1999年考研数学二真题.docx
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1999年考研数学二真题
1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析
一、填空题
⎧x=etsin2t
⎩
(1)曲线⎨y=etcos2t
在点(0,1)处的法线方程为.
【答】
y+2x-1=0
【详解】根据参数方程的求导公式,有
dy=ecost-esint
tt
yxetsin2t+2etcos2t,
与x=0,y=0对应t=0,
dy1
故|x=0=,从而在点(0,1)处的法线的斜率为-2,法线方程为
y=1
y-1=-2(x-0),
即y+2x-1=0
(2)设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定,则dy|
=.
x=0
【答】1.
【详解】方程两边同时对x求导,视y为x的函数,得
2x+y'=
x2+y
3x2y+x3y'+cosx
由原方程知,x=0时y=1,代入上式,得
x+5
y'|
x=0
=dy
dx
x=0
=1.
(3)⎰x2-6x+
dx=.
13
【答】
1ln(x2-6x+13)+4arctanx-3
+
C.
22
x+51
d(x2-6x+13)8
【详解】
⎰x2-6x+1dx=2x2-6x+13+⎰x2-6x+13
3
()
=1lnx2-6x+13+4arctanx-3+C.
22
(4)函数y=
x2
在区间⎢,
⎥上平均值为.
⎣22⎦
【答】π.
12
x2
【详解】函数y=
在区间⎢,⎥上平均值为
⎰1
23x2
⎣22⎦
2
πsin2t
2
3-1
1-x2
dxx=sint
3
3-1
cost
⋅costdt
26
⎰π
=2⎛1t
-
1sin2t
⎞|π
3
-1⎜24⎟π
⎝⎠6
=3+1π.
12
(5)微分方程y''-4y'=e2x得通解为.
【答】
Ce-2x+⎛C+1x⎞e2x.
1⎜24⎟
⎝⎠
【详解】特征方程为:
λ2-4=0
解得λ1=2,λ2=-2
故y''-4y'=0的通解为
12
y=Ce-2x+Ce2x
由于非齐次项为f(x)=e2x,λ=2为特征方程的单根,因此原方程的特解可设为y*=Axe2x,代入原方程,得
A=1
4
故所求通解为
y=y+y*=Ce-2x+Ce2x+1xe2x
1124
=Ce-2x+⎛C+1x⎞e2x
1⎜24⎟
⎝⎠
二、选择题
⎧1-cosx,x>0
(1)设f(x)=⎨x其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处
⎪⎩x2g(x),x≤0
(A)极限不存在.
(B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导
(D)可导.
【】
【答】应选(D)
【详解】因为
f'(0+0)=limf(x)-f(0)=lim1-cosx=0,
x→0+
x
f(x)-f(0)
x→0-
3
x2
x2g(x)
f'(0-0)=lim=limlimg(x)x=0,
x→0-x
x→0-
xx→0-
可见,f(x)在x=0处左、右导数相等,因此,f(x)在x=0处可导,故正确选项为(D).
5xsint
1
sinxt
(2)设α(x)=⎰0t
(A)高阶无穷小;
(B)低阶无穷小;
dt,β(x)=⎰0(1+t)dt,则当x→0时,α(x)是β(x)的
(C)同阶但不等价的无穷小;
(D)等价无穷小.
【】
【答】应选(C)
【详解】因为
⎰5xsintdt
sin5x
limα(x)=lim0t
=5lim5x=5≠1
x→0β(x)
x→0
sinx
1
(1+t)tdt
1
1+sinxsinx⋅cosx
0
故α(x)是β(x)的同阶但不等价的无穷小.
因此正确选项为(C).
(3)设f(x)是连续函数,F(x)是其原函数,则
(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.
(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.
(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.
(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.
【】
【答】应选(A)
x
【详解】f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=⎰0f(t)dt+C,于是
-xx
F(-x)=⎰0f(t)dt+Cu=-t⎰0f(-u)d(-u)+C.
