高中数学 331二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习 苏教版必修5.docx
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高中数学 331二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习 苏教版必修5.docx
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高中数学331二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习苏教版必修5
2019-2020年高中数学3.3.1二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习苏教版必修5
1.一般地,直线y=kx+b把平面分成两个区域:
y>kx+b表示直线上方的平面区域;y<kx+b表示直线下方的平面区域.
2.在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域;我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界,当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界,则把边界画成实线.
3.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”,若直线不过原点,通常选择原点代入检验.
4.二元一次不等式组表示的平面区域,是组内各不等式表示平面区域的公共部分.
5.满足不等式x>1的区域位于直线l:
x=1的右侧;满足不等式x-y-1>0的区域位于直线l:
x-y-1=0的下方;这两个区域的公共部分是不等式组
的解所对应的点的集合.
►基础巩固
一、选择题
1.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是(D)
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,2)D.(2,0)
解析:
特殊点代入法验证.
2.不等式2x-y-6>0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的(D)
A.左上方B.右上方
C.左下方D.右下方
解析:
作直线2x-y-6=0,将原点(0,0)代入检验.
3.不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是(C)
A.(-∞,5)B.[8,+∞)
C.[5,8)D.(-∞,5)∪[8,+∞)
解析:
画图分析可知5≤a<8.
4.下图中的平面区域(阴影部分包括边界)可用不等式组表示为(C)
A.0≤x≤2B.
C.
D.
解析:
将给出的不等式组与区域对比,可排除A、B、D三项.
5.已知点(-3,1)和(0,-2)在直线x-y-a=0的同一侧,则a的取值范围是(D)
A.(-2,4)
B.(-4,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-4)∪(2,+∞)
解析:
分两种情况讨论,分x-y-a>0,x-y-a<0.
二、填空题
6.点(1,3)和点(-4,2)在直线2x+y+m=0的两侧,则m的取值范围是________.
解析:
∵(1,3)和(-4,2)在2x+y+m=0的两侧,∴(2×1+3+m)[2×(-4)+2+m]<0,即(m+5)(m-6)<0,即-5<m<6.
答案:
(-5,6)
7.若不等式2x+y+m<3表示的平面区域包括点(0,0)和(1,1),则m的取值范围是________.
解析:
将(0,0)和(1,1)代入不等式得
⇒m<0.
答案:
(-∞,0)
8.不等式组
表示的平面区域的面积是________.
解析:
由图可知,区域为△ABC,
∴S=
×4×2=4.
答案:
4
三、解答题
9.求由约束条件
确定的平面区域的面积S阴影部分和周长C阴影部分.
解析:
由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分),如下图,其四个顶点为O(0,0),B(3,0),A(0,5),P(1,4).过点P作y轴的垂线,垂足为C.
则AC=|5-4|=1,PC=|1-0|=1,OC=4,OB=3,AP=
,PB=
=2
,
得S△ACP=
AC·PC=
,
S梯形COBP=
(CP+OB)·OC=8,
∴S阴影部分=S△ACP+S梯形COBP=
,
C阴影部分=OA+AP+PB+OB=8+
+2
.
10.某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包,生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、糖200克、鸡蛋300克,生产普通面包1千克分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克.现已知库存面粉为15千克、糖12千克、鸡蛋15千克,若在此基础上进行生产,请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解析:
设高档蛋糕和普通面包应各生产x千克和y千克,则x、y所满足的数学关系式为
⇒
分别画出不等式组中各不等式所表示的平面区域,然后取交集.下图所示的平面区域(阴影部分)就是不等式组所表示的区域.
►能力升级
一、选择题
11.不等式组
表示的平面区域为(B)
A.正三角形
B.等腰三角形
C.一个无界区域
D.不包含第一象限内的点的一个有界区域
解析:
画出可行域,易得一个等腰三角形.
12.不等式组
表示的平面区域是一个(C)
A.三角形B.直角梯形
C.等腰梯形D.矩形
解析:
不等式组即
或
前一个不等式组围成区域如右上图所示,为一等腰梯形;后一个不等式组的解集为空集.
13.设集合A={(x,y)|x,y,2-x-y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A)
解析:
由三角形任何两边之和大于第三边,得
⇒
故知围成的区域如选项A中的图所示.
二、填空题
14.已知函数f(x)=x2-4x+3,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M∩N的面积是________.
解析:
f(x)=x2-4x+3,f(y)=y2-4y+3,
由f(x)+f(y)≤0⇒x2+y2-4x-4y+6≤0⇒(x-2)2+(y-2)2≤2.
由f(x)-f(y)≥0⇒x2-4x-y2+4y≥0⇒(x-y)(x+y-4)≥0.
