七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版Word下载.docx
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系数——取各项系数的最大公约数&
#61679;
#61677;
字母——取各项都含有的字母
指数——取相同字母的最低次幂&
#61678;
例:
12a3b3c&
#61485;
8a3b2c3&
6a4b2c2的公因式是
解析:
从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;
字母部
3232
分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc,故多项式的公因式是2abc.
②提公因式的步骤第一步:
找出公因式;
第二步:
提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提公因式后剩
下的另一个因式。
注意:
提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的,要
先提取符号。
2233
例1:
把12ab&
18ab&
24ab分解因式.
本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为6ab。
解:
12ab&
24ab
6ab(2a&
3b&
4a2b2)
例2:
把多项式3(x&
4)&
x(4&
x)分解因式
由于4&
x&
(x&
4),多项式3(x&
x)可以变形为3(x&
x(x&
4),我们可以发现多项
式各项都含有公因式(x&
4),所以我们可以提取公因式(x&
4)后,再将多项式写成积的形式.解:
3(x&
x)=3(x&
4)=(3&
x)(x&
4)
例3:
把多项式&
x2&
2x分解因式
2x=&
(x2&
2x)&
2)
(2)运用公式法
把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a.逆用平方差公式:
a2&
b2&
(a&
b)(a&
b)
b.逆用完全平方公式:
#61617;
2ab&
b)2
3
2
c.逆用立方和公式:
a&
b&
ab&
b(拓展))
d.逆用立方差公式:
a3&
b3&
b)(a2&
b2(拓展))
①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法:
主要从项数上看,若多项式是二项式可考虑平方差公式;
若多项式是三项
式,可考虑完全平方公式。
因式分解a2&
14a&
49
49=(a&
7)2
因式分解a&
2a(b&
c)&
(b&
c)解:
c)=(a&
c)(3)分组分解法(拓展)
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解;
例:
把多项式ab&
1分解因式
1=(ab&
a)&
1)=a(b&
1)&
1)(b&
1)②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.
22
将多项式a&
1&
b因式分解
222
b
=(a&
b)&
1)(a&
1)
2x(4)十字相乘法(形如&
(p&
q)x&
pq&
p)(x&
q)形式的多项式,可以考虑运用此种方法)
方法:
常数项拆成两个因数p和q,这两数的和p&
q为一次项系数
pq
q)
分解因式x2&
30分解因式x2&
52x&
100补充点详解补充点详解
我们可以将-30分解成p×
q的形式,我们可以将100分解成p×
q的形式,使p+q=-1,p×
q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×
q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。
q=50或q=2,p=50。
所以将多项式x2&
pq可以分所以将多项式x2&
pq可以分解为(x&
q)解为(x&
x
x5
x2
-6
x50
30&
6)(x&
5)
3.因式分解的一般步骤:
100&
50)(x&
2)
如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法;
若是四项或四项以上的多项式,
通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式。
因此,可以概括为:
“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,若题目没有明
确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式。
一、例题解析
提公因式法
提取公因式:
如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法:
系数——取多项式各项系数的最大公约数;
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式:
⑴15a&
#61480;
#61481;
2n&
1
10ab&
(n为正整数)
2n
⑵4a2n&
1bm&
6an&
2bm&
1(m、n为大于1的自然数)
【巩固】分解因式:
(x&
y)2n&
z)(x&
2(y&
x)2n(y&
z),n为正整数.
【例2】先化简再求值,y&
y&
x2,其中x&
2,y&
&
#61548;
求代数式的值:
(3x&
2)2(2x&
2)(2x&
1)2&
x(2x&
1)(2&
3x),其中x&
.
1.2
22221
【例3】已知:
c&
2,求a(a&
b(c&
c(2b&
2c&
2a)的值&
#61550;
公式法
平方差公式:
①公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反;
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式;
③右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积.完全平方公式:
b)2a2&
b)2①左边相当于一个二次三项式;
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式;
分解因式:
x3(x&
z)(y&
z&
x2z(z&
y)&
x2y(z&
y)(x&
a).
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍,符号可正可负;
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式:
b2)a3&
b2)(a&
b)3&
3a2b&
3ab2&
b3(a&
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