当f(x)为奇函数时,f(-u)=-f(u),从而有
即F(x)为偶函数.
F(-x)=⎰0
x
x
=⎰0
f(u)du+C
f(t)dt+C=F(x)
故(A)为正确选项.至于(B)、(C)、(D)可分别举反例如下:
f(x)=x2是偶函数,但其原函数F(x)=1x3+1不是奇函数,可排除(B);
3
f(x)=cos2x是周期函数,但其原函数F(x)=1x+1sin2x不是周期函数,可排除(C);
24
f(x)=x在区间(-∞+∞)内是单调增函数,但其原函数F(x)=1x2在区间(-∞+∞)内非
2
单调增函数,可排除(D).
(4)“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有xn-α
收敛于α的
(A)充分条件但非必要条件;
(B)必要条件但非充分条件;
(C)充分必要条件;
(D)既非充分条件又非必要条件;
【答】应选(C)
≤2ε”是数列{xn}
【】
【详解】由数列{xn}收敛于α⇒“对任意给定的ε1∈(0,1),总存在正整数N1当n≥N1时,
恒有xn-α
恒有xn-α
≤ε1”,显然可推导处:
“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,
≤2ε”
反过来,若有“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有xn-α
≤2ε”
11
则对任意的ε1>0(不访设0<ε1<1,当时,取一ε˜,0<ε˜<1<ε1,代替即可),取
ε=3ε1>0,存在正整数N,当n≥N时,恒有,令N1=N-1,则满足“对任意给定的
ε1∈(0,1),总存在正整数N1当n≥N1时,恒有xn-α
x-2
x-1
x-2
x-3
2x-2
2x-1
2x-2
2x-3
3x-3
3x-2
4x-5
3x-5
4x
4x-3
5x-7
4x-3
(B)2
可见上述两种说法是等价的,因此正确选项为(C)
≤ε1
(5)记行列式
为f(x),则方程f(x)=0的根的个数为
(A)1.
【答】应选(B)
【详解】因为
(C)3.(D)4
【】
x-210-1x-2100
2x-210-12x-2100
f(x)==
3x-31x-2-23x-31
x-2-1
4x-3
x-7
-34x
-3x-7-6
x-210
2x-210
=4x-3x-7
=-x(x-7)
三、求lim
x→0
【详解】
xln(1+x)-x2.
原式=lim
tanx-sinx⋅1
x→0x⎡⎣ln(1+x)-x⎤⎦
=1limsinx⋅1
⋅1-cosx
2x→0
=1lim
xcosx
1x2
2
ln(1+x)-x
2x→0ln(1+x)-x
=1lim
4x→0
2x
1-11+x
=-1
2
+∞arctanx
四、计算⎰1
dx.
x2
【详解】方法一:
原式=-
+∞arctanxd⎛1⎞
⎜⎟
⎝⎠
=lim⎛-1arctanx|b⎞+lim
b1dx
b→+∞⎜x
1⎟b→+∞⎰1
x1+x2
⎝⎠()
π⎡121⎤
=4+lim⎢⎣lnb-2ln(+b)+2ln2⎥⎦
=π+1
ln2+limlnb
42b→+∞
=π+1
ln2
42
方法二:
作变换arctanx=t,则
ππ
⎰π⎰π
原式=
2tcsc2tdt=-2t⋅dcottdt
44
π
=-t⋅cott|2+
π
2cottdt
44
πππ1
=+lnsint|2=+
ln2。
π42
⎧(y+
五、求初值问题⎨
x2+y2)dx-xdy=0,(x>0)
|
的解
⎪⎩
【详解】原方程可化为
y
=0
x=1
dyy
令u=
==+
dxxx
y,上述方程可化为
x
分离变量,得
u+xdu=u+
dx
1+u2,
du
解得ln(u+
=dx
x
1+u2)=lnx+C
将u=代回,得
x
⎛y
ln⎜x+
⎞
⎟=lnx+C
⎝⎠
|
将y=0代入,得C=0,
x=1
故初值问题得解为
⎛y
ln⎜x+
⎞
⎟=lnx
⎝⎠
y
即
化简得
+=x,
x
y=1x2-1
22
六、为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重500N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,
污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明:
①1N⨯1m=1J;m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计)
【详解1】
建立坐标轴如图所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功
W=W1+W2+W3
其中W1是克服抓斗自重所作的功;W2是克服缆绳重力作的功;W3为提出污泥所作的功.由题意知
W1=400⨯30=12000.
