完整版全国考研数学三真题.docx
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完整版全国考研数学三真题
2021年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?
数学三?
试题
一、选择题:
1—8小题.每题4分,共32分.
1.假设函数f(x)
1
cos
x
x
0在x0处连续,那么
ax
b,
x
0
〔A〕
ab
1
〔〕
ab
1
〔〕
ab0
〔〕
2
B
2
C
Dab2
2.二元函数z
xy(3
x
y)的极值点是〔
〕
〔A〕(0,0)
〔B〕(0,3)
〔C〕(3,0)
〔D〕(1,1)
3.设函数f(x)是可导函数,且满足f(x)f(x)
0,那么
〔A〕f
(1)
f(
1)
〔B〕f
(1)
f
(1)
〔C〕f
(1)
f
(1)
〔D〕f
(1)
f(
1)
4.假设级数
1
kln(1
1
收敛,那么k
〔
〕
sin
)
n2
n
n
〔A〕1
〔B〕2
〔C〕1
〔D〕2
5.设为n单位列向量,E为n阶单位矩阵,那么
〔A〕
E
T
不可以逆
〔〕
T不可以逆
B
E
〔C〕
E
2
T
不可以逆
〔〕
E2
T
不可以逆
D
2
0
0
2
1
0
1
0
0
6.矩阵A0
2
1
,B
0
2
0,C
0
2
0
,那么
0
0
1
0
0
1
0
0
2
〔A〕A,C相似,B,C相似
〔B〕A,C相似,B,C不相似
〔C〕A,C不相似,B,C相似
〔D〕A,C不相似,B,C不相似
7.设A,B,C是三个随机事件,且
A,C相互独立,B,C相互独立,那么A
B与C相互
独立的充分必要条件是〔
〕
第1页共16页
〔A〕A,B相互独立
〔B〕A,B互不相容
〔C〕AB,C
相互独立
〔D〕AB,C互不相容
8.设X1,X2,
Xn(n
2)为来自正态整体N(,1)的简单随机样本,假设
1n
Xi,那么
X
ni
1
以下结论中不正确的选项是〔〕
n
)2遵从
2分布
2
2分布
〔A〕
(Xi
〔B〕2Xn
X1遵从
i
1
n
X)2遵从2分布
)2遵从
2分布
〔C〕
(Xi
〔D〕n(X
i
1
二、填空题〔此题共6小题,每题4分,总分值24分.把答案填在题中横线上〕
9.(sin3x2x2)dx.
10.差分方程yt12yt2t的通解为.
11.设生产某产品的平均本钱C(Q)1eQ,其中产量为Q,那么边缘本钱为.
12.设函数f(x,y)拥有一阶连续的偏导数,且df(x,y)yeydxx(1y)eydy,
f(0,0)0,那么f(x,y)
101
13.设矩阵A1
1
2
,1,
2,3为线性没关的三维列向量,那么向量组A1,A2,A3
0
1
1
的秩为
.
14.设随机变量X的概率分布为PX
2
1,PX1
a,PX3
b,假设EX
0,
2
那么DX
.
第2页共16页
三、解答题
15.〔此题总分值10分〕
x
求极限lim
xtetdt
0
3
x0
x
16.〔此题总分值10分〕
计算积分
y3
2dxdy,其中D是第一象限中以曲线y
x与x轴为界线的无界
x
2
4
)
D(1
y
地域.
17.〔此题总分值10分〕
求lim
n
k2ln1
k
n
k
1n
n
第3页共16页
18.〔此题总分值10分〕
方程
1
1
内有实根,确定常数k的取值范围.
ln(1x)
k在区间(0,1)
x
第4页共16页
19.〔此题总分值10分〕
设a0
1,a1
0,an1
1(nanan1)(n1,2,3),,S(x)为幂级数
anxn的和函数
n
1
n0
〔1〕证明anxn的收敛半径不小于1.
n0
(2〕证明(1x)S(x)xS(x)0(x(1,1)),并求出和函数的表达式.
第5页共16页
20.〔此题总分值11分〕
设三阶矩阵A
1,
2,3有三个不同样的特色值,且3122.
