考研数学高数线代概率公式大全.docx
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考研数学高数线代概率公式大全
导数公式:
全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全
高等数学公式
(tgx)'=sec2x(ctgx)'=-csc2x(secx)'=secx⋅tgx
(arcsinx)'=1
1-x2
1-x2
(arccosx)'=-1
(cscx)'=-cscx⋅ctgx
(ax)'=axlna
(arctgx)'
=1
1+x2
(loga
x)'=
1
xlna
(arcctgx)'=-
1
1+x2
基本积分表:
⎰tgxdx=-lncosx+C
⎰ctgxdx=lnsinx+C
dx
⎰
cos2xdx
=⎰sec2xdx=tgx+C
⎰secxdx=lnsecx+tgx+C
⎰sin2x
=⎰csc2xdx=-ctgx+C
⎰cscxdx=lncscx-ctgx+C
dx=1arctgx+C
⎰secx⋅tgxdx=secx+C
⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+C
⎰a2+x2a
dx=1
a
lnx-a+C
⎰axdx=
ax
+
C
lna
⎰x2-a2
⎰
dx
a2-x2
2ax+a
=1lna+x+C
2aa-x
⎰shxdx=chx+C
⎰chxdx=shx+C
⎰dx=arcsinx+C
⎰dx=ln(x+
x2±a2)+C
a2-x2a
x2±a2
π
2
n
In=⎰sin
0
π
2
xdx=⎰cosn
0
xdx=
n-1
n
In-2
x2+a2
⎰
dx=x
x
2
x2-a2
2
x2-a2
⎰dx=
x2+a2
+
a2
2
-a2
2
a2
ln(x+
x2+a2
x2-a2
lnx+
x
)+C
+C
a2-x2
⎰dx=
+
arcsin+C
x
2
a2-x2
2a
三角函数的有理式积分:
sinx=
2u1+u2
,cosx=
1-u2
,
1+u2
u=tgx,
2
dx=
2du1+u2
一些初等函数:
两个重要极限:
ex-e-x
双曲正弦:
shx=
limsinx=1
2x→0x
双曲余弦:
chx=
ex+e-x
lim(1+1)x=e=2.718281828459045...
双曲正切:
thx=
2
shx=
chx
ex-e-x
ex+e-x
x→∞x
arshx=ln(x+
archx=±ln(x+
x2+1)
x2-1)
arthx=1ln1+x
21-x
三角函数公式:
·诱导公式:
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
·和差角公式:
·和差化积公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβsinα+sinβ=2sinα+βcosα-β
cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβα22
tgα±tgβ
sinα-sinβ=2cos
+βsinα-β
tg(α±β)=
1tgα⋅tgβctgα⋅ctgβ1
cosα+cosβ=2cos
2
α+β
2
cos
2
α-β
2
ctg(α±β)=
ctgβ±ctgα
cosα-cosβ=2sinα+βsinα-β
22
·倍角公式:
sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α
ctg2α-1
sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
ctg2α=
tg2α=
2ctgα2tgα
tg3α=
3tgα-tg3α
1-3tg2α
1-tg2α
·半角公式:
sinα=±
2
1-cosα
2
cosα=±
2
1+cosα
2
tgα=±
1-cosα
=1-cosα=sinα
ctgα=±
1+cosα
=1+cosα=sinα
21+cosα
sinα
1+cosα
21-cosα
sinα
1-cosα
·正弦定理:
a=
sinA
b
sinB
=c
sinC
π
=2R
·余弦定理:
c2=a2+b2-2abcosC
p
·反三角函数性质:
arcsinx=
-
arccosx
2
arctgx=
-
arcctgx
2
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)=∑Cuv
n
(n)k(n-k)(k)
n
k=0
=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)u(n-2)v'++n(n-1)(n-k+1)u(n-k)v(k)++uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
f(b)-f(a)f'(ξ)
柯西中值定理:
F(b)-
=
F(a)
F'(ξ)
当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds=1+y'2dx,其中y'=tgα
平均曲率:
K=
∆α.∆α:
从M点到M'点,切线斜率的倾角变化量;∆s:
MM'弧长。
∆s
y'
(1+y'2)3
M点的曲率:
K=lim∆α=dα=.
∆s→0∆sds
直线:
K=0;
半径为a的圆:
K=1.
a
定积分的近似计算:
b
矩形法:
⎰f(x)≈
a
b
梯形法:
⎰f(x)≈
a
b-an
b-an
(y0+y1++yn-1)
1
[2(y0+yn)+y1++yn-1]
b
抛物线法:
⎰f(x)≈
a
b-a
3n
[(y0+yn)+2(y2+y4++yn-2)+4(y1+y3++yn-1)]
定积分应用相关公式:
功:
W=F⋅s
水压力:
F=p⋅A
引力:
F=km1m2,k为引力系数r2
1b
函数的平均值:
y=b-a⎰f(x)dx
a
均方根:
1
b
⎰f2(t)dt
b-aa
空间解析几何和向量代数:
(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2
21
21
21
空间2点的距离:
d=M1M2=
AB
向量在轴上的投影:
PrjuAB=⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。
1
2
Prju(a+a
)=Prja
+
Prja
1
2
a⋅
b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
a2+a2+a2⋅b2+b2+b2
xyz
xyz
两向量之间的夹角:
cosθ=
axbx+ayby+azbz
i
c=a⨯=a
jk
aa,c=a⋅
θ.例:
线速度:
v=w⨯r.
