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高数一知识点
第一章一第三章
1、极限
数列极限lim暫
函数极限limf(x),
limf(x),
A—
limf(x)
lim/(x),
lim/(x),
—x:
凹严)
求极限(主要方法):
・sinx.lim=1,
•5x
(2)等价无穷小替换
(P76)o当於)T0时,
sin(p(x)~(p(x).tan(p(x)~(p(x\arcsin(p(x)~(p{x).arctan(p(x)~(p{x\
1-COS^>(x)(fT(x),ln(l+0(x))〜0(x),严“一1~0(X),
2
1—1~(p(x)Ina{a>0),(1+(p(x))a~a^(x)(a丰0)
代换时要注意,只有乘积因子才可以代换。
(3)洛必达法则(J二Of’s—s,。
。
」30®。
),只有?
,乞可以直接用罗比达法则。
0ooOs
幫指函数求极限:
lim/心严)=严'皿"⑴;
或,令y=w(x)"°,两边取对Utlny=v(x)lnw(x),若limv(x)lnw(x)=a,则lim“(x)»w=/。
结合变上限函数求极限。
二、连续limf(x)=/(x0)
X->.tb
左、右连续lim/(x)=/(x0Xlim/(x)=/(x0)
x->x|}x->xt>
函数连续O函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质:
最值,有界,零点(结合证明题),介值,推论。
左导数
厂(和=恤/⑴一/血=lim/(—/(")
x-x:
X-Xo“-XTAX
右导数
AU)=lim=Hmm+a—g)
sx:
X-XoAX
微分
Ay=Azlr+o⑵dy=Adx=y'dx
可导=>连续可导o可微可导o既左可导又右可导求导数:
(1)复合函数链式法则
u=g(x)字=半半=厂[讥3)
dxdudx
y=f[gW]yTTgCQ]g9M/UW]*(/[^Wl)r
(2)隐函数求导法则
两边对x求导,注意y、)「是入的函数。
(3)参数方程求导
四、导数的应用
(1)罗尔宦理和拉格朗日定理(证明题)
(2)单调性(导数符号),极值(第一充分条件和第二充分条件),屋值。
(3)凹凸性(二阶导数符号),拐点(曲线上的点,二维坐标,曲线在该点两侧有不同
凹凸性)。
第四章不定积分
凍函数(F(x))'=/(x)t不定积分\f(x)dx=F(x)+C
基本性质^-l\f(x)clx]=fM或±[jf(x)dx]=f(x)
JF(x)dx=F(x)+c或JdF(x)=F(x)+C.
J[/W+g(x)]dx=J/(x)dx+Jg(x)dx(分项积分)
Jk/(x)dv=Zrj/(x)dv
基本积分公式
(1)lkdx=kx+C;
(2)jxadx=—!
—xa*}+C(a#=-l)
Ja+1
(13)f—=arctanx+C
1+JT
除了上述基本公式之外,还有几个常用积分公式
1.Jtanxdx=-InIcosxI+C;2・Jcotxdx=InIsinxI+C;
2.
9.J厂享=InIx+厶‘土o'I+C・yjx2±a2
求不定积分的方法
1.直接积分法:
恒等变形,利用不定积分的性质,直接便用基本积分公式。
2.换元法:
第一类换元法(凑微分法)
j/(^(-v))^(A)dv=Jf(u)du=F(w)+C=F(傾x))+C.
第二类换元法(变量代换法)
J/U)cLv=]7(凶))必)击=F(r)+C=Fg)]+C.(注意回代)
第五章定积分
2•性质:
设/(©、g(x)在[“上]区间上可积,则定积分有以下的性质.