将抓斗由x处提升到x+dx处,克服缆绳重力所作的功为
dW2=50(30-x)dx,
30
从而W2=⎰050(0-x)dx=22500.
在时间间隔[t,t+dt]内提升污泥需作功为dW3=3(2000-20t)dt.
30
将污泥从井底提升至井口共需时间
3
10
=10,所以
W3=⎰03(2000-20t)dt=57000.
因此,共需作功
W=12000+22500+57000=91500(J)
【详解2】
作x轴如图所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W,当抓斗运动到x处时,作用
力f(x)
包括抓斗的自重400
N,缆绳的重力50(30-x)(N)
,污泥的重力
2000-1x⋅20(N),即
3
f(x)=400+50(30-x)+2000-20x=3900-170x,
33
于是
W=30⎛3900-170x⎞dx=3900x-85x2|30=117000-24500=91500(J)
⎰0⎜3⎟30
⎝⎠
七、已知函数y=
x3
(x-1)
2,求
(1)函数的增减区间及极值;
(2)函数图形的凹凸区间及拐点;
(3)函数图形的渐进线.
【详解】所给函数的定义域为(-∞,1)⋃(1,+∞)
x2(x-3)
y'=(),
x-13
令y'=0,得驻点x=0及x=3.
y''=
6x
(x-1)4,
令y''=0,得x=0,
列表讨论如下:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
(1,3)
3
(3,+∞)
y'
+
0
+
-
0
+
y''
-
0
+
+
+
+
y
⋂9
拐点
⋃9
⋃5
极小值
⋃9
由此可知:
(1)函数的单调增加区间为(-∞,1)和(3,+∞);单调减少区间为(1,3),
27
极小值为y|
=
x=34
(2)函数图形在区间(-∞,0)内是(向上)凸的,在区间(0,1),内是(向上)凹的,拐点为(0,0)
x3
(3)由lim
x→1x-1
2=+∞,知x=1是函数图形的铅直渐进线;
由lim
yx2
lim
2=1,
x→∞x
x→∞(x-1)
⎡x2⎤
又lim(y-x)=lim⎢
2-x⎥=2,
x→∞
x→∞⎢⎣(x-1)⎥⎦
故y=x+2是函数图形的斜渐近线.
八、设函数y(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f
(1)=1,f'(0)=0,证明:
在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f'''(ξ)=3.
【详解】方法一:
在x=0处,将f(x)按泰勒公式展开,得
f(x)=
f(0)+f'(0)x+1f''(x)x2+1
f'''(η)x3,
2!
3!
其中η介于0与x之间,x∈[-1,1]
分别令x=-1和x=1,并结合已知条件,得
0=f(-1)=
f(0)+1f''(0)-1f'''(η),(-1<η
<0),
2611
1=f
(1)=
f(0)+1f''(0)+1f'''(η
26
2),(-1<η2
<1),
两式相减,得
12
f'''(η)+f'''(η
)=6
12
由f'''(x)的连续性,知f'''(x)在闭区间[η,η]上有最大值和最小值,设它们分别为M,m,
则有
m≤1⎡⎣f'''(η)+f'''(η
)⎤⎦≤M
212
再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η1,η2]⊂(-1,1),使
f'''(ξ)=1⎡⎣f'''(η)+f'''(η
)⎤⎦=3
方法二:
212
令ϕ(x)=1x2(x+1)+(1+x)(1-x)f(0),则2
ϕ
(1)=
f
(1),ϕ(-1)=
f(-1),ϕ(0)=
f(0),ϕ'(0)=
f'(0)
令F(x)=f(x)-ϕ(x),
则F(0)=F
(1)=F(-1)=0,
由罗尔定理,知∃ξ∈(-1,0),ξ∈(0,1)使得F''(ξ)=F''(ξ
)=0.