〔1〕证明:
r(A)
2
;
〔2〕假设1
2,
3,求方程组Ax
的通解.
21.〔此题总分值11分〕
设二次型f(x1,x2,x3)2x12x22ax322x1x28x1x32x2x3在正交变换xQy下的标准形
为1y122y22,求a的值及一个正交矩阵Q.
第6页共16页
22.〔此题总分值11分〕
设随机变量X,Y相互独立,且X的概率分布为PX0P{X2}1,Y的概率密度
2
2y,0y1
为f(y).
0,其他
(1〕求概率P〔YEY〕;
(2〕求ZXY的概率密度.
第7页共16页
23.〔此题总分值11分〕
某工程师为认识一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n次测量,该物体的质
量是的,设n次测量结果X1,X2,
Xn相互独立且均遵从正态分布N(
2).该工
程师记录的是
n
次测量的绝对误差
(
1,2,,),利用
估计参数
Zi
Xii
n
Z1,Z2,,Zn
.
(1〕求Zi的概率密度;
(2〕利用一阶矩求的矩估计量;
(3〕求参数最大似然估计量.
第8页共16页
2021年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?
数学三?
试题答案
一、选择题:
1—8小题.每题
4分,共32分.
1
cosx
1x
1,lim
1.解:
lim
f(x)
lim
lim
2
f(x)
b
f(0),要使函数在x0
x0
x0
ax
x0ax2a
x0
处连续,必定满足
1
b
ab
1.所以应入选〔A〕
2a
2
2.解:
z
y(3
x
y)
xy
3y
2xy
y2,z
3x
x2
2xy,
x
y
2z
2y,
2z
2x,
2z
2z
3
2x
x2
y2
x
y
y
x
z
3y
2xyy2
0
解方程组
x
,得四个驻点.对每个驻点考据AC
B2,发现只有在点
z
3x
x2
2xy
0
y
(1,1)处满足AC
B2
3
0,且A
C
2
0,所以
(1,1)为函数的极大值点,所以应该
选〔D〕
3.解:
设g(x)
(f(x))2,那么g(x)
2f(x)f
(x)
2
是单调增加函数.也
0,也就是f(x)
2
f(
2
f
(1)
f(
1),所以应入选〔C〕
就获取f
(1)
1)
4.
1
1
1
2
1
1k1
1
解:
iv
n
kln(1
111
o
(1
时sinn
n)
nk
n
2
n
n2
k)n
2n2o
n2
显然当且仅当(1
k)
0,也就是k
1时,级数的一般项是关于1
的二阶无量小,级数
n
收敛,从而选择〔C〕.
5.解:
矩阵
T的特色值为1和n
1个0,从而E
T,E
T,E2
T,E2
T的
特色值分别为0,1,1,
1;2,1,1,
1;1,1,1,
1;3,1,1,,1.显然只有E
T存在零特
征值,所以不可以逆,应入选〔A〕.
第9页共16页
6.解:
矩阵A,B的特色值都是
1
22,
3
1.可否可对解化,只需要关心
2的情
况.
0
0
0
关于矩阵A,2E
A
0
0
1
,秩等于
1,也就是矩阵A属于特色值
2存在两
0
0
1
个线性没关的特色向量,也就是可以对角化,也就是
A~C.
0
1
0
关于矩阵B,2E
B
0
0
0
,秩等于
2,也就是矩阵A属于特色值
2只有一
0
0
1
个线性没关的特色向量,也就是不可以对角化,自然
B,C不相似应选择〔B〕.
7.
解:
P((A
B)C)P(AC
AB)
P(AC)
P(BC)
P(ABC)
P(A)P(C)P(B)P(C)
P(ABC)
P(AB)P(C)(P(A)
P(B)
P(AB))P(C)
P(A)P(C)
P(B)P(C)P(AB)P(C)
显然,A
B与C相互独立的充分必要条件是
P(ABC)
P(AB)P(C),所以选择〔C〕.
8.
