考研资料概率论基础知识1.docx
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考研资料概率论基础知识1
概率论基础知识
(1)
第一章随机事件及其概率
一随机事件
§1几个概念
1、随机实验:
满足下列三个条件的试验称为随机试验;
(1)试验可在相同条件下重复进行;
(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的;(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简称为试验,并常记为E。
例如:
E1:
掷一骰子,观察出现的总数;E2:
上抛硬币两次,观察正反面出现的情况;
E3:
观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件:
在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:
常记为A,B,C……
例如,在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件:
每次试验必发生的事情称为必然事件,记为Ω。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件,记为Φ。
例如,在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件:
试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,……,“掷出6点”均为此试验的基本事件。
由基本事件构成的事件称为复合事件,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间:
从集合观点看,称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.
例如,在E1中,用数字1,2,……,6表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6}便是E1中的基本事件。
在E2中,用H表示正面,T表示反面,此试验的样本点有(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}显然,任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如,在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Ω。
例如,
在E1中,Ω={1,2,3,4,5,6}
在E2中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
在E3中,Ω={0,1,2,……}
例1,一条新建铁路共10个车站,从它们所有车票中任取一张,观察取得车票的票种。
此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P210=90.(排列:
和顺序有关,如北京至天津、天津至北京)
若观察的是取得车票的票价,则该试验样本空间中所有样本点的个数为
(组合)
例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去,观察15名新生分配的情况。
此试验的样本空间所有样本点的个数为
第一种方法用组合+乘法原理;第二种方法用排列
§2事件间的关系与运算
1、包含:
“若事件A的发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为A
B或B
A。
例如,在E1中,令A表示“掷出2点”的事件,即A={2}
B表示“掷出偶数”的事件,即B={2,4,6}则
2、相等:
若A
B且B
A,则称事件A等于事件B,记为A=B
例如,从一付52张的扑克牌中任取4张,令A表示“取得到少有3张红桃”的事件;B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。
显然A=B
3、和:
称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和,记为A
B,或A+B
例如,甲,乙两人向目标射击,令A表示“甲击中目标”的事件,B表示“乙击中目标”的事件,则AUB表示“目标被击中”的事件。
推广:
有限个
无穷可列个
4、积:
称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件,简称为积,记为A
B或AB。
例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令A={接到偶数次呼唤},B={接到奇数次呼唤},则A
B={接到6的倍数次呼唤}
推广:
任意有限个
无穷可列个
5、差:
称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差,记为A-B。
例如,测量晶体管的β参数值,令A={测得β值不超过50},B={测得β值不超过100},则,A-B=φ,B-A={测得β值为50﹤β≤100}
6、互不相容:
若事件A与事件B不能同时发生,即AB=φ,则称A与B是互不相容的。
例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:
若A={红灯亮},B={绿灯亮},则A与B便是互不相容的。
7、对立:
称事件A不发生的事件为A的对立事件,记为
显然
,A∩
=φ
例如,从有3个次品,7个正品的10个产品中任取3个,若令A={取得的3个产品中至少有一个次品},则
={取得的3个产品均为正品}。
§3事件的运算规律
1、交换律A∪B=B∪A;A∩B=B∩A
2、结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
3、分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
4、对偶律
