学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语112集合的基本关系教师用书新人教b版必修第一册.docx
- 文档编号:11705816
- 上传时间:2023-06-02
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:139.97KB
学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语112集合的基本关系教师用书新人教b版必修第一册.docx
《学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语112集合的基本关系教师用书新人教b版必修第一册.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语112集合的基本关系教师用书新人教b版必修第一册.docx(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语112集合的基本关系教师用书新人教b版必修第一册
1.1.2 集合的基本关系
考点
学习目标
核心素养
子集、真子集的概念
理解子集、真子集的概念,会用列举法求有限集的所有子集
数学抽象
集合关系的判定
能用符号和维恩图表达集合间的关系,会判断两个集合间的关系
数学抽象、逻辑推理
集合关系的应用
能根据集合的关系解决简单的求参问题
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P9-P13,思考以下问题:
1.集合与集合之间的关系有哪几种?
如何用符号表示这些关系?
2.集合的子集是什么?
真子集又是什么?
如何用符号表示?
3.集合相等的概念是什么?
1.子集
(1)概念:
一般地,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集.
(2)记法:
A⊆B(或B⊇A)
(3)读法:
A包含于B(或“B包含A”)
(4)如果A不是B的子集,记作A⃘B(或B⊉A),读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).
(5)性质:
A⊆A;∅⊆A.
■名师点拨
“集合A是集合B的子集”可以表述为:
若x∈A,则x∈B.
2.真子集
(1)概念:
一般地,如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集.
(2)记法:
AB(或BA)
(3)读法:
A真包含于B(或“B真包含A”)
(4)性质:
对于集合A,B,C,①如果A⊆B,B⊆C,则A⊆C;②如果AB,BC,则AC.
■名师点拨
在真子集的定义中,AB首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.
3.维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,这种示意图通常称为维恩图.
■名师点拨
表示集合的维恩图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
4.集合的相等与子集的关系
(1)一般地,如果集合A和集合B的元素完全相同,则称集合A与集合B相等,记作A=B,读作“A等于B”.
(2)由集合相等以及子集的定义可知:
如果A⊆B且B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B且B⊆A.
■名师点拨
若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“∈”“⊆”的意义是一样的.( )
(2)空集是任何集合的真子集.( )
(3)若集合A是集合B的真子集,则集合B中必定存在元素不在集合A中.( )
(4)若a∈A,集合A是集合B的子集,则必定有a∈B.( )
(5){1,2,3}={3,2,1}.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)√ (5)√
已知集合M={1},N={1,2,3},能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
A.M C.N⊆MD.MN 答案: D 已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则( ) A.A⊆BB.C⊆B C.D⊆CD.A⊆D 解析: 选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形,所以C⊆B. 已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=________. 解析: 因为A⊆B,所以a+3=1,即a=-2. 答案: -2 集合间关系的判断 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A=(-1,4),B=(-∞,5); (3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 【解】 (1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)用数轴表示区间A,B,如图所示,由图可知AB. (3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM. 1.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的维恩图是( ) 解析: 选B.解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得NM,其对应的维恩图如选项B所示. 2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当的符号填空: (1)A________B; (2)A________C; (3){2}________C;(4)2________C. 解析: 集合A为方程x2-3x+2=0的解集,即A={1,2},而C={x|x<8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}.