bxyz
bxbybz
bsin
axayaz
向量的混合积:
[abc]=(a⨯b)⋅c=bxby
cxcy
bz=a⨯b⋅ccosα,α为锐角时
cz
代表平行六面体的体积。
平面的方程:
0000000
1、点法式:
A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0,其中n={A,B,C},M(x,y,z)
2、一般方程:
Ax+By+Cz+D=0
3xyz
、截距世方程:
++=1
Ax0+By0+Cz0+D
A2+B2+C2
abc
平面外任意一点到该平面的距离:
d=
⎧x=x0+mt
⎩
x-x0y-y0
z-z0⎪
空间直线的方程:
=mn
=p=t,其中s={m,n,p};参数方程:
⎨y=y0+nt
0
二次曲面:
x
2
1、椭球面:
+
a2
x2
yz2
2
+=
b2c21
y2
⎪z=z
+
pt
2、抛物面:
+
2p2q
3、双曲面:
=z(,
p,q同号)
x
y
22
单叶双曲面:
+
a2b2
x
y
22
双叶双曲面:
-
a2b2
-
z2
c2
+z2
c2
=1
=(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
全微分:
dz=∂zdx+∂zdydu=∂udx+∂udy+∂udz
∂x∂y∂x∂y∂z
全微分的近似计算:
∆z≈dz=fx(x,y)∆x+fy(x,y)∆y
多元复合函数的求导法:
z=f[u(t),v(t)]
dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
dt∂u∂t∂v∂t
z=f[u(x,y),v(x,y)]
∂z=
∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
∂x
当u=u(x,y),v=v(x,y)时,
∂u∂x
∂v∂x
du=∂udx+∂udydv=∂vdx+∂vdy
∂x∂y∂x∂y
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)=0,
dy=-Fx,
dxFy
d2y
dx2
=∂(-Fx)+∂
∂xFy∂y
(-Fx)⋅dyFydx
隐函数F(x,y,z)=0,∂z=-Fx,
∂z=-Fy
∂xFz∂yFz
⎧F(x,y,u,v)=0
∂(F,G)
FuFv
⎨
隐函数方程组:
⎩G(x,y,u,v)=0
J=∂(u,v)=
=
GuGv
∂F
∂u
∂G
∂u
∂F
∂v
∂G
∂v
∂u=-1⋅∂(F,G)∂v=-1⋅∂(F,G)
∂xJ
∂(x,v)
∂xJ
∂(u,x)
∂u=-1⋅∂(F,G)∂v=-1⋅∂(F,G)
∂yJ
∂(y,v)
∂yJ
∂(u,y)
微分法在几何上的应用:
⎧x=ϕ(t)
空间曲线⎪y=ψ(t)在点M(x,y,z)
x-x0
=y-y0
=z-z0
⎨
⎩
⎪z=ω(t)
000
处的切线方程:
ϕ(t0)
ψ'(t0)
ω'(t0)
'
在点M处的法平面方程:
ϕ'(t0)(x-x0)+ψ'(t0)(y-y0)+ω'(t0)(z-z0)=0
y
⎧⎪F(x,y,z)=0
Fy
FzFz
FxFxFy
若空间曲线方程为:
⎨
⎪⎩G(x,y,z)
=0,则切向量T={G
GzGz
G,G}
x
x
G
y
曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
n={F(x,y,z),F(x,y,z
),F(x,y,z)}
x000
y000
z000
2、过此点的切平面方程:
Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0
3、过此点的法线方程:
x-x0
=y-y0
=z-z0
方向导数与梯度:
Fx(x0,y0,z0)
Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为∂f=∂fcosϕ+∂fsinϕ
:
∂l∂x∂y
其中ϕ为x轴到方向l的转角。
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)=∂fi+∂fj
∂f
∂x∂y
它与方向导数的关系是:
=grad
∂l
f(x,y)⋅e,其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j,为l方向上的
单位向量。
∴∂f是gradf(x,y)在l上的投影。
∂l
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令:
fxx(x0,y0)=A,
fxy(x0,y0)=B,
fyy(x0,y0)=C
⎧
AC-B2>0
⎧A<0,(x0,y0)为极大值
⎩00
⎪
⎪时,⎨A>0,(x,y)为极小值
则:
⎨AC-B2<0时,无极值
⎪
⎪AC-B2=0时,
⎪⎩
重积分及其应用:
不确定
⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰
DD'
f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
曲面z=f(x,y)的面积A=⎰⎰
D
M
dxdy
1+ç∂x⎪+ç∂y⎪
⎛∂z⎫2
⎛∂z⎫2
⎝⎭
⎝⎭
⎰⎰xρ(x,y)dσM
⎰⎰yρ(x,y)dσ
平面薄片的重心:
x=x=D,y=y=D
M⎰⎰ρ(x,y)dσ
D
M⎰⎰ρ(x,y)dσ
D
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix=⎰⎰y2ρ(x,y)dσ,
D
对于y轴Iy=⎰⎰x2ρ(x,y)dσ
D
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力:
F={Fx,Fy,Fz},其中
Fx=f⎰⎰
ρ(x,y)xdσ
,
3
Fy=f⎰⎰
ρ(x,y)ydσ
,
3
Fz=-fa⎰⎰
ρ(x,y)xdσ
3
D(x2+y2+a2)2
柱面坐标和球面坐标:
