职高数列知识点及例题有答案汇编.docx
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职高数列知识点及例题有答案汇编
数列
、数列的定义:
按定顺序排列成的列数叫做数列.
记为:
{an}.即{an}:
ai,a2,…*a
1、本质:
数列是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数.
2、通项公式:
an=f(n)是an关于n的函数关系.
三、前n项之和:
Sn=ai+a2+…+a
注求数列通项公式的一个重要方法:
Si(n=1)
an—*
[Sn—Sn4(n王2)
例1、已知数列{100-3n},
(1)求a2、a3;
(2)此数列从第几项起开始为负项.
例2已知数列a?
的前n项和,求数列的通项公式:
(1)Sn=n2+2n;
(2)Sn=n2-2n-1.
解:
(1)①当n莹时,an=Sn-SnA=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1;
2当n=1时,ai=Si=12+2X1=;3
3经检验,当n=1时,2n+1=2x1+1=3/.an=2n+1为所求.
(2)①当n》时,an二Sn-Sn」=(n2-2n-1)-[(»1)2+2(n_1)_1]=2n-3;
2当n=1时,ai=Si=l2-2x1-1=-2
f-2(n=1)
3经检验,当n=1时,2n-3=2x1-3=2,「•%=;n_3(n>2)为所求.
注:
数列前n项的和Sn和通项an是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式an二Sn-Sn」时,一定要注意条件门一2,求通项时一定要验证內是否适合
例3当数列{100-2n}前n项之和最大时,求n的值.
「an王0
分析:
前n项之和最大转化为a彳岂0.
等差数列
1•如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.即:
ani-an=d(常数)(nN*)
2•通项:
an=a1(n-1)d,推广:
an二am(n-m)d.
3•求和:
Sn-(12n)"务•葺卫d.(关于n的没有常数项的二次函数).
4冲项:
若a、b、c等差数列,贝卩b为a与c的等差中项:
2b=a+c
5•等差数列的判定方法
(1)定义法:
an1"an=d(常数)(nN
(2)中项法:
2an1=anan吃
2
(3)通项法:
ai(nT)d⑷前n项和法:
S^AnBn
练习:
已知数列{an}满足:
ai=2,an=an岀+3求通项an.
例1在等差数列On冲,已知a4=9,a9八6,&=63,求n-
解:
设首项为ai,公差为d,
例2
(1)设{an}是递增等差数列,它的前3项之和为12,前3项之积为48,求这个数列的首项.
分析2:
三个数成等差数列可设这三个数为:
a-d,a,a+d
拓展:
(1)若n+m=2p,则an+am=2ap.
推广:
从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如:
ai,a4,a7,ai0,…(下标成等差数列)
(2)等和性:
am■an=ap■aq(m,n,p,qN*,mn=pq)
(3)Sn,S2n-Sn’Ssn-S2n,…组成公差为门勺的等差数列.
(4)an=am+(n-m)d
例1
(1)已知a3+aii=20,求a7.
(2)已知a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8及前9项和S9.
解由等差中项公式:
a3+a7=2a5,a4+a6=2a5
由条件a3+a4+a5+a6+a7=450,得:
5a5=450,—a2+a8=2a5=180.
9
S9=_(a1a9)810
2
等比数列
1.定义与定义式:
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.q(q为不等于零的常数)
an
2.通项公式:
n_1n_m
an=aiq,推厂形式:
an=amq.
nai(q=1)
3.前n项和:
n
Sn—q)=ai-anq(q“且qf
1-q1-q
注:
应用前n项和公式时,一定要区分q"与q"的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.
4.等比中项:
如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,
那么G叫做a与b的等比中项.即G—ab(,;ac).
5.等比数列的判定方法:
1定义法:
对于数列匕]若亍呵防0),贝擞列3」是等比数列•
n
2等比中项:
对于数列a:
若anan.2二a;i,则数列卸是等比数列.
例1等比数列中ai=2,a3=8,求通项公式;
解:
a3二aiq=q2=4=q-二2-an=(-2)2心=2n或an=(-2)(-2)n,=(-2)n
例2在等比数列{an}中,S=1,S8=3,则ai7+a〔8+a〔9+a20.
解解方程组可得:
q4=2,耳八1,
1-q
解法2由Sn,S2n—Sn,S3n—S2n,…成等比数列计算.
在等比数列阮中有如下性质:
(1)若n+m=2p,则anam=(ap)2。
推广:
从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如:
ai,a4,a7,ai0^'(下标成等差数列)
(2)等积性:
aman=apa(mnpq,m,n,p,qN).
(3)an=amqnjm
例1在等比数列{an}中,ai+a6=33,a3a^32,an卅van,
(1)求an;
(2)若Tn=lgaiIga2HIIgan,求Tn.
解
(1)an=26
1211Xl
(2)人=(-2n—n)lg2
例2a1a2a3=7
8182日3=8
求an.
解:
设{an}的公比为q,由题意知
a1a1qa1q2=7,
a1a1qa1q28,
数列综合运用
,求公比q.
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列
解:
设等差数列的通项an=a]+(n-1)d(d旳).
根据题意得
a32=aa
即(a什2d)2=(ai+d)(ai+5d),
解得
1一a3
ai「1d・所以
1d2d
_2
-1
——dd
2
解:
设这四个数为:
(a+d)2a-d,a,ad,-
a
2
,则a
l2a+d=12
例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数.
a=4a=9
解得:
d=8或d-6,所以所求的四个数为:
一4,4,12,36;或15,9,3,1.
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