高职单招数学知识点Word文件下载.doc
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②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.
①若应是真命题.
解:
逆否:
a=2且b=3,则a+b=5,成立,所以此命题为真.
②.
x+y=3x=1或y=2.
故是的既不是充分,又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围;
大范围推不出小范围.
3.例:
若.
4.集合运算:
交、并、补.
5.主要性质和运算律
(1)包含关系:
(2)等价关系:
(3)集合的运算律:
交换律:
结合律:
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
特例①一元一次不等式ax>
b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>
0(a>
0)解的讨论.
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.分式不等式的解法
(1)标准化:
移项通分化为>
0(或<
0);
≥0(或≤0)的形式,
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法:
与型的不等式的解法.
(2)定义法:
用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”:
根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”:
作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.
(三)简易逻辑
1、命题的定义:
可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;
不含有逻辑联结词的命题是简单命题;
由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式:
p或q(记作“p∨q”);
p且q(记作“p∧q”);
非p(记作“┑q”)。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:
若P则q;
逆命题:
若q则p;
否命题:
若┑P则┑q;
逆否命题:
若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:
(原命题逆否命题)
①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真,它的否命题不一定为真。
③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
7、反证法:
从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容:
版权所有映射、函数、函数的单调性、奇偶性.
版权所有数学探索©
版权所有指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.
版权所有对数.对数的运算性质.对数函数.
版权所有函数的应用.
版权所有
(1)了解映射的概念,理解函数的概念.
版权所有
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.
版权所有(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.
版权所有(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;
掌握对数函数的概念、图像和性质.
版权所有(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
§
02.函数知识要点
知识回顾:
(一)映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:
对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数;
⑵若当x1<
x2时,都有f(x1)>
f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
7.奇函数,偶函数:
⑴偶函数:
设()为偶函数上一点,则()也是图象上一点.
偶函数的判定:
两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称,例如:
在上不是偶函数.
②满足,或,若时,.
⑵奇函数:
设()为奇函数上一点,则()也是图象上一点.
奇函数的判定:
①定义域一定要关于原点对称,例如:
在上不是奇函数.
8判断函数单调性(定义)作差法:
对带根号的一定要分子有理化,例如:
在进行讨论.
9.⑴熟悉常用函数图象:
→关于轴对称.→→
→关于轴对称.
⑵熟悉分式图象:
定义域,
值域→值域前的系数之比.
(三)指数函数与对数函数
指数函数的图象和性质
a>
1
0<
a<
图
象
性
质
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)x>
0时,y>
1;
x<
0时,0<
y<
1.
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算:
(3)过点(1,0),即当x=1时,y=0
(4)时
时y>
时
时
(5)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
(四)方法总结
⑴.相同函数的判定方法:
定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算:
(以上)
注⑴:
当时,.
⑵:
当时,取“+”,当是偶数时且时,,而,故取“—”.
例如:
中x>0而中x∈R).
⑵()与互为反函数.
当时,的值越大,越靠近轴;
当时,则相反.
⑵.函数表达式的求法:
①定义法;
②换元法;
③待定系数法.
⑶.反函数的求法:
先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法:
布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;
②偶次根式中被开方数不小于0;
③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;
④零指数幂的底数不等于零;
⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法:
①配方法(二次或四次);
②“判别式法”;
③反函数法;
④换元法;
⑤不等式法;
⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法:
①设x,x是所研究区间内任两个自变量,且x<x;
②判定f(x)与f(x)的大小;
③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法:
首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:
①f(-x)=f(x)为偶函数;
f(-x)=-f(x)为奇函数;
②f(-x)-f(x)=0为偶;
f(x)+f(-x)=0为奇;
③f(-x)/f(x)=1是偶;
f(x)÷
f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移:
①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;
②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;
③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学第三章数列
版权所有数列.
版权所有等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.
版权所有等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.
版权所有
(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
版权所有
(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.
版权所有(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题.