⎧x=rcosθ
⎨
柱面坐标:
⎪y=rsinθ,
D(x2+y2+a2)2
f(x,y,z)dxdydz=⎰⎰⎰F(r,θ,z)rdrdθdz,
D(x2+y2+a2)2
⎩
⎪z=zΩΩ
其中:
F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)
⎧x=rsinϕcosθ
⎪2
球面坐标:
⎨y=rsinϕsinθ,dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r
sinϕdrdϕdθ
⎩
⎪z=rcosϕ
2ππ
r(ϕ,θ)
f(x,y,z)dxdydz=⎰⎰⎰F(r,ϕ,θ)r2sinϕdrdϕdθ=⎰dθ⎰dϕ
⎰F(r,ϕ,θ)r2sinϕdr
ΩΩ000
重心:
x=1⎰⎰⎰xρdv,y=1⎰⎰⎰yρdv,z=1⎰⎰⎰zρdv,其中M=x=⎰⎰⎰ρdv
MΩMΩMΩΩ
转动惯量:
Ix=⎰⎰⎰(y2+z2)ρdv,
Ω
Iy=⎰⎰⎰(x2+z2)ρdv,
Ω
Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)ρdv
Ω
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
⎧x=ϕ(t)
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
⎨,
(α≤t≤β),则:
⎩y=ψ(t)
β
⎧x=t
⎰f(x,y)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt(α<β)特殊情况:
⎨
Lα⎩y=ϕ(t)
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
⎧x=ϕ(t)
⎩
设L的参数方程为⎨y=ψ
,则:
(t)
β
⎰P(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)}dt
Lα
两类曲线积分之间的关系:
⎰Pdx+Qdy=⎰(Pcosα+Qcosβ)ds,其中α和β分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式:
⎰⎰(∂Q-∂P)dxdy=⎰Pdx+Qdy格林公式:
⎰⎰(∂Q-∂P)dxdy=⎰Pdx+Qdy
D∂x∂yLD∂x∂yL
当P=-y,Q=x∂Q-∂P=2时,得到D的面积:
A=⎰⎰dxdy=1⎰xdy-ydx
,即:
∂x∂y
D2L
·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且∂Q=∂P。
注意奇点,如(0,0),应
∂x∂y
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
·二元函数的全微分求积:
在∂Q=∂P时,Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
∂x
u(x,y)=
∂y
(x,y)
⎰P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x0=y0=0。
(x0,y0)
曲面积分:
⎰⎰⎰⎰xy
对面积的曲面积分:
∑
f(x,y,z)ds=
Dxy
f[x,y,z(x,y)]
1+z2(x,y)+z2(x,y)dxdy
对坐标的曲面积分:
⎰⎰P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:
∑
⎰⎰R(x,y,z)dxdy=±⎰⎰R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
∑Dxy
⎰⎰P(x,y,z)dydz=±⎰⎰P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
∑Dyz
⎰⎰Q(x,y,z)dzdx=±⎰⎰Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。
∑Dzx
两类曲面积分之间的关系:
⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
∑∑
高斯公式:
⎰⎰⎰(∂P+∂Q+∂R)dv=⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
Ω∂x∂y∂z∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度:
散度:
divν=∂P+∂Q+∂R,即:
单位体积内所产生的流体质量,若divν<0,则为消失...
∂x∂y∂z
通量:
⎰⎰A⋅nds=⎰⎰Ads=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds,
n⎰⎰
∑∑∑
因此,高斯公式又可写成:
divAdv=Ads
⎰⎰⎰⎰⎰n
Ω∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
⎰⎰(∂R-∂Q)dydz+(∂P-∂R)dzdx+(∂Q-∂P)dxdy=⎰Pdx+Qdy+Rdz
∑∂y∂z
∂z∂x
dydz
dzdx
∂x
⎰⎰
dxdy
∂y
cosα
Γ
cosβ
cosγ
⎰⎰
上式左端又可写成:
∂
∑∂x
P
∂∂
∂y∂z
QR
∂R
=∂
∑∂x
P
∂Q∂P
∂∂
∂y∂z
QR
∂R∂Q∂P
空间曲线积分与路径无关的条件:
=
∂y
,
∂z∂z
=∂x,∂x
=∂y
i
∂
∂xP
k
∂
∂zR
j
旋度:
rotA=∂
∂y
Q
向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量:
⎰Pdx+Qdy+Rdz=⎰A⋅tds
Γ
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- 考研 数学 高数线代 概率 公式 大全