故 (1)A=B; (2)AC;(3){2}C;(4)2∈C. 答案: (1)= (2) (3) (4)∈ 子集、真子集的个数问题 (1)(2019·安庆检测)已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0 A.1 B.2 C.3D.4 (2)已知集合A={x∈R|x2=a},使集合A的子集个数为2的a的值为( ) A.-2B.4 C.0D.以上答案都不是 (3)若集合A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},则集合B的非空真子集的个数为( ) A.3B.6 C.7D.8 【解析】 (1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的C可为{1,2,3},{1,2,4}. (2)由题意知,集合A中只有1个元素,必有x2=a只有一个解;若方程x2=a只有一个解,必有a=0. (3)由题意A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},可知B={6,8,12},所以集合B的非空真子集的个数为23-2=6. 【答案】 (1)B (2)C (3)B (变条件)若将本例 (1)的条件改为{2,3}⊆C⊆{1,2,3,4,5},试写出集合C的所有可能. 解: 当C中含有两个元素时,C为{2,3}; 当C中含有三个元素时,C为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5}; 当C中含有四个元素时,C为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}; 当C中含有五个元素时,C为{2,3,1,4,5},所以满足条件的集合C为{2,3},{2,3,1}{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5}. (1)求集合子集、真子集个数的3个步骤 (2)与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素,则有 ①A的子集的个数有2n个; ②A的非空子集的个数有2n-1个; ③A的真子集的个数有2n-1个; ④A的非空真子集的个数有2n-2个. 若集合A{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有________个. 解析: 若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{3,2};若A中含有两个奇数,则A={1,3}. 答案: 5 集合相等 (1)给出以下5组集合: ①M={(-5,3)},N={-5,3}; ②M={1,-3},N={3,-1}; ③M=∅,N={0}; ④M={π},N={3.1415}; ⑤M={x|x2-3x+2=0},N={y|y2-3y+2=0}. 其中是相等集合的有( ) A.1组B.2组 C.3组D.4组 (2)设集合M={1,x,y},N={x,x2,xy},且M=N,则x2019+y2018=________. 【解析】 (1)对于①,M={(-5,3)}中只有一个元素(-5,3),N={-5,3}中有两个元素-5,3,故M,N不是相等集合;对于②,M={1,-3},N={3,-1},集合M和集合N中的元素不同,故M,N不是相等集合;对于③,M=∅,N={0},M是空集,N中有一个元素0,故M,N不是相等集合;对于④,M={π},N={3.1415},M和N中各有一个元素,但元素不相同,故M,N不是相等集合;对于⑤,M和N都只有两个元素1,2,所以M和N是相等集合.故选A. (2)因为M=N,所以 或 由集合中元素的互异性,可知x≠1,解得 所以x2019+y2018=-1. 【答案】 (1)A (2)-1 (1)两个集合是否相等,不能只从集合的形式上看,应该先确定这两个集合的所有元素,再根据集合相等的定义进行判断. (2)根据集合相等求系数,应从集合相等的概念入手,寻找两个集合中元素之间的关系.首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等,共有几种情况,然后通过列方程(组)求解.当集合中未知元素不止一个时,往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性. 设a,b∈R,若集合{1,a+b,a}= ,则a-b=________. 解析: 因为{1,a+b,a}中含有元素0,a≠0,所以a+b=0,所以 ={0,-1,b}.由已知{1,a+b,a}= ,得{1,0,a}={0,-1,b},所以a=-1,b=1,所以a-b=-2. 答案: -2 由集合间的包含关系求参数 已知区间A=[-3,4],B=(1,m)(m>1),且B⊆A,则实数m的取值范围是________. 【解析】 由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4, 又m>1,所以1 【答案】 1 1.(变条件)本例若将“B=(1,m)(m>1)”改为“B=(1,m)”,其他条件不变,则实数m的取值范围又是什么? 解: 若m≤1,则B=∅,满足B⊆A. 若m>1,则由例题解析可知1 综上可知m≤4. 2.(变条件)本例若将“B=(1,m)(m>1)”改为“B=(2m-1,m+1)”,其他条件不变,则实数m的取值范围又是什么? 解: 因为B⊆A, (1)当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2. (2)当B≠∅时,有 解得-1≤m<2. 综上得m≥-1. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论; (2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注意端点处是实点还是虚点. [注意] (1)不能忽视集合为∅的情形. (2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},BA,求m的值. 解: A={x|x2+x-6=0}={-3,2}. 因为BA, 所以B={-3}或B={2}或B=∅. 