极限求法大全.docx
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极限求法大全.docx
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极限求法大全
极限求法大全
1.1利用极限的定义求极限
用定义法证明极限,必须有一先决条件,即事先得知道极限的猜测值A,这
种情况一般较困难推测出,只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值,然后再去用定义法去证明,在这个过程中,放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的
例:
limfxA的「S定义是指:
£>0,S=S(x0,£)>0,Ov|x-Xq|
xXo
vs|f(x)-A|V£为了求S可先对Xo的邻域半径适当限制,如然后适当放
大If(x)-A(x)(必然保证©(x)为无穷小),此时往往要用含绝对值的不
等式:
Ix+aI=|(x-Xo)+(xo+a)|<|x-x°|+|xo+a|v|x°+a|+S1
域|x+a|=|(x-Xo)+(xo+a)|>|x°+a|-|x-Xo|>|x°+a|-S1
从©(x)VS2,求出S2后,
取3=min(S1,S2),当0v|x-x0|VS时,就有|f(x)-A|V£.
例:
设limXna贝V有lim__也―a.
nnn
证明:
因为limxn
n
a,对
0,
N1
N,),当nN1时,Xn-a-于是当
nN1
时,X1X2
…Xn
a
X1
X2
...xna
n
n
0
其中A
X1aX2aXn1
是一个定数
再由
An
2,
解得n
2A
故取Nmax
M,2A当n
N时,
X1
x2...
Xn
—+—
22
n
o
1.2利用极限的四则运算性质求极限
定理⑴:
若极限limf(x)和limg(x)都存在,贝U函数f(x)g(x),f(x)g(x)当
XX)XXo
Xx0时也存在且
1linif(x)g(x)阿f(x)linig(x)
xX0xX0x^0
2limf(x)g(x)limf(x)limg(x)
XX)XX)XX)
又若c0,则丄凶
f(x)limf(x)
在xx0时也存在,且有lim-^-xo.
g(x)xx0g(x)limg(x)
Xx0
利用该种方法求极限方法简单,但要注意条件是每项或每个因子极限存在,
一般情况所给的变量都不满足这个条件,例如出现0,-,等情况,都
0
不能直接运用四则运算法则,必须对变量进行变形。
变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。
例:
求lim(——)
x11x31x
31
解:
由于当x1时,亠与丄的极限都不存在,故不能利用“极限的和等
1x1x
于和的极限”这一法则,先可进行化简
_=3(1xx2)(1x)(2x)
x1时,
x=1-x3(1x)(1xx2)
分子分母都有极限且分母的极限不为零,可用商的极限法则,即
lim(二
x11:
——)=lim-(2爲=1X31xx1(1xx2)
1.3利用函数的连续性求极限
定理[2]:
一切连续函数在其定义区间内的点处都连续,即如果Xo是函数f(x)的定义区间内的一点,则有limf(x)f(xo)。
xxo
一切初等函数在其定义域内都是连续的,如果f(x)是初等函数,x0是其定
义域内一点,则求极限limf(x)时,可把xo代入f(x)中计算出函数值,即
xxo
limf(x)=f(xo)。
xxo
对于连续函数的复合函数有这样的定理:
若U(X)在X。
连续且Uo(Xo),
yf(u)在Uo处连续,则复合函数yf[(x)]在Xo处也连续,从而
limfxfx或limfxflimx。
xxo0xxoxxo
例:
limlnsinx
X
2
解:
复合函数X=—在处是连续的,即有limlnsinx=lnsin—ln10
2x—2
1.4利用无穷小的性质求极限
我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量,有界变量乘无穷小是无穷小,对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得,只能用这种方法来求。
例:
求lim24X7-
x1x23x2
解:
当时x1,分母的极限为零,而分子的极限不为零,可先求处所给函数倒
2
数的极限lim-——3X_=0,故lim2力7=。
x14x-7x1x3x2
1.5利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理:
单调有界数列必有极限,先判断极限存在,进而求极限。
例:
求limaa...a
n
解:
令Xn.a.a...a,则Xn1JOX7,VaVaVa,即xn1xn,所
匚口,所以
2
以数列Xn单调递增,由单调有界定理知,lim,a.a...a有限,并设为A,
limXn1lim、axn,即A=.Aa,A
nn
nimaa...a。
1.6利用夹逼准则求极限⑶
已知{Xn},{yn},{zn}为三个数列,且满足:
(1)ynXnZn,(n1,2,3,);
(2)limyna,limzna。
nn
则极限limXn—定存在,且极限值也是a,即limxna。
利用夹逼准则求极
nn
限关键在于从Xn的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得ynXnzn。
例:
Xn~T=r2—
n1n2
1
=1,求Xn的极限
nn
解:
因为Xn单调递减,所以存在最大项和最小项
11
Xn丁n_n^n
n
n^n
xn-=
Jn
1.7利用中值定理求极限
sin(sinx)sinx
例:
求lim
(sinxx)cos[
(xsinx)x]
3
x
sinx
6x
b
afx.gx
解:
lim04sinnxdx
n
n
=limsinx
n
二4lim(sin)n
n
=01.8利用罗必塔法则求极限
定理⑷:
假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数f(x)和g(x)满足:
(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;
(2)f(x)和g(x)都可导,且g(x)的导数不为0;
f(x)
(3)lim存在(或是无穷大);
g(x)
则极限lim丄也一定存在,且等于limf(x),即lim丄也=limf(x)。
g(x)'g(x)'g(x)g(x)
洛必达法则只能对0或一型才可直接使用,其他待定型必须先化成这两种类
0
f'X
型之一,然后再应用洛必达法则。
洛必达法则只说明当lim——等于A时,那
g(x)
I
fxfxfx
么lim也存在且等于A.如果lim—;—不存在时,并不能断定lim也不
g(x)g(x)g(x)
lnsinmx例:
求lim
x0Insinnx
解:
由limlnsinmxlimlnsinnx知
x0x0
所以上述极限是一待定型
1.9利用定积分求和式的极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。
把所求极限的
和式表示成f(x)在某区间a,b上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限
[5]
。
在0,1上n等分的积分和。
_1r1
—lim[1
nn1(11)2
n
—1^^dx
01x2
1.10利用泰勒展开式求极限
例:
2
・cosxe2
lim4
x0x4
2
X、2/4、
)(x)
1.11换元法求极限
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元的方法加以变形,使之简化易求。
例:
求lim-—-
x1xlnx
解:
令txx1则xlnxln(t1)
2.总结
本文从极限的概念出发,针对性地对极限的求法作了一下小结,总结出十一
种常见的方法即:
1.利用极限的定义求极限2.利用极限的四则运算性质求极限
3.利用函数的连续性求极限4.利用无穷小的性质求极限5.利用单调有界原理求极限6.利用夹逼准则求极限7.利用中值定理求极限8.利用洛必达法则求极限9.利用定积分求和式的极限10.利用泰勒展开式求极限11.利用换元法求极限。
对一般的极限根据具体的问题就可以用上面的方法求解,对于复杂一点的可能要用到好几种方法才能够进行求解,这也是我今后主要进行研究的内容。
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