§
03.数列知识要点
数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系
项
项数
通项
等差数列
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和
定义
递推公式
;
通项公式
()
中项
前项和
重要性质
1.⑴等差、等比数列:
=+(n-1)d=+(n-k)d=+-d
求和公式
中项公式
A=推广:
2=
。
推广:
性质
若m+n=p+q则
若m+n=p+q,则。
2
.成等差数列。
成等比数列。
3
,
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法:
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法:
②(,)①
注①:
i.,是a、b、c成等比的双非条件,即a、b、c等比数列.
ii.(ac>0)→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii.→为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv.且→为a、b、c等比数列的充要.
注意:
任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}()成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系:
①(可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若不为0,则是等差数列充分条件).
②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零,则是等差数列的充分条件;
若不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2倍;
②若等差数列的项数为2,则;
③若等差数列的项数为,则,且,
.
3.常用公式:
①1+2+3…+n=
②
③
熟悉常用通项:
9,99,999,…;
5,55,555,….
4.等比数列的前项和公式的常见应用题:
⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为,年增长率为,则每年的产量成等比数列,公比为.其中第年产量为,且过年后总产量为:
⑵银行部门中按复利计算问题.例如:
一年中每月初到银行存元,利息为,每月利息按复利计算,则每月的元过个月后便成为元.因此,第二年年初可存款:
=.
⑶分期付款应用题:
为分期付款方式贷款为a元;
m为m个月将款全部付清;
为年利率.
6.几种常见的数列的思想方法:
⑴等差数列的前项和为,在时,有最大值.如何确定使取最大值时的值,有两种方法:
一是求使,成立的值;
二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法:
错位相减求和.例如:
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:
验证都成立。
3.在等差数列{}中,有关Sn的最值问题:
(1)当>
0,d<
0时,满足的项数m使得取最大值.
(2)当<
0,d>
0时,满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
(三)、数列求和的常用方法
1.公式法:
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:
适用于其中{}是各项不为0的等差数列,c为常数;
部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:
适用于其中{}是等差数列,是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1):
1+2+3+...+n=
2)1+3+5+...+(2n-1)=
3)
4)
5)
6)
高中数学第四章-三角函数
版权所有角的概念的推广.弧度制.
版权所有任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
版权所有两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
版权所有正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.
版权所有正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
版权所有
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.
版权所有
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;
了解余切、正割、余割的定义;
掌握同角三角函数的基本关系式;
掌握正弦、余弦的诱导公式;
了解周期函数与最小正周期的意义.
版权所有(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
版权所有(4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
版权所有(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义.
版权所有(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.
版权所有(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.
版权所有(8)“同角三角函数基本关系式:
sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”.
04.三角函数知识要点
1.①与(0°
≤<360°
)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):
②终边在x轴上的角的集合:
③终边在y轴上的角的集合:
④终边在坐标轴上的角的集合:
⑤终边在y=x轴上的角的集合:
⑥终边在轴上的角的集合:
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:
⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:
2.角度与弧度的互换关系:
360°
=2180°
=1°
=0.017451=57.30°
=57°
18′
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式:
1rad=°
≈57.30°
18ˊ.1°
=≈0.01745(rad)
3、弧长公式:
.扇形面积公式:
4、三角函数:
设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则;
;
..
5、三角函数在各象限的符号:
(一全二正弦,三切四余弦)
6、三角函数线
正弦线:
MP;
余弦线:
OM;
正切线:
AT.
7.三角函数的定义域:
三角函数
定义域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函数的基本关系式:
9、诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:
(一)基本关系
公式组二公式组三
公式组四公式组五公式组六
(二)角与角之间的互换
公式组一公式组二
.
10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
(A、>0)
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
当非奇非偶
当奇函数
单调性
上为增函数;
上为减函数()
上为增函数
上为减函数
上为增函数()
①与的单调性正好相反;
与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).
②与的周期是.
③或()的周期.
的周期为2(,如图,翻折无效).
④的对称轴方程是(),对称中心();
的对称轴方程是(),对称中心();
的对称中心().
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:
一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:
,奇函数:
奇偶性的单调性:
奇同偶反.例如:
是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:
若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)
⑨不是周期函数;
为周期函数();
是周期函数(如图);
的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
⑩有.
11、三角函数图象的作法:
1)、几何法:
2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)、利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到
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