1212
又F'(0)=0,由罗尔定理,
知∃η∈(ξ,0),η∈(0,ξ)使F''(η)=F''(η
)=0.
112212
再由罗尔定理∃ξ∈(η1,η2),使F(ξ)=0,
'''
而F'''(x)=F'''(x)-ϕ'''(x),而ϕ'''(x)=3,
所以F'''(ξ)=3
九、设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且f'(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点
P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围程的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2,恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.
【详解】曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为
Y-y(x)=y'(x)(X-x)
⎛y⎞
它与x轴的交点为⎜x-,0⎟
⎝⎠
由于y'(x)>0,y(0)=1,
因此y(x)>0(x>0),于是有
1⎛
y⎞y2
S1=2yx-⎜x-y'⎟=2y'
x
又S2=⎰0y(t)dt,
x
根据题设2S1-S2=1有
y2
2y'
-⎰0y(t)dt=1,
并且y'(0)=1.上述两边对x求导并化简得
yy''=(y')2
这是可降阶的二阶常微分方程,令p=y',则上述方程化为
ypdp=p2
dy
分离变量,得
解得
dp=dypy
p=Cy,即dy=Cy,
1dx1
从而
根据y(0)=1,
y=eC1x+C2
y'(0)=1.得C=1,C
=0,
12
故所求曲线的方程为
y=ex
十、设
f(x)
是区间[0,+∞)
上单调减少且非负的连续函数,
nn
an=∑f(k)-⎰1
k=1
f(x)dx(n=1,2,…,)证明数列{an}的极限存在.
【详解】由题设可得
k+1
f(k+1)≤⎰k
n+1
所以有
f(x)dx≤
f(k)(k=1,2,…)
an+1-an=
f(n+1)-⎰n
f(x)dx≤0
即数列{an}单调下降,
nn
又an=∑f(k)-⎰1
k=1
f(x)dx
nn-1
k+1
=∑f(k)-∑⎰k
f(x)dx
k=1
n-1
k+1
k=1
即数列{an}有下界.
=∑⎰k
k=1
⎡⎣f(k)-f(x)⎤⎦dx+f(n)≥0
⎡11-1⎤
⎢⎥
十一、设矩阵A=⎢-111⎥,矩阵X满足A*X=A-1+2X,其中A*是A的伴随矩阵,
求矩阵X.
⎢⎣1
-11⎥⎦
【详解】在已知矩阵等式两边同时左乘A,得
AA*X=AA-1+2AX,
利用公式AA*=
AE,上式可化为
AX=E+2AX
即(AE-2A)X=E,
从而X=(AE-2A)-1
11-1
由于A=-111=4
1-11
1
-11
AE-2A=2-11-1
-111
1-11110
11
故X=-11-1=011
2-1114101
123
十二、设向量组α=(1,1,1,3)T,α=(-1,-3,5,1)T,α=(3,2,-1,p+2)T,
4
α(-2,-6,10,p)T
1234
(1)p为何值时,该向量组线性无关?
并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α,α,α,α线性表出;
(2)p为何值时,该向量组线详相关?
并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
【详解】由于行列式
(α,αα,α
1
)=1
-13
-32
-2
-6=2(2-p)
12,34
15-110
可见:
31p+2p
(1)当p≠2时,向量组α1,α2,α3,α4线性无关.此时设
α=x1α1+x2α+x3α3+x4α4
对矩阵(α1,α2,α3,α4#α)作初等行变换:
(α1,α2,α3,α4
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