平行线相交线角经典例题讲解 与练习.docx
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平行线相交线角经典例题讲解与练习
平行线、相交线、角经典例题讲解与练习
平行线与相交线
(1)
一、知识概述
(一)从台球桌面上的角,引出有关角的概念
1、两角互余、互补的概念及性质
(1)定义:
如果两个角的和是180°,那么这两个角互为补角.(如图)简称互补.
如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角.(如图)简称互余.
说明:
①互余、互补是指两个角的关系.
②互补或互余的两个角,只与它们的和有关,而与其位置无关.
③用数学语言表述为:
若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互补;反之,若∠α与∠β互补,则∠α+∠β=180°.
若∠α+∠β=90°,则∠α与∠β互余;反之若∠α与∠β互余,则∠α+∠β=90°.
(2)性质:
①同角或等角的补角相等.
②同角或等角的余角相等.
2、对顶角的概念
(1)如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.如图中的
∠1和∠3,∠2和∠4是对顶角.
由对顶角的位置特点也可将其描述为:
①两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角叫做对顶角.
②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.
说明:
只有两条直线相交时,才能产生对顶角,对顶角是成对出现的.
③对顶角的本质特征是:
两个角有公共顶点,其两边互为反向延长线.
(2)对顶角的性质:
对顶角相等.
(二)探索直线平行的条件
1、两条直线相交构成四个有公共顶点的角.一条直线与两条直线相交得八个角,简称“三线八角”,则
不共顶点的角的位置关系有同位角、内错角、同旁内角.
如图所示,直线AB、CD被直线EF所截,形成了8个角.
(1)同位角:
两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角.如∠1和∠5,∠3和∠7,∠4和∠8,∠2和∠6.
(2)内错角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角.例如∠3和∠5,∠4和∠6.
(3)同旁内角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同旁内角.例如∠4和∠5,∠3和∠6.
2、两条直线平行的条件:
两条直线被第三条直线所截,如果
(1)同位角相等,两直线平行.
(2)内错角相等,两直线平行.(3)同旁内角互补,两直线平行.
二、重难点知识剖析
1、互为补角和互为邻补角的关系.互为补角是两个角的和为180°,与它们的位置无关. 而互为邻补角既与它们的和为180°有关,又与位置有关,不要混淆.
2、灵活运用互余、互补等知识点以及对顶角的性质列方程求解,即学会用代数法解几何题的方法.
3、证明两直线平行时,必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而
成的,因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.
平行线与相交线
(2)
一、知识概述
1、平行线的特征
特征一:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简单说成“两直线平行,同位角相等”,使用方
法如图:
∵a∥b,∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
特征二:
两直线平行,内错角相等.
使用方法:
∵a∥b,∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)
特征三:
两直线平行,同旁内角互补.
使用方法:
∵a∥b,∴∠2+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、直线平行的条件与平行线的特征的区分表
。
3、尺规作图的意义在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图。
虽然尺规也是画图工具,但尺规作图不同于用工具画图,尺规作图只限于用无刻度的直尺和圆规,直尺用于根据两点的位置作直线、射线、线段或作延长线,圆规用于根据圆心位置、半径大小作弧或圆。
所以作图题都应用直尺或圆规作图,而不能把用三角尺画直角、画平行线等当作尺规作图。
本节课要求会利用尺、规作线段和一个角等于已知角等。
二、重难点知识剖析
三、
1、
(1)同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,都是平行线特有的性质,切不可忽略前提条件:
“两直线平行”。
当两直线不平行时,同位角、内错角就不相等,同旁内角不互补
(2)只要两条直线被第三条直线所截,都存在同位角、内错角,但不一定相等,同旁内角不一定互补
2、要分清平行线的识别和平行线的特征之间的关系,不要混淆运用,同时要学会综合运用这两者之间都是存在着“位置关系”和“数量关系”,其中由“数量关系”去确定“位置关系”是平行线的识别方法和过程,反之是平行线的特征。
3、用尺、规作线段和角时,要学会叙述几何作图语言,如过点×作直线××与直线××平行,或以点×为圆心,以××为半径作弧,等等。
平行线与相交线
一、余角和补角:
1、余角:
定义:
如果两个角,那么称这两个角互为余角。
性质:
同角或等角的余角。
2、补角:
定义:
如果两个角,那么称这两个角互为补角。
性质:
同角或等角的补角。
二、对顶角:
我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
对顶角的性质:
。
三、同位角、内错角、同旁内角:
直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。
请指出其中哪些角是同位角、内错角、同旁内角。
四、平行线的判定:
1、两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
简称:
。
2、两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。
简称:
。
3、两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。
简称:
。
补充平行线的判定方法:
(1)的两直线平行。
(2)在同一平面内,的两直线平行。
(3)平行线的定义:
五、平行线的性质:
(1)。
(2)。
(3)。
六、尺规作图:
1、作一条线段等于已知线段。
2、作一个角等于已知角。
例题
例1、如图,已知∠C=70º∠1=70º,∠2=30º,那么∠B=_______。
例2、在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路,从甲地测得公路走向是北偏东30。
甲、乙两地同时开工,若干天后公路通,乙地所修公路的走向是南偏西多少度?
为什么?