集合M∩N所表示的图形为:
其面积是两个
圆面积,而圆半径为
,
∴面积为
×π×(
)2=π.
答案:
π
15.△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(-2,0),C(2,0),则△ABC内任意一点(x,y)所满足的条件为________.
解析:
将点(0,0)代入直线AB:
2x-y+4=0,得4>0,代入直线AC:
2x+y-4=0,得-4<0,故可知△ABC的内部位于x轴的上方,故
答案:
三、解答题
16.求不等式|x-2013|+|y+2014|≤2所表示的平面区域的面积.
解析:
将|x|+|y|≤2表示的区域向右平移2013个单位,再向下平移2014个单位,即得|x-2013|+|y+2014|≤2所表示的区域,因此|x|+|y|≤2和|x-2013|+|y+2014|≤2表示的区域面积相等,而|x|+|y|≤2表示的区域是一个边长为2
的正方形,其面积为(2
)2=8.
2019-2020年高中数学3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域教学设计新人教A版必修5
一、教材分析
本节课是新教材必修5第三章3.3.1节的内容,教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域,并会简单的应用。
这是《新大纲》中增加的新内容,不仅为传统的高中数学注入新鲜的血液,而且给学生提供了学数学、用数学的机会,体现了新课程理念。
在此之前,学生已经学习了直线的方程,已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系,同时也学习了数形结合的思想方法。
为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。
这节内容,是介绍直线方程的简单应用(即简单的线性规划)的基础,起到承前启后的作用。
二、教学目标分析
1、知识目标:
准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域;
2、能力目标:
学生在学会知识的过程中,培养学生运用数学方法解决问题的能力,会准确地阐述自己的思路和观点,着重培养学生的认知和元认知能力;
3、情感目标:
通过对新知识的构建,优化学生的思维品质,通过自主探索、合作交流,增强数学的情感体验,提高创新意识。
三﹑教学的重点、难点
1、教学重点:
二元一次不等式(组)表示平面区域;
2、教学难点:
准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域;
四、教法与学法指导及教学手段
1、教学方法:
引导发现法、探索讨论法、题组教学法等;
2、学法指导:
这是一节抽象的概念作图课,教师应注重创设认知情境,引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳,帮助学生在原有经验上对新知识主动建构,在交流合作中学习。
3、教学手段:
采用坐标纸让学生动手操作,利用多媒体技术优化课堂教学。
五、教学过程设计
教学环节
教学内容
师生互动
说明
一、
创导
设入
情新
境课
1.建立二元一次不等式模型
【多媒体展示】
北京08年奥运会的主体育场“鸟巢”,它的外形结构是由许多巨大的钢架够成的,在当时为了按期完工,每天至少需要50根高质量的钢柱,已知只有两个厂有能力生产这样的钢柱,一号钢厂和二号钢厂每间车间的日生产量分别是10根和8根,但是两个厂每天总共能投入生产的车间至少6间,那么两个钢厂各提供多少车间才能满足每天的需求呢?
【学生解答】
解:
设一号钢厂提供x间车间,二号钢厂提供y间车间
则
师:
大家知道“鸟巢”吗?
请看多媒体的展示,这个问题中存在一些不等关系,我们应该用什么不等式模型来刻画它呢?
生:
解答
创设情景,构造问题悬念,激发兴趣,明确学习目标,引出概念
二,引入概念
2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
(1)二元一次不等式:
含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
(2)二元一次不等式组:
有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
(3)二元一次不等式(组)的解集:
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。
师:
刚才列出的不等式有什么特点?
生:
两个未知数,未知数的次数是1.
师:
我们把这个不等式称为什么?
生:
二元一次不等式
师:
这里有两个二元一次不等式,所以这个式子称为二元一次不等式组.
师:
二元一次不等式的解集具备什么条件?
可以用什么来表示?
生:
用序实数对(x,y)
明确概念,为探究实验做准备
三、
猜构
想建
探新
索知
三、
猜构
想建
探新
索知
3.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
【共同探究】
从特殊到一般:
先研究具体的二元一次不等式
如图:
在平面直角坐标系内,表示一条直线(学生在坐标纸上作图)。
平面内所有的点被直线分成三类:
直线上的点,直线右上方,直线左下方
坐标满足:
(1,5),(2,4),(3,3),
坐标满足:
(1,6),(2,5),(3,4),
坐标满足:
(1,4),(2,3),(3,2),
【学生尝试】
把刚才列出的点描在坐标系内,观察。
【展示成果】
坐标满足的点在直线的右上方
坐标满足的点在直线的左下方
【提问1】
直线右上方的点坐标是否满足
直线左下方的点坐标是否满足
【探究实验】
利用几何画板
【总结】
表示直线右上方的平面区域。
表示直线左下方的平面区域。
表示直线是两区域的边界。
【提问2】
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0上方的区域吗?
