版高中数学第二章圆锥曲线与方程22抛物线的简单性质二学案含答案北师大版选修11.docx
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版高中数学第二章圆锥曲线与方程22抛物线的简单性质二学案含答案北师大版选修11
2.2 抛物线的简单性质
(二)
学习目标
1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.
知识点 直线与抛物线的位置关系
思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系?
思考2 若直线与抛物线只有一个交点,直线与抛物线一定相切吗?
梳理 直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有________个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有________个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线________公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称轴____________,此时直线与抛物线有________个公共点.
类型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l:
y=k(x+1)与抛物线C:
y2=4x,问:
k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?
反思与感悟 直线与抛物线交点的个数,等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.
跟踪训练1 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l斜率的取值范围是( )
A.[-
,
]B.[-2,2]
C.[-1,1]D.[-4,4]
类型二 弦长与中点弦问题
例2 已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练2 已知抛物线C1:
x2=4y的焦点F也是椭圆C2:
+
=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2
,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且
与
同向.
(1)求C2的方程;
(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
类型三 抛物线中的定点(定值)问题
例3 在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.
(1)如果直线l过抛物线的焦点,求
·
的值;
(2)如果
·
=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这类问题的关键是代换和转化.
跟踪训练3 如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点,求证:
直线BC的斜率是定值.
1.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条B.3条
C.2条D.1条
2.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2
,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=
|AF|,则△AFK的面积为( )
A.4B.8
C.16D.32
4.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上任意一点,若
·
=-4,则点A的坐标为________.
5.已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.
(1)求抛物线E的方程;
(2)求直线AB的方程;
(3)求弦AB的长.
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法:
直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决;抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论,灵活选择解题策略,对题目进行转化.
答案精析
问题导学
知识点
思考1 三种:
相离、相切、相交.
思考2 不一定,当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时,也只有一个交点.
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