正多边形的有关计算.docx
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正多边形的有关计算
正多边形的有关计算
【基础知识精讲】
一、定理:
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
二、正多边形有关计算
(n2)180
(1)正n边形角的计算公式:
①每个内角等于
(n
为大于或等于3的整数);②每个外角
360
=每个中心角=n
⑵正n边形的其他有关计算,由于正n边形的半径和边心距把正
n边形分成2n个全等的直角三角形,
而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素之间的关系,
所以,可以把正
n边形的计算转化为
解直角三角形的问题,这个直角三角形的斜边为外接圆半径
R,—条直角边是边心距
rn,另一条直角边是
180
an
边长an的一半(即2);两个锐角分别为中心角的一半(即n)和一个内角的一半
90
(即n)或(即90°
180
n).
【重点难点解析】
重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题
.难点是通过作正n边形的半径和边心距
把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题
例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°,求这个正多边形的边数.
解:
设此正多边形的边数为n,则各内角为
(n2)180
360
,外角为n,依题意得:
(n2)180360
n=100°.
解得n=9
答:
这个正多边形的边数为9.
例2.如图7-42,已知:
正三角形ABC外接圆的半径为R,求它的边长,边心距、周长和面积
解:
连结OB,过O作OM丄BC于M
180
.•./BOM=3=60°,.0BM=30
•'•OM=2OB=2R,.・.甲=2
BM=JoB2OM2JR2(》岛
.03=BC=2BM=衣R
/.P3=3a3=3曲R
丄R3/3
•*S3=3S/BOC=3X2、歸=〒r2
例3.—个正三角形和一个正六边形的面积相等,求它们边长的比
=60°,BD=2a3,
2a6
■-4a23=
3/3
2a26
a2
2
a5
•a;
=丿2,即a3:
a2=2
解:
如图7-43,设0,0'分别是正三角形ABC,正六边形EFGHIJ的中心,分别作0D丄BC于D,
180
作OK丄GH于K,连OB,OG,则在Rt/ODB中,/BOD=3
.•『3=OD=BDctg60°=6aa,
.'S3=6S△ODB=6X2BDOD
丄1並血
=6X2X2a3X6a3=4a32.
180
在Rt△'KG中,/GO'K=6=30°,GK=
.•.r6=OK=GKctg30°=2a6
/.S6=12S/OGK=12X2XGKXO'K
=12X2X2a32x2a6=2a62
•.•S3=S6,
例4.求证:
正n边形的面积Sn等于其周长Pn与边心距rn的积的一半.
J-
证明:
如图7-44,设QO是正n边形ABC…的内切圆,其中AB与。
O相切于D,连0A,OD,OB,
i旦
知OD丄AB且OD=rn,.S/oab=2abOD=2-nm
T正n边形有n个如同△OAB
的等腰三角形,
1Pn
...Sn=nS/OAB=n*2-n
rn=2Pnrn.
【难题巧解点拨】
a8,边心距r8和中心角.
例1.已知:
如图7-45,
解:
连结0A、0B,并作0K丄AB于点K,
360
中心角a=ZAOB=8=45
在Rt/KOK中,/AKO=90°,OA=R,ZAOK=2a=22.5°
故AK=OAxsin/AOK=Rsin22.5°,
/AK=0.3827R
.•.a8=AB=2AK=0.7654R
r8=OK=OAcosZAOK=Rcos22.5°=0.9239R
〔说明〕
(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形,有关正多边形的计算常常
归结为解这个直角三角形
⑵若正n边形的半径为R,则它的中心角a
180
180
边长an=2R•sinn,边心距ra=Rcosn
例2.已知如图7-46
,等边△ABC的边长为a,求其内切圆的内接正方形DEFG的面积.
