高考数学一轮复习专题14圆锥曲线与方程教师版.docx
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高考数学一轮复习专题14圆锥曲线与方程教师版
2011年高考数学一轮复习资料第十四章圆锥曲线与方程
整体感知
热点点击:
高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题,1个填空题,1个解答题),共计22分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查•选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主,难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的
重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,往往结合平面向量进行求解,在复
习应充分重视。
高考命题趋势:
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,兼容并包,可与代数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查,基本上是两个客观题,一个主观题,分值20分,并且主要体现出以下几个特点:
1•圆锥曲线的基本问题,主要考查以下内容:
1圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解.
2圆锥曲线的几何性质的应用.
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高,此类问题的解决需掌握四种基本方法:
直译法、定义法、相关点法、参数法.
3•有关直线与圆锥曲线位置关系问题,是高考的重热点问题,这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想和设而不求”的方法、对称的方
法及韦达定理,多以解答题的形式出现.
4•求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较大,运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.
高考复习建议:
1圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容•复习中对基本概念的理解要深,对公式
的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系•椭圆、双曲线、抛物线它们都
可以看成是平面截圆锥所得的截线,其本质是统一的•因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定
直线I的距离之比是一个常数e的轨迹”,当0vev1e=1e>1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线.复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义,标准方程及几何性质进行归类、比较,把握它们之间的本质联系,要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题.
2•计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的
解题途径与方法.
3•加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习,注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用.
4•重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系,重视数学思想方法的训练,达到优化解题思维、简化解题过程的目的.
第1讲椭圆
【知识精讲】
(一)椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F21)的动点M的轨迹
叫做椭圆,椭圆的定义中,平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于IRF2I这个条件不可忽视.若这个
距离之和小于|FiF21,则这样的点不存在;若距离之和等于IFiF21,则动点的轨迹是线段FiF2.
2222
2.椭圆的标准方程:
x3y2=1(a>b>0),厶x2=1(a>b>0).
a2b2a2b2
3.椭圆的标准方程判别方法:
判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:
如果x2项的分母大于y2项的分母,
则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法:
⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解•
(2)椭圆的简单几何性质
22
设椭圆方程为刍a>b>0).⑴范围:
-a a2b2 所围成的矩形里•⑵对称性: 分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心.⑶顶点: 有四个A,(-a,0)、A2(a,0)B,(0,-b)、B2(0,b).线段A,A2、B,B2分 别叫做椭圆的长轴和短轴•它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长•所以椭 圆和它的对称轴有四个交点, c 称为椭圆的顶点•⑷离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比e叫做椭圆的离心率 a (3)椭圆的第二定义 ⑴定义: 平面内动点 M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 C e(ev1=时,这 a 个动点的轨迹是椭圆 222 ⑵准线: 根据椭圆的对称性, ^■7^7=1(a>b>0)的准线有两条,它们的方程为x=—.对 abc 222 于椭圆与•笃=1(a>b>0)的准线方程,只要把x换成y就可以了,即y二一丈. abc 3.椭圆的焦半径: 由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径 22 设F1(-c,0),F2(c,0)分别为椭圆务•£=1(a>b>0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭 ab 圆上任一点,则两条焦半径长分别为MF1=a+ex,MF2=a-ex. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便 椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a2=b2+c2、e=£两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两 a 个独立条件 (4)椭圆的参数方程 22 椭圆冷•厶=1(a>b>0)的参数方程为a2b2 x=acosty=bsinv (0为参数) 说明⑴这里参数0叫 做椭圆的离心角•椭圆上点P的离心角0与直线OP的倾斜角a不同: tan〉=-tanr; a ⑵椭圆的参数方程可以由方程 22 ‘A1与三角恒等式曲…汙八1相比较而得到,所以椭 圆的参数方程的实质是三角代换• 【基础梳理】 1.椭圆的定义 平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a()的点的轨迹叫椭圆•有|PF1|+|PF2|=2a. 在定义中,当时,表示线段F1F2;当时,不表示任何图形. 2.椭圆的标准方程 22 xy (1)—2=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,焦点坐标为. ab 22 xy (2)—2=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,焦点坐标为 ba 0为参数,a>b>0). fx= 3.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的参数方程( ly= 22 xy 4.椭圆一^=1(a>b>0)的几何性质 ab (1)范围: |x|wa,|y|wb,椭圆在一个矩形区域内; ⑵对称性: 对称轴x=0,y=0,对称中心qo,0); ,短轴长|BB|=; ・[来源: 学一科_网] 一般规律: 椭圆有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线 (3)顶点: A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|AA|= 一般规律: 椭圆都有四个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点 ⑷离心率: e=_(0vev1),椭圆的离心率在内,离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心 率越接近于—时,椭圆越圆;当离心率越接近于时,椭圆越扁平. 【要点解读】 要点一椭圆的概念及标准方程【例1】.