解:
〔1〕显然(Xi
)~N(0,1)
(Xi
)2
~
2
(1),i1,2,
n且相互独立,所以
n
)2
2(n)分布,也就是〔A〕结论是正确的;
(Xi
遵从
i1
n
2
2
(n
2
2
〔2〕
(Xi
X)
(n
1)S
1)S
(n
1)
,所以〔C〕结论也是正确的;
2
~
i
1
〔3〕注意
1
n(X
)~N(0,1)
n(X
2
~
2
〕结论也是
X~N(,)
)
(1),所以〔D
n
正确的;
〔4〕关于选项〔B〕:
(Xn
X1)~N(0,2)
Xn
X1~N(0,1)
1(XnX1)2~
2
(1),所
2
2
以〔B〕结论是错误的,应入选择〔B〕
第10页共16页
二、填空题〔此题共6小题,每题4分,总分值24分.把答案填在题中横线上〕
(sin3x
2
x2)dx
2
x2dx
3
9.解:
由对称性知
2
.
0
2
10.解:
齐次差分方程yt1
2yt
0的通解为y
C2x;
设yt12yt2t的特解为yt
at2t
,代入方程,得a
1;
1
2
所以差分方程yt
1
2yt
2t的通解为y
C2t
t2t.
2
11.解:
答案为
1
(1
Q)eQ.
平均本钱C(Q)
1
eQ,那么总本钱为C(Q)
QC(Q)
QQeQ,从而边缘本钱为
C(Q)1(1Q)eQ.
12.解:
df(x,y)
yeydxx(1y)eydy
d(xyey),所以f(x,y)
xyey
C,由f(0,0)
0,
得C0,所以f(x,y)
xyey.
1
0
1
1
0
1
1
0
1
13.解:
对矩阵进行初等变换
A
1
1
2
0
1
1
0
1
1,知矩阵A的秩
0
1
1
0
1
1
0
0
0
为2,由于1,
2,
3为线性没关,所以向量组A
1,A
2,A3的秩为2.
14.解:
显然由概率分布的性质,知
ab
1
1
2
1
1
1
EX
a
3ba3b1
0,解得a
21
b
4
2
9,DXEX2
9.
4
EX2
2a9b
E2(X)
2
2
三、解答题
15.〔此题总分值10分〕
解:
令xt
u,那么t
x
u,dt
du,
x
tetdt
x
uexudu
0
x
0
x
t
x
x
u
x
u
x
x
tedt
e
ue
du
ue
du
xe
2
lim
lim
0
lim
0
0
lim
x0
x3
x0
x3
x0
x3
x0
3
x
3
2
16.〔此题总分值10分〕
第11页共16页
解:
y
3
x
y
3
y4)2dxdy
dx
y4)2dy
D(1x2
0
0(1x2
1
x
d(1
x2
y4)
40
dx
(1
x2
y4)2
0
1
1
1
dx
1
2
40
1x2
12x2
8
2
17.〔此题总分值10分〕
解:
由定积分的定义
n
k
ln
k
lim
1n
k
lim
2
1
ln1
n
1n
n
n
nk1
n
k
1
1
x)dx
2
2
ln(1
0
k
1
n
xln(1x)dx
0
1
4
18.〔此题总分值10分〕
解:
设
f(x)
1
1
(0,1)
,那么
ln(1
x)
x
x
f(x)
1
1
(1
x)ln2(1x)
x2
(1
x)ln2(1
x)
x2
x2(1
x)ln2(1
x)
令g(x)
(1
x)ln2(1
x)
x2,那么g(0)
0,g
(1)
2ln22
1
g(x)
ln2(1
x)
2ln(1
x)
2x,g(0)
0
g(x)
2(ln(1
x)
x)
0,x
(0,1),所以g(x)在(0,1)
上单调减少,
1
x
由于g
(0)
0
,所以当x(0,1)
时,g(x)g
0)
0,也就是g(x)g(x)在(0,1)上单调减
少,当
x(0,1)时,g(x)
g(0)
0,进一步获适当
x(0,1)时,f(x)
0,也就是f(x)在
(0,1)上单调减少.
lim
f(x)
lim
1
1
lim
x
ln(1
x)
1
,f
(1)
1
1,也就是获取
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