空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案docx.docx
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.
【巩固练习】
一、选择题
1.设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1),(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向
量的是()
A.(-1,-2,5)
B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1)
D.(1,-1,
-1)
2.如图,ABCD—A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=A1B1,则BE1与DF1
所成角的余弦值是
4
(
)
15
1
A.
B.
17
2
8
D.
3
C.
17
2
3.如图,
A1B1C1—ABC
是直三棱柱,
BCA90
,点D、F
AB、AC
的中点,若
11分别是
1111
BC
CA
CC1,则BD1
与AF1所成角的余弦值是(
)
A.
30
1
10
B.
2
C.
30
D.
15
15
10
4.
若向量a
(1,,2)与b
(2,1,2)的夹角的余弦值为
8,则(
)
9
A.2
B.2
C.2或2
D.2或
2
55
55
5.在三棱锥P-ABC中,AB
1
,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥
BC,AB=BC=PA
2
底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值(
)
A.
21
8
3
6
B.
3
C.
210
D.
210
60
30
6.(2015
秋
湛江校级期末)在正四棱锥
S—ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧
棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
7.
在三棱锥P-ABC中,AB
BC,AB=BC=1PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥
2
底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值是(
)
.
.
A.
21
B.83
C.
210
D.
210
6
3
60
30
二、填空题
8.若平面
的一个法向量为
n3,3,0
,直线l的一个方向向量为
b=111,,,则l与
所成
角的余弦值为_.
9
.正方体ABCD
ABCD中,E、F分别为AB、CC的中点,则异面直线
EF
与AC所成
1111
1
11
角的大小是______.
10.已知三棱锥S
ABC中,底面ABC为边长等于
2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,
SA=3,那么直线
AB与平面SBC所成角的正弦值为
.
11.如图,正方形
ABCD所在平面与平面四边形
ABEF所在平面互相垂直,
△ABE是等
腰直角三角形,ABAE,FAFE,AEF
45,则平面BDF和平面ABD的夹角余弦值
是_______.
三、解答题
12.如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线D1B上,∠PDA60.
(Ⅰ)求DP与C1C所成角的大小;
(Ⅱ)求DP与平面A1ADD1所成角的大小.
13.如图,四棱锥FABCD的底面
ABCD是菱形,其对角线AC2,BD
2,AE,CF
都与平面ABCD垂直,AE1,CF
2,求平面ABF与平面ADF的夹角大小.
.
.
14.如图
(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上
的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C
CD,如
图
(2).
(1)求证:
A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?
说明理由.
15.(2016浙江理)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE
=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:
EF⊥平面ACFD;
(Ⅱ)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
.
.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】排除法.
平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直,即它们的数量积为零
.
排除A,C,D,选项为B.
2.【答案】A
【解析】设正方体的棱长为
1,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz,则
B(1,1,0),E1
(1,3,1),D(0,0,0),
F1(0,1,1).
uuur
4
4
3
(0,
1
所以,BE1
(1,,1)(1,1,0)
1),
uuuur
4
4
(0,1,1)
(0,1,1),
DF1
(0,0,0)
4
4
uuur
17
uuuur
17
BE1
DF1
4
,
,
4
uuur
uuuur
00(11)11
15.
BE1DF1
4
4
16
所以,
uuur
uuuur
uuuruuuur
cos
BE1
DF1
BE1,DF1
uuur
uuuur
BE1
DF1
15
1615.
171717
44
15
因此,BE1与DF1所成的角的余弦值是.
17
3.【答案】A
【解析】如图所示,以C为原点建立的空间直角坐标系,
则A1,0,0,B0,1,0
C1
0,0,1,A11,0,1,B10,1,1,
1
1
1
,,,
由中点公式可知,
D1
,,,
1F1
2
01
2
2
uuuur
1
uuur
1,,,
BD1
,1,,
2
1
AF1
01
2
2
uuuur
uuur
1
1
-
30.
cosBD1
,
4
AF1
3
5
10
g
24
4.【答案】C
.
.
【解析】由agb=abcosa,b可得,552
108
40,即
25520,
即
=2或
2
=.
55
5.【答案】D
【解析】
Q
OP
平面ABC,OA
OC,AB
BC,
OA
,
OA
,
OBOP.
OB
OP
以为原点,射线
为非负轴,建立空间直角坐标系
O
xyz
如图,
O
OP
z
设
AB
,则
a
A
2
2
2
a,0,0
,
,,
14
,
D
2
14
a,0,0
B0,
a,0
C
P00.
a,0,
a
2
2
2
2
4
4
uuur
2a,0,
14a
OD
4
4
可求得平面
的法向量
r
1,1,
1
PBC
n
uuur
r
7
uuurr
210
OD
n
cosOD,n
uuur
r
.
OD
n
30
设OD与平面PBC所成的角为,
则sin
uuurr
210,
cosOD,n
30
OD与平面PBC所成角的余弦值为
210.