解:
图7-1百
设BC切QO于M,连OM,OB,贝UOM丄BC,
180
在Rt△OMB中,/BOM=3=60
1
BM=2bC=2a
J3
OM=BMctg/BOM=2actg60°=6
连结OE,作ON丄EF于N,
贝UOE=OM=6a
180
43
Rt△ONE中,/EON=4=45
OE=
=12a
/•EN=OEsin/EON=6a•2
.•.EF=2EN=6a
/•S正方形defg=EF2=(6a)2=6
O的半径既
利用这个结果,求半径为R的圆内接正八边形的面积
(用代数式表示).
提示:
如图7-47,连结0A,OB,0A'AB,
则0A'JAB,
•••四边形OAAB的面积等于
2AB0A2Ran
•••半径为R的圆内接正2n边形的面积等于2nRan
1
半径为R的正八边形的面积等于24Ra4=2J2R2
【命题趋势分析】
正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容,主要在各类考试中的填空和选择题中
【典型热点考题】
例1.已知正六边形的半径为3cm,则这个正六边形的周长为
cm.(2000年江苏南通)
分析:
转化为直角三角形求出正六边形的边长,然后用
P6=6an求出周长.
〔说明〕解这类问题是正确画出图形,构造直角三角形,在本题中,由于正三角形内切圆
是正三角形的边心距,又是正方形的半径,所以求出Q0的半径是个突破口.
【课本难题解答】
例.已知:
半径为R的圆内接正n边形的边长为an,求证:
同圆内接正2n边形的面积等于2nRan,
例2.已知正多边形的边心距与边长的比为2,则此正多边形为().
A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正十二边形
分析:
将问题转化为直角三角形,由直角边的比知应选
(B).
例3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是
J6
(2000年浙江台州)
A.2
B.4
C.3
D.3(2000年北京石景山
分析:
分别求出正三角形、正方形的边长,知应选
(A).
Jiir,
【同步达纲练习】
一、填空题
1.正n边形的半径和边心距把正n边形分成
个全等的直角三角形.
2.正三角形的半径为R,则边长为
,边心距为
,面积为
.若正三角形边长为a,则半径为
3.正n边形的一个外角为30°,则它的边数为
,它的内角和为
4.如果一正n边形的一个外角等于一个内角的三分之二,则这个正
n边形的边数n=
5.正六边形的边长为1,则它的半径为
,面积为
6.同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为
7.正三角形的高:
半径:
边心距为
8.边长为1的正六边形的内切圆的面积是
二、选择题
1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是()
B.2:
1
C.1:
血
D.1:
2
2.两圆半径之比为2:
3,小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为
A.2:
3
B.4:
9
C.16:
27
r
D.4:
3U3
3.正三角形的外接圆半径是4cm,以正三角形的一边为边作正方形,则此正方形外接圆半径长为
A.8后cm
B.4后cm
C.2丁6cm
D."6cm
二、计算题
1.已知一个正n边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm,10J3cm,求:
这个多边形的边长和面积.
2.已知QO的半径为R,求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长
【素质优化训练】
1.如图7-48所示,已知三个等圆QA、。
B、。
C两两外切,E点为QA、。
C的切点,ED丄BC于D,圆
的半径为1,求DE的长.
2.证明:
如果延长正六边形的各边,使其两两相交,顺次连结各交点,则得一个新的正六边形,而它的面
积等于原正六边形面积的三倍
【知识探究学习】
C
如图7-49,ABCD为正方形,E、
AEF的内接正方形,
F分别在BC、CD上,且△AEF为正三角形,四边形AB'C'D'为△△A'EF'为正方形ABCD'的内接正三角形。
S正方形A'B'C'D'Sa'E'F'
⑴试猜想S正方形ABCD与SaEF的大小关系,并证明你的结论;
S正方形A'B'C'D'
⑵求S正方形ABCD的值.
参考答案
【同步达纲练习】
_13/3
一、1.2n2.U3R2R;4r2
3a3.12;1800°4.n=5
3屈__
5.1;26.丿3:
J2:
1
7.3:
2:
18.4n
二、1.A2.C3.C
1.边长为20cm,面积为
600V3cm2
2.所求正方形的周长为
【素质优化训练】
1.△KBC为正三角形,DE=22.(略)
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- 正多边形 有关 计算