明该问题,根据分类加法计数原理,共有6+4=10种不同的选法.]
2.甲、乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )
A.6种B.12种
C.30种D.36种
B [∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门,
∴由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种.]
3.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40B.16
C.13D.10
C [根据直线与直线外一点可以确定一个平面,得:
a上任一点与直线b确定一平面,共5个;b上任一点与直线a确定一平面,共8个,由分类加法计数原理得共有5+8=13个.]
4.给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共有( )
A.8本B.9本
C.12本D.18本
D [完成这件事可以分为三步.第一步确定首字符,共有2种方法;第二步确定第二个字符,共有3种方法;第三步确定第三个字符,共有3种方法.所以不同编号的书共有2×3×3=18(本),故选D.]
5.晓芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则李芳不同的选择穿衣服的方式有( )
A.24种B.14种
C.10种D.9种
B [首先分两类.第一类是穿衬衣和裙子,由分步乘法计数原理知共有4×3=12种,第二类是穿连衣裙有2种.所以由分类加法计数原理知共有12+2=14种穿衣服的方式.]
二、填空题
6.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,不同的行车路线有________条.
12 [经过一次十字路口可分两步:
第一步确定入口,共有4种选法;第二步,确定出口,从剩余3个路口任选一个共3种,由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3=12条.]
7.某班2019年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为________.
42 [将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法,再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法,利用分步乘法计数原理,共有插入方法:
6×7=42(种).]
8.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有________个.
36 [第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数6×6=36(个).]
三、解答题
9.王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读.
(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不同的带法?
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本,有多少种不同的带法?
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法?
[解]
(1)要完成的事情是带1本参考书,无论是带外语书,还是带数学书、物理书,事情都可完成,从而根据分类加法计数原理,共有5+4+3=12种不同的带法.
(2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中各选1本后,才能完成这件事,因此根据分步乘法计数原理,共有5×4×3=60种不同的带法.
(3)选1本外语书和1本数学书应用分步乘法计数原理,有5×4=20种选法;同样,选外语书、物理书各1本,有5×3=15种选法;选数学书、物理书各1本,有4×3=12种选法.即有三类情况,根据分类加法计数原理,共有20+15+12=47种不同的带法.
10.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,组成数对(m,n),问:
(1)有多少个不同的数对?
(2)其中m>n的数对有多少个?
[解]
(1)∵集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,组成数对(m,n),先选出m有5种结果,再选出n有5种结果,根据分步乘法计数原理知共有5×5=25个不同的数对.
(2)在
(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解.当m=2时,n=1,有1个数对;当m=4时,n=1,3,有2个数对;当m=6时,n=1,3,5,有3个数对;当m=8时,n=1,3,5,7,有4个数对;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5个数对.综上所述共有1+2+3+4+5=15个数对.
[能力提升练]
1.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上,若火车A不能停在第1道上,则5列火车的停车方法共有( )
A.96种B.24种
C.120种D.12种
A [先排第1轨道,有4种排法,第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种,由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1=96种.]
2.将3封不同的信投到4个不同的邮箱,则不同的投法种数为( )
A.7B.12
C.81D.64
D [第一步,第一封信可以投到4个邮箱,有4种投法;第二步,第二封信可以投到4个邮箱,有4种投法;第三步,第三封信可以投到4个邮箱,有4种投法.根据分步乘法计数原理,得不同的投法的种数为4×4×4=64,选D.]
3.4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛,4人都来争夺这三项冠军,则冠军分配方法的种数是________.
64 [因为跳高冠军的分配有4种不同的方法,
跳远冠军的分配有4种不同的方法,
游泳冠军的分配有4种不同的方法,
所以根据分步乘法计数原理,冠军的分配方法有4×4×4=64(种).]
4.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有________个.
17 [分两类:
第1类,M中的元素作横坐标,N中的元素作纵坐标,则有3×3=9个在第一、二象限内的点;第2类,N中的元素作横坐标,M中的元素作纵坐标,则有4×2=8个在第一、二象限内的点.由分类加法计数原理,共有9+8=17个点在第一、二象限内.]
5.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法;
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?
[解] 从O型血的人中选1人有28种不同的选法;
从A型血的人中选1人有7种不同的选法;
从B型血的人中选1人有9种不同的选法;
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理.有28+7+9+3=47种不同的选法.
(2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理.
有28×7×9×3=5292种不同的选法.
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