此外,还有一些常用性质,如
A∪B
A,A∪B
B(越求和越大);A∩B
A,A∩B
B(越求积越小)。
若A
B,则A∪B=B,A∩B=AA-B=A-AB=A
等等。
例3,从一批产品中每次取一件进行检验,令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。
A={三次都取得合格品}B={三次中至少有一次取得合格品}C={三次中恰有两次取得合格品}D={三次中最多有一次取得合格品}
解:
A=A1A2A3
表示方法常常不唯一,如事件B又可表为
或
例4,一名射手连续向某一目标射击三次,令Ai={第i次射击击中目标},i=1,2,3,试用文字叙述下列事件:
解:
A1A2A3={三次射击都击中目标}
A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}
例5,下图所示的电路中,以A表示“信号灯亮”这一事件,以B,C,D分别表示继电器接点,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,闭合,试写出事件A,B,C,D之间的关系。
解,不难看出有如下一些关系:
二事件的概率
§1概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量,记为P(A)。
规定P(A)≥0,P(Ω)=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型:
满足下列两条件的试验模型称为古典概型。
(1)所有基本事件是有限个;
(2)各基本事件发生的可能性相同;
例如:
掷一匀称的骰子,令A={掷出2点}={2},B={掷出偶数总}={2,4,6}。
此试验样本空间为
Ω={1,2,3,4,5,6},于是,应有1=P(Ω)=6P(A),即P(A)=
。
而P(B)=3P(A)=
定义1:
在古典概型中,设其样本空间Ω所含的样本点总数,即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数,即有利于事件A发生的基本事件数为NA,则事件A的概率便定义为:
例1,将一枚质地均匀的硬币一抛三次,求恰有一次正面向上的概率。
解:
用H表示正面,T表示反面,则该试验的样本空间
Ω={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}。
可见NΩ=8令A={恰有一次出现正面},则A={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}
可见,令NA=3故
例2,(取球问题)袋中有5个白球,3个黑球,分别按下列三种取法在袋中取球。
(1)有放回地取球:
从袋中取三次球,每次取一个,看后放回袋中,再取下一个球;
(2)无放回地取球:
从袋中取三次球,每次取一个,看后不再放回袋中,再取下一个球;
(3)一次取球:
从袋中任取3个球。
在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。
解:
(1)有放回取球NΩ=8×8×8=83=512(袋中八个球,不论什么颜色,取到每个球的概率相等)
(先从三个球里取两个白球,第一次取白球有五种情况,第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>,第三次取黑球只有三种情况)
(2)无放回取球
故
(3)一次取球
故
属于取球问题的一个实例:
设有100件产品,其中有5%的次品,今从中随机抽取15件,则其中恰有2件次品的概率便为
(属于一次取球模型)
例3(分球问题)将n个球放入N个盒子中去,试求恰有n个盒子各有一球的概率(n≤N)。
解:
令A={恰有n个盒子各有一球},先考虑基本事件的总数
先从N个盒子里选n个盒子,然后在n个盒子里n个球全排列
故
属于分球问题的一个实例:
全班有40名同学,向他们的生日皆不相同的概率为多少?
令A={40个同学生日皆不相同},则有
(可以认为有365个盒子,40个球)故
例4(取数问题)
从0,1,……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成一列,求下列事件的概率:
(1) 四个数排成一个偶数;
(2) 四个数排成一个四位数;(3) 四个数排成一个四位偶数;
解:
令A={四个数排成一个偶数},B={四个数排成一个四位数},C={四个数排成一个四位偶数}
,
,
例5(分组问题)将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人,分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少?
解:
令A={有人手里有13张黑桃},B={有人手里有4张A牌}
于是
,故
不难证明,古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质:
1°P(A)≥0
2°P(Ω)=1
3°若A1,A2,……,An两两互不相容,则
2、概率的统计定义
频率:
在n次重复试验中,设事件A出现了nA次,则称:
为事件A的频率。
频率具有一定的稳定性。
示例见下例表
试验者
抛硬币次数 n
正面(A)出现次数nA
正面(A)出现的
频率
德·摩尔根
2048
1061
0.5180
浦丰
4040
2148
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
维尼
30000
14994
0.4998
定义2:
在相同条件下,将试验重复n次,如果随着重复试验次数n的增大,事件A的频率fn(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动,则称常数p为事件A的概率,即P(A)=p
不难证明频率有以下基本性质:
1°
2°
3°若A1,A2,……,两两互不相容,则
3、概率的公理化定义(数学定义)
定义3:
设某试验的样本空间为Ω,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足下列三条公理:
1°P(A)≥0(非负性)2°P(Ω)=1(规范性)
3°若A1,A2,……,An……两两互不相容,则
(可列可加性,简称可加性)
则称P(A)为A的概率
4、几何定义
定义4:
假设Ω是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域,从Ω中随机地选择一点,即Ω中任何一点都有同样的机会被选到,则相应随机试验的样本空间就是Ω,假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集,则
P(A)==ū(A)/ū(Ω)
§2概率的性质
性质1:
若A
B,则P(B-A)=P(B)-P(A)——差的概率等于概率之差
证:
因为:
A
B
所以:
B=A∪(B-A)且A∩(B-A)=φ,由概率可加性
得P(B)=P[A∪(B-A)]=P(A)+P(B-A)
即P(B-A)=P(B)-P(A)
性质2:
若A
B,则P(A)≤P(B)——概率的单调性
证:
由性质1及概率的非负性得0≤P(B-A)=P(B)-P(A),即P(A)≤P(B)
性质3:
P(A)≤1证明:
由于A
Ω,由性质2及概率的规范性可得P(A)≤1
性质4:
对任意事件A,P(
)=1-P(A)
证明:
在性质1中令B=Ω便有P(
)=P(Ω-A)=P(Ω)-P(A)=1-P(A)
性质5:
P(φ)=0证:
在性质4中,令A=Ω,便有P(φ)=P(
)=1-P(Ω)=1-1=0
性质6(加法公式)对任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
证:
由于A∪B=A∪(B-AB)且A∩(B-AB)=φ(见图)
由概率的可加性及性质1便得
P(A∪B)=P[A∪(B-AB)]=P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB)
推广:
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
例6设10个产品中有3个是次品,今从中任取3个,试求取出产品中至少有一个是次品的概率。
解:
令C={取出产品中至少有一个是次品},则
={取出产品中皆为正品},于是由性质4得
例7,甲,乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35,而同时下雨的概率为0.15,问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。
解:
令A={甲城下雨},B={乙城下雨},按题意所要求的是
P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.4+0.35-0.15=0.6
例8.设A,B,C为三个事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一个发生的概率。
于是所求的概率为
三条件概率
§1条件概率的概念及计算
在已知事件B发生条件下,事件A发生的概率称为事件A的条件概率,记为P(A/B)。
条件概率P(A/B)与无条件概率P(A)通常是不相等的。
例1:
某一工厂有职工500人,男女各一半,男女职工中非熟练工人分别为40人和10人,即该工厂职工人员结构如下:
人数
男
女
总和
非熟练工人
40
10
50
其他职工
210
240
450
总和
250
250
500
现从该厂中任选一职工,令A={选出的职工为非熟练工人},B={选出的职工为女职工}
显然,
;而
,
定义1设A、B为两事件,如果P(B)>0,则称
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。
同样,如果P(A)>0,则称
为在事件A发生条件下,事件B的条件概率。
条件概率的计算通常有两种办法:
(1)由条件概率的含义计算(通常适用于古典概型),
(2)由条件概率的定义计算。
例2:
一盒子内有10只晶体管,其中4只是坏的,6只是好的,从中无放回地取二次晶管,每次取一只,当发现第一次取得的是好的晶体管时,向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少?
解:
令A={第一次取的是好的晶体管},B={第二次取的是好的晶体管}
按条件概率的含义立即可得:
按条件概率的定义需先计算:
;于是
例3:
某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87.有一块集成电路已工作了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率为多大?
解:
令A={集成电路能正常工作到2000小时},B={集成电路能正常工作到3000小时}
已知:
:
P(A)=0.94,P(B)=0.87且
,既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87
按题意所要求的概率为:
§2关于条件概率的三个重要公式
1.乘法公式
定理1:
,
例4:
已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为一级的概率.
解:
令A={任取一件产品为一级品},B={任取一件产品为合格品},显然
,即有AB=A故P(AB)=P(A)。
于是,所要求的概率便为
例5:
为了防止意外,在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时,系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下,系统b有效的概率为0.85,试求:
(1)当发生意外时,两个报警系统至少有一个有效的概率;
(2)在系统b失灵情况下,系统a有效的概率.
解:
令A={系统a有效}B={系统b有效}
已知
对问题
(1),所要求的概率为
,其中
(见图)
=
=
于是
对问题
(2),所要求的概率为:
=
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