(1).Jdx=b-a;
(3).^f(x)dx=£f(x)dx+J7(x)t/x;
(4).若在[a问上,/(x)>0,则£7(x)Ja->0;
推论1•若在[a,上,f(x) f(x)dx g(x)〃x推论2.If7(x)/七{a (5).若函数/(Q在区间肚叶上可积,且m (6).(定积分中值定理)设/⑴在区间[“上]上连续,则存在使 3.积分上限函数[/(/)力及其性质 ⑴.(J7aw=/M,或^J7(rwr=/(x); (2).如果0(0=]「几)力,则03=(J「")d/)'=/(诚00⑴. (3).如果 则/©戶忙: 了⑴力“/例砂妙⑴-/肌耳艸⑴. 4.广义积分 (1).无穷限积分 [收敛(极限存在)发散(极限不存在) j^/(x)£/x=limJ/(x)Ja=< 收敛的充分必要条件是反常积分[「/(刈厶、匸/(刃必同时收敛,并 且在收敛时,有 匚: /(威仪=]■「_/(X)必+J: y(x)dx• 则[兀川收敛0打(对心与「念冷均收敛,并且在收敛时,有 [了(“止=E/UXv+f'/(A>/x 二、计算 (一)定积分的计算 1、微积分基本公式: 设函数/(X)在区间k,b]上连续,且Fz(x)=/(a),则 f(x}dx=F(f9)-F(ci),牛顿-莱布尼兹(N-L)公式 2、换元法: 设函数/⑴在区间k“]上连续,函数X=(p(t)满足: 1在区间[彳0]上可导,且0'(r)连续; 2a=0(a),b=0(0),当时,xe[a,b]t则 [: /(威々=@(/)0⑴山 3、分部积分法: j*uv'dx=(hv)1^-Ju'vdx,或Judv=(wv)1^-Jvdu. 4、偶倍奇零: 设函数/⑴在区间[-匕切上连续,则 6、分段函数的定积分。 (二)与积分上限函数相关的计算 (三)广义积分的计算(依据定义先求原函数,再求极限) 三、定积分的应用 (一)几何应用 1、平面图形的面积 ⑴直角坐标A=£7(x)dx,A=fl/(x)—g(x)ldx=f(上曲线一下曲线kix,或A=j"0(y)dy,A=J”I卩(刃一0(刃Idy=f(右曲线一左曲线)dyx=(p(t)“ (2)参数方程若与x=ayx=b及x轴所围成的面积A=\ a.p分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。 (3)极坐标由曲线r=『⑹,0=a.0=p\a<0)所围的曲边扇形 的面积A=〔『[,・(&)]勺& 2Ja 2、旋转体的体积 (1)直角坐标: 由曲线y=J\x\x=a,x=b\a 周的旋转体的体积V=J: 肝{x)dx=^f\x)dx. 由曲线A=俠y),y=c,y=d,(cV〃)与y轴所围曲边梯形绕V轴旋转一周的旋转体的体积V=f^(p\y)dy=町: (p\y}dy. (x=0(/) (2)参数方程由1与x=a.x=b及x轴所围成的图形绕x由旋转一周的旋转体 [y=必) 的体积V= Jet 3、平面曲线的弧长(积分限从小到大) (1)直角坐标S=EJl+LT(X)Wx (2)参数方程^了/玖沂+[)()]「〃 ⑶极坐标s= (二)物理应用 (步骤: 建立坐标系,选择积分变量,求出功的微元或压力微元,求定积分) 第六章微分方程 1、内容小结: (1)、概念: 微分方程;阶;通解;特解;初始条件;初值问题;线性相关;线性无关 (2)、解的结构 齐次线性y"+P(x)y'+0(x)y=O(*) 非齐次线性yu+P(x)y'+QMy=f(x)(**) 1、”,儿是(*)的解,则y=G>? i+C>2也是仁)的解;若”,儿线性无关,则y=C,>'+C2儿为(*)的通解) 2、yi*,y2*是(**)的解,则y,*-y2*是对应齐次线性方程的解 Y是(*)的通解,y*是(**)的解,则Y+y^是(**)的通解 (3)、解方程: 判别类型,确定解法。 一阶,二阶。 二、一阶微分方程求解 1、可分离变量方程 y'=fMg(y)或g(y)dy=f(x)dx或Mx{x)Nx(y)dy+M2(x)N2(y)dx=0解法: 先分离变量,两边再同时积分 2、齐次方程 卩=/(丄)解法: 令»=-,则f="+ XX 4七dxr/A\人xclxdu 或者-=/(-)解法: 令"=一,〒="+〒 ayyyayay 3、一阶线性微分方程 齐次线性y'+P(x)y=O0=0卜川皿) 非齐次线性y'+P(x)y=Q(x)(尸丿"5(扭(心"2么乂)) 三、二阶微分方程求解 (1)、可降阶情形 1、yn=fW 2、不显含y的二阶方程y"=/(x,y') 解法: 令y'=p>则y"=p\原方程化为p'=/(x,p) 3、不显含x的二阶方程〉,"=/(〉,$) 解法: 令y'=P,则y”=p字,原方程化为p吗=f(y,p) aydy (2)、二阶线性微分方程 1、二阶常系数齐次线性微分方程y"+Q'+©=0(***)(其中? q为常数) 特征方程r2+pr+c/=O 特征根斤,3 r^r2且为实根,则微分方程通解为>'=Ger'x+C2e" =q=-y为相等实根,则微分方程通解为>'=(Cl+C2x)err rL1=a±i/3为一对共觇負根,则微分方程通解为y=ea\C}cos/3x+C2sinpx) 2、二阶常系数非齐次线性微分方程 y^py^qy=Pm{x^x(****),(2为常数,几匕)是m次多项式) 其具有特解形式y=/a_(Akz\其中QJx)为与Pm(x)同次的多项式, 0/I不是特征根 12是特征单根 22是特征二重根
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