当B={-3}时, 由m·(-3)+1=0, 得m= . 当B={2}时, 由m·2+1=0, 得m=- . 当B=∅时,m=0. 综上所述,m= 或m=- 或m=0. 1.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间的最适合的关系是( ) A.A⊆B B.A⊇B C.ABD.AB 解析: 选D.集合A是能被3整除的整数组成的集合,集合B是能被6整除的整数组成的集合,所以BA. 2.满足{a}⊆M{a,b,c,d}的集合M共有( ) A.6个B.7个 C.8个D.15个 解析: 选B.依题意a∈M,且M{a,b,c,d},因此M中必含有元素a,且可含有元素b,c,d中的0个、1个或2个,即M的个数等于集合{b,c,d}的真子集的个数,有23-1=7(个). 3.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则实数x的值为________,y的值为________. 解析: 因为集合A=B,则x=0或y=0. ①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去; ②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,由①知x=0应舍去,故x=1. 综上可知,x=1,y=0. 答案: 1 0 4.设集合A={1,3,a},B={1,1-2a},且B⊆A,则a的值为________. 解析: 由题意得1-2a=3或1-2a=a, 解得a=-1或a= . 当a=-1时, A={1,3,-1},B={1,3},符合条件. 当a= 时, A= ,B= ,符合条件. 所以a的值为-1或 . 答案: -1或 [A 基础达标] 1.(2019·衡水检测)已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={3,4,5,X},若B⊆A,则X可以取的值为( ) A.1,2,3,4,5,6 B.1,2,3,4,6 C.1,2,3,6D.1,2,6 解析: 选D.由B⊆A和集合元素的互异性可知,X可以取的值为1,2,6. 2.已知集合A={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A;②{-3}∈A;③∅⊆A;④{3,-3}⊆A. A.4个B.3个 C.2个D.1个 解析: 选B.根据题意,集合A={x|x2-9=0}={-3,3},依次分析4个式子: 对于①3∈A,3是集合A的元素,正确; ②{-3}∈A,{-3}是集合,有{-3}⊆A,错误; ③∅⊆A,空集是任何集合的子集,正确; ④{3,-3}⊆A,任何集合都是其本身的子集,正确.共有3个正确. 3.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( ) A.1B.2 C.4D.不确定 解析: 选C.方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0, 所以方程有两个不相等的实数根, 所以集合M有2个元素,所以集合M有22=4个子集. 4.已知集合M= ,N= ,则( ) A.M=N B.MN C.MN D.M与N没有相同元素 解析: 选C.因为 + = (2k+1), + = (k+2),当k∈Z时,2k+1是奇数,k+2是整数,又奇数都是整数,且整数不都是奇数,所以MN.故选C. 5.已知集合P={x|x2=1},Q={x|ax=1},若Q⊆P,则a的值是( ) A.1B.-1 C.1或-1D.0,1或-1 解析: 选D.由题意,当Q为空集时,a=0,符合题意;当Q不是空集时,由Q⊆P,得a=1或a=-1.所以a的值为0,1或-1. 6.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为________. 解析: 因为xy>0,所以x,y同号,又x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点,而集合P也表示第三象限内的点,故M=P. 答案: M=P 7.已知∅{x|x2+x+a=0},则实数a的取值范围是________. 解析: 因为∅{x|x2+x+a=0},所以方程x2+x+a=0有实数根,即Δ=1-4a≥0,a≤ . 答案: a≤ 8.设区间A=(-1,3],B=(a,+∞),若AB,则a的取值范围是________. 解析: 区间A,B在数轴上表示如图,由AB可求得a≤-1,注意端点能否取到是正确求解的关键. 答案: a≤-1 9.判断下列集合间的关系: (1)A={-1,1},B={x∈N|x2=1}; (2)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z}; (3)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0}; (4)A={x|x=a2+1,a∈R},B={x|x=a2-4a+5,a∈R}. 解: (1)用列举法表示集合B={1},故BA. (2)因为Q中n∈Z,所以n-1∈Z,Q与P都表示偶数集,所以P=Q. (3)因为A={x|x-3>2}={x|x>5}, B={x|2x-5≥0}= , 利用数轴判断A,B的关系. 如图所示,AB. (4)因为A={x|x=a2+1,a∈R}={x|x≥1}, B={x|x=a2-4a+5,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1},所以A=B. 10.(2019·葫芦岛检测)已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1 (1)若A=B,求y的值; (2)若A⊆C,求a的取值范围. 解: (1)若a=2,则A={1,2},所以y=1. 若a-1=2,则a=3,A={2,3},所以y=3, 综上,y的值为1或3.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学年 新教材 高中数学 第一章 集合 常用 逻辑 用语 112 基本 关系 教师 新人 必修 一册
链接地址:https://www.bingdoc.com/p-11705816.html