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(/,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10; (2)两个焦 35l 点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(-,);(3)焦点在x轴上,a: b=2: 1,c二--b; 22 35 (4)焦点在y轴上,a2b^5,且过点(-迈,。 );(5)焦距为b,a-b=1;(6)椭圆经过两点(-了才, (.3,.5)。 【命题立意】若查了椭同的方程的求解,熟悉其性质. 【标准解析】⑴t椭圆的焦点在畫轴上,故设需圆的标准方程为=i(a>b>o),ab 22 =10・^=4)i2=df2—c2=9? 所从US圆的标谁万程—+—=1.259 (2)[椭匾焦点在》轴上,故设帽同的标准方程处冬+冷“<^>2>>0),ab Q1 +(訂)匕灰皿 由椭圆的定义知, *◎=10,c=2f/ .沪-y-J-10-4-6,所以椭圆的标准方程次/+X-1. 106 (3)=a2-b2—c2=6r①又由ab—2A代入①得4护-护=6,二沪=2,口卞=8, 又朋点去轴匕所从帼的标准方程为右号“ ⑷设椭圆方程为話訂1,...务1宀2,又....宀5」亠3, 22 所以,椭圆的标准方程为H1. 32 222 (5).焦距为6,二c二3,a-b=c=9,又.a-b二1,二a二5,b二4, 2222 所以,椭圆的标准方程为—y1或二、1. 5162516 22 所以,椭圆方程为-1• 106 【误区警示】求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义, 还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。 【答案】略 【变式训练】已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2.3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的 标准方程是 (2)椭圆的中心为点E(_1,0),它的一个焦点为F(_3,0),相应于焦点F的准线方程为x=--,则这个 2 椭圆的方程是( 半焦距C=2,相应于焦点F的准线方程为 离直接处理较困难,且问题中有一个与离心率相关的系数时应用第二定义转化成点到相应的准线的距 2•求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法,有时还可根据条件用代入法•用待定系数法求椭圆 方程的一般步骤是: (1)作判断: 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能. 2222 ⑵设方程: 根据上述判断设方程~2亠与=1(a>b>0)或亠 abb ⑶找关系: 根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组. (4)得方程: 解方程组,将解代入所设方程,即为所求. [特别警示]当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时,可设为 =1(a>b>0). 22 xy =1(m>0,n>o,mun), mn 也可设为Ax2+By=1(A>0,B>0且AmB). 要点二椭圆的性质运用 心率为 【命题立意】本题重点考查了椭圆的基本性质。 选Bo 【误区警示】准线方程和离心率的准确记忆和运用。 【答案】B “数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 33 回临阳宁, 22小2 亦3ca3c3c3c 即Xd,由椭圆的第二定义得|FD|=e()=a又由|BF2|FD|,得c=2a,整理 2c22aa 00O/ 得3c-2a•ac=0.两边都除以a,得3e飞-2=0,解得e--1(舍去),或e=— 3 【技巧点拨】掌握椭圆的基本性质即可。 要点三、椭圆定义以及性质的综合运用 22 【例3】已知点P(3,4)是椭圆x+y2=1(a>b>0)上的一点,F1、F? 是它的两焦点,若PF」PF2,求: a2b2 (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2的面积. 【命题立意】椭圆的方程以及性质的灵活运用。 22 【变式训练】变式训练2: 已知P(X0,y0)是椭圆务T(a>b>0)上的任意一点, ab F1>F2是焦点, 求证: 以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r. TF1、F2为焦点,所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r •••|PF1|+2r=2a,即|PF1=2(a—r)连结OA,由三角形中位线定理,知 11 |OA|=|PF1|2(a-r)二a-r. 22 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 【误区警示】1)求离心率一般是先得到a,b,c的一个关系式,然后再求e;2)由椭圆的一个短轴端点 角形中位线定理,使题目得证。 【技巧点拨】巧用定义解决问题 22 【例4】如图,设E: 笃•与=1(a>b>0)的焦点为F,与F2,且PE,.F.PF2=2二。 求证: .PF1F2ab 的面积S=b2tanv。 【命题立意】定义的运用 1 【标准解析】设PF^r1,PF2=r2,则S=訴2sin2日,又F1F^2c, 由余弦定理有(2c)2r22-2叩2cos2v-(r1r2)2-2叩2-2r1r2cos^= 222 (2a)_2「订2(1■cos2T)二2r1r2(1cos2旳=4a-4c 这样即有 12b2 21cos2J 2 sin2)-b 2sin)cos- 2cos2二 【误区警示】解与=PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合 PF^-|PF2=2a来解决。 【变式训练】已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2I是|PF1|和|PF2|的等 差中项。 (1)求椭圆方程; (2)若点P在第三象限,且/PF1F2=1200,求tan/F1PF2。 22 【标准解析】解: (1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,c=1。 二2a=4,.・.b=3。 ・••椭圆方程为-y1。 43 (2)设/F1PF2=0,则/PFaF1=600-0,由正弦定理并结合等比定理可得到 |市2丨=IPF2I=|PFj=IPF2I+IPF1I sinrsin1200sin(6O0-巧sin1200sin(6O0-巧' •••化简可得5sinv-...3(1'cost),二tan—=—3,从而可求得tan/F1PF2=5-3。 21+cosT511 【技巧点拨】解与△PF1F2有关的问题(P为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理,并且结合IPF1I+IPF2I=2a 来求解。 【高考新动向】 椭圆是一种重要的圆锥曲线,是高考的必考内容•椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内 容,而直线和椭圆的位置关系则是高考考查的热点.10年高考全国卷n以椭圆为载体,综合考查椭圆和直线 方程的性质,点到直线的距离公式,向量的坐标运算等基础知识,将解析几何与平面向量的问题有机结合起来,进一步考查考生综合解题的能力,是一个新的考查方向. 第2讲双曲线 【知识精讲】 (一)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义: 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的动点 M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2av|F1F2|,这一条件可以用“三角形的两边之差小 于第三边”加以理解.若2a=|FiF2I,则动点的轨迹是两条射线;若2a>|FiF21,则无轨迹. MF1>MF2时,轨迹为双曲线的 若MF“vMF2时,动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 另一支•而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值” 2222 2.双曲线的标准方程: 与与=1和每—y=1(a>0,b>0).这里b2=c2-a2,其中|F1F2|=2c. abab 要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同 3.双曲线的标准方程判别方法是: 如果x2项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果y2项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题: ⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解. (二)双曲线的简单几何性质 、x2y2c 1.双曲线—7=1的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率e>1,离心率e越大,双曲线的开口 a2b2a 越大.
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- 高考 数学 一轮 复习 专题 14 圆锥曲线 方程 教师版