【举例验证】
(0,0)0-0-6<0(1,0)1-0-6<0(6,-1)6+1-6>0
【一般结论】一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线;不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域,包括边界直线,应把边界直线画成实线。
【结论】直线同侧点同号.
师:
表示什么图形?
生:
直线
师:
请同学们在坐标纸上作出这条直线.这条直线把直角坐标系上的点分成了几类?
如何描述
生:
三类,在直线上,直线的右上方,直线的左下方
师:
直线上的点坐标一定满足。
请举几个例子。
生:
(1,5),(2,4),(3,3),
师:
坐标满足的点有哪些呢?
生:
(1,6),(2,5),(3,4),
师:
坐标满足的点
(1,4),(2,3),(3,2)
师:
他们落在坐标平面内的哪些区域呢?
请你们把这些点描在你们所作出的坐标系内。
学生展示成果
师:
你们发现了点与直线的位置关系式怎样的?
生:
(1,6),(2,5),(3,4)在直线的右上方;
(1,4),(2,3),(3,2)
在直线的左下方
师:
直线右上方的点坐标是否满足?
用几何画板做实验
生:
直线的右上方的点坐标满足。
师:
表示直线右上方的平面区域。
表示直线左下方的平面区域。
表示直线是两区域的边界。
师:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0上方的区域吗?
生1:
是;生2:
不是。
师:
说不是的那位同学请你举个例子。
生:
比如直线x-y-6=0直线上方的点(0,0),(1,0)使x-y-6<0直线下方的点(6,-1)使得x-y-6>0
师:
由此说明二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
通过数学实验,为感性认识上升为理性认识打好基础。
四﹑练习反馈
4.练习反馈
强调:
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)把它的坐标代入Ax+By+C所得到的实数符号相同,所以在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)代入,从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
例1画出不等式表示的平面区域。
解:
先画直线(画成虚线).
取原点(0,0),代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4<0,
∴原点在表示的平面区域内,不等式表示的区域如图:
归纳:
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法。
特殊地,当时,常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
概括:
“直线定界,取点定域”,特别地,当C≠0时,常把原点作为特殊点。
师:
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)把它的坐标代入Ax+By+C所得到的实数符号相同,所以在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)代入,从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
生:
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法。
特殊地,当时,常把原点作为此特殊点。
通过练习,加强学生的认知结构,
得到规律,概括为口诀,便于操作。
五,探索新知
五,探索新知
5.探索新知
【例题示范1】(利用口诀“直线定界,取点定域”)
画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
(强调画图规范和注意点)
变式一:
指出不等式-2x+y-6<0表示的平面区域;
变式二:
指出不等式2x-y-6≥0表示的平面区域;
变式三:
指出不等式-2x-y-6≥0表示的平面区域。
……
规律:
一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0(A不等于0)当A>0时,Ax+By+C>0表示平面区域在直线Ax+By+C=0的右方,Ax+By+C<0表示平面在直线Ax+By+C=0的左方。
概括:
“系数化正、左小右大”,系数指x前系数A,“左(右)”指平面区域的左(右)方,“小(大)”指不等式的小于(大于)号。
【例题示范2】
画出不等式组
表示的平面区域。
变式一:
用二元一次不等式组表示下列平面区域;
变式二:
能画出不等式表示的平面区域吗?
引申:
能画出不等式表示的平面区域吗?
师:
从上面判断过程中能得到什么新规律,使区域的判断更方便呢?
生:
从不等号方向和A的正负考虑
生:
一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0(A不等于0)当A>0时,Ax+By+C>0表示平面区域在直线Ax+By+C=0的右方,Ax+By+C<0表示平面在直线Ax+By+C=0的左方。
给学生提供活动的时(思维时间)空(思维空间),
通过问题变式,重组学生的认知结构,从而得到规律,概括为口诀,便于操作。
六、
小作
结业
提布
炼置
一,(思考、讨论得出小结,教师作适当的补充)
1、这节课学习的主要内容是什么?
2、如何理解口诀“直线定界,取点定域”和“系数化正,左小右大”。
3、请同学们认真总结在探索和交流中的体会。
二,
1、课本P93习题3.3第1,2题。
2、选做题:
求不等式表示的平面区域的面积。
3、预习第二课时。
培养学生自主学,合作交流的学习方式,培养探究能力
板
书
课题:
§3.3.1
1﹑定义
2、用二元一次不等式表示平面区域
3、判断方法:
注意事项…
讲解示范
例一
…
例二
…
练习1
练习二
…
学生板演
反映教材的重点、难点知识,体现教学意图。
- 配套讲稿:
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