例3、用吸管吸易拉罐内的饮料时,如图所示∠1=110º,则∠2=______。
(易拉罐的上、下底面互相平行)
例4、有一残缺梯形片,AD//BC测得∠A=115,∠D=100。
请求出另两个角的度数并说明理由。
例5.如图所示,由下列条件
,
,
,可以判定那两条直线平行,并说明判定的依据。
练习
1、已知∠a=350,则∠a的余角是____度,补角____度。
2、如图,l1//l2,a//b,∠1=700,那么∠2=_____,∠3=_____,∠4=_____.
3、已知,∠ACB=900,CD⊥AB.
(a)找出图中互余的角.
(b)找出图中相等的角,并说明理由.
4、一个排水管道ABCD,要求AB//CD,BC//ED,现在质量检验员量得∠B=600,∠C=600,∠D=1200,你认为这个排水管道符合要求吗?
为什么?
思考:
一个角的余角与这个角的补角的一半互为余角,求这个角。
七年级数学(下)
第五章相交线与平行线练习题
班级_________姓名
一、选择题(每题3分,总45分)
1、如图,∠1与∠2是对顶角的是()
1
2
1
1
1
2
2
2
A、B、C、D、
2、如图1,∠AOC的邻补角是()
A、∠BOCB、∠BODC、∠BOC和∠AODD、无法确定
A
D
B
C
A
D
C
B
O
A
B
P、..
图1图2图3
3、已知,∠1与∠2互为邻补角,∠1=40°,则∠2为多少度()
A、20°B、40°C、80°D、140°
4、如图2,已知直线AB及点P,过点P画直线AB的垂线有几条()
A、不能画,B、只能画一条C、可以画两条D、可以画无数条
5、如图3,表示A到BC的距离的线段()
A、ABB、AC
2
C、BCD、AD
6、如图4,找出∠1的同位角()
A、∠2B、∠3C、∠4D、无同位角
1
3
4
A
B
E
F
C
D
1
2
图4图5图6
7、下列说话正确的是()
A、互补的两个角一定是邻补角B、同一平面内,b//a,c//a,则b//c
C、同一平面内,
D相等的角一定是对顶角。
8,如图5,∠1=∠2,则有()
A、EB//CF,B、AB//CF,C、EB//CD,D、AB//CD,
9、如图6,已知∠1=80°,m//n,则∠4=()
A、100°,B、70°C、80°,D、60°,
10、如图7,AB//EF,BC//DE,∠B=40°,则∠E=()
A、90°,B、120°C、140°,D、360°,
A
B
E
F
C
D
A
B
E
F
C
D
2
c
d
a
5
b
3
1
2
图7图8图9
11、如图8,∠1=∠2,∠5=70°则∠3=()
A、110°,B、20°C、70°,D、90°,
12、如图9,AB//CD//EF,那么∠A+∠ADE+∠E=()
A、270°,B、180°C、360°,D、90°,
A
B
O
C
13、如图10,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB//CD的是()
A、∠1=∠2,B、∠3=∠4C、∠D=∠DCED∠D+∠ACD=180°
A
B
E
F
C
D
C
1
E
B
A
3
D
2
4
图10图11
14、下列说法正确的是()
A、平移只改变原图形的大小,形状,位置。
B、定理一定是真命题。
C、同位角相等是真命题。
D、同一平面内,过直线外一点能画出无数条直线与已知直线平行。
15、如图11,AB//CD//EF,∠ABE=38°,∠BCD=100°,则∠BEC=()
A、42°,B、32°C、62°,D、38°,
二、填空题(每题3分,总15分)
16、∠1与∠2互为对顶角∠2=30°,∠1=。
17、如图12,∠AOC=31°,∠BOC=59°,则OA与OB的位置关系。
18、如图13,∠1与∠2互为(填同位角、同旁内角,内错角)。
19、如图14,当∠DAC=∠BCA,则AD//。
20、如图15,AE//CD,DE平分∠ADC,∠EAD=50°则∠DEA=。
C
A
D
E
C
A
D
B
2
A
B
C
1
图12图13图14图15
三、解答题(总40分)21、作图题。
(6分)
(1)如图
(1),过线段AB的中点C,作CD垂直AB。
(2分)
(2)如图
(2),过点P画直线AB的平行线CD。
(2分)
(3)如图(3),画∠AOC的角平分线一点P到两边的距离(2分)
A
·P
B
A
B
P
O
A
B
(1)
(2)(3)
22、如图,已知∠ABP+∠BPC=180°,∠1=∠2,在括号里填写理由.(6分)
4
A
B
E
F
C
D
1
2
3
P
解:
因为∠ABP+∠BPC=180°(已知)
所以AB//CD()
所以∠ABP=∠BPD()
又因为∠1=∠2(已知)
所以∠ABP-∠1=∠BPD-∠2(等量代换)
所以∠3=∠4
所以EB//FP()
23.如图,∠1=60°,∠4=120°,判定m//n吗?
为什么?
写出理由过程.
(7分)
O
A
B
E
D
C
24,如图直线AB与CD相交与O,∠EOC=80°,OA平分∠EOC,求∠BOD的度数?
(7分)
25,如图,∠1=∠2,能得到∠3=∠4吗?
为什么?
写出理由过程(7分)
1
aa
b
2
3
4
26,如图,已知:
DE∥CB,∠1=∠2,为什么:
CD平分∠ECB?
写出理由过程(7分)
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