30
6.【答案】A
【解析】如图,以
O为坐标原点,以
OA为x轴,OB为y轴,以OS为z轴,建立空间直
角坐标系O—xyz。
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,
a,a),
uuur
uuur
a
a
uuur
2
2
(
则CA
(2a,0,0),AP
a,
),CB(a,a,0),
2
2
r
设平面PAC的一个法向量为
n,
ruuur
r
uuur
0,
则nCA
0,n
AP
.
.
2ax0
∴
2ay2az
uuurr
∴cosCB,n
r
(0,1,1)
,可取n
,
0
uuur
r
a
1
CBn
uuur
r
2a2
,
|CB||n|
22
uuurr
∴CB,n60,
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°故选A。
7.【答案】D
QOP平面ABC,OAOC,ABBC,
OAOB,OAOP,OBOP.
【解析】以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O
设
AB
,则
2
2
2
a
A
a,0,0,B0,a,0,C
a,0,0.
2
2
2
设OPh,则P0,0,h.QPA2a,
h7a,
2
uuur
2a,0,
14a,
OD
4
4
可求得平面
的法向量
r
1
PBC
n
1,1,,
uuur
r
7
uuur
r
210
OD
n
cosOD,n
uuur
r
.
OD
n
30
设OD与平面PBC所成的角为,
则sin
uuurr
210,
cosOD,n
.
30
8.【答案】
3
3
【解析】
(3,3,0)
(1,1,)
6
由cosn,b
32
,知l与
32
1
1
1
3
63
1.
93
xyz如图,
z
P
D
x
A
C
O
B
y
所成角的余弦值为
.
.
9.【答案】30
【解析】
以A为原点建立直角坐标系(如图所示)
,设B(2,0,0),
则E(1,0,0),F(2,2,1),C(2,2,2),A(0,0,2),
1
1
uuur
(1,2,1),
uuuur
∴EF
AC
1
(2,2,0)
,
1
10.【答案】
uuuruuuur∴cosEF,AC
11
uuuruuuur∴cosEF,AC
11
3
4
uuuruuuur
EFACuuuruuuur11
|EF||AC|
11
30.
(1,2,1)(2,2,0)
3
6
2
2
,
2
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.
过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,∵正三角形ABC,∴E为BC中点,∵BC⊥AE,SA⊥BC,∴BC⊥面SAE,
∴BC⊥AF,AF⊥SE,∴AF⊥面SBC,
∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长
3,
3
∴AE3,AS=3,∴SE=23,AF=2,
sinABF
3
∴4.
11.【答案】
311
11
【解析】
因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,
.
.
0,1),C(1,1,0).
因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.
从而,F(0,
1,1).
2
2
所以,
ur
ur
设平面BDF的一个法向量为
n1,并设n1=(x,y,z).
uuur
uuur
3
1
,,,
BF=
,
,
BD=110
0
2
2
ruuur
,
x
y
0,
nBD
0
g
3
1
,
由ruuur
得
0.
nBF
0.
y
z
g
2
2
uuv
(,,)
取y=1,则x=1,z=3.从而n1
113.
uuur
由AE⊥平面ABCD可知,平面
ABD的一个法向量为
,,
AE=001
,
设平面BDF和平面ABD的夹角为
,则
uur
uuur
0
0
3
3
11.
coscosn1
,
AE
11
=
11
12.【解析】如图,以点D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设DA为单位长,则
=,=.
连结BD,B1D1,在平面BB1D1D内,延长DP,交B1D1于点H,
设=(m>0),
由条件知<,>=60°.
由·=||||cos<,>,
可得2m=.
解得m=.所以=.
.
.
(Ⅰ)因为cos<,>=,
所以<,>=,即DP与CC1所成的角的大小是45°.
(Ⅱ)因为平面的一个法向量是,
又cos<,>=,
所以<,>=.即DP与平面A1ADD1所成角的大小为60°.
注意:
由于点
P
在正方体
-
的对角线
DB
上且∠
PDA
=60°,直接设点
P
ABCDABCD
1
1
1
1
1
的坐标则会出现多个变量,因为所求的两问都是求与
DP相关的角度问题,因此根据点
P的
位置特征只确定DP所在的直线的位置即可,因此出现上面解法.显然尽管求解过程是用向
量的坐标方法,但空间想象与思辨论证的要求并没有降低,体现了对学生全面的几何方法的考查.
13.【解析】如图,以为坐标原点,建立如图的空间直角坐标系.
设平面ABF的法向量为,
则由得
令,得.
同理,可求得平面ADF的法向量.
因为,所以平面ABF与平面ADF垂直.
.
.
所以平面ABF与平面ADF的夹角.
2
14.【解析】
15.【解析】
(Ⅰ)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
.
.
因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以BF⊥AC.
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