届高考数学理第一轮复习学案命题及其关系充分条件.docx
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届高考数学理第一轮复习学案命题及其关系充分条件
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识能否忆起]
一、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
二、四种命题及其关系
1.四种命题
命题
表述形式
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若綈p,则綈q
逆否命题
若綈q,则綈p
2.四种命题间的逆否关系
3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
三、充分条件与必要条件
1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)下列命题是真命题的为( )
A.若
=
,则x=y B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则
=
D.若x 解析: 选A 由 = 得x=y,A正确,易知B、C、D错误. 2.(2012·湖南高考)命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠ ,则tanα≠1B.若α= ,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α= 解析: 选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠ ”. 3.(2012·温州适应性测试)设集合A,B,则A⊆B是A∩B=A成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选C 由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B.因此,A⊆B是A∩B=A成立的充要条件. 4.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为: ____________________. 解析: 原命题的条件: 在△ABC中,∠C=90°, 结论: ∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角”. 答案: “在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角” 5.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 解析: ①由2>-3⇒/22>(-3)2知,该命题为假;②由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知,该命题为真;③a>b⇒a+c>b+c,又a+c>b+c⇒a>b,∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题. 答案: ②③ 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性: 若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”; (2)传递性: 若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件. 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”. 2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”. 四种命题的关系及真假判断 典题导入 [例1] 下列命题中正确的是( ) ①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; ④“若x-3 是有理数,则x是无理数”的逆否命题. A.①②③④ B.①③④ C.②③④D.①④ [自主解答] ①中否命题为“若x2+y2=0,则x=y=0”,正确;③中,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,原命题正确,故其逆否命题正确;②中逆命题不正确;④中原命题正确故逆否命题正确. [答案] B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 以题试法 1.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”; ③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价. 解析: 对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④. 答案: ②④ 充分必要条件的判定 典题导入 [例2] (1)(2012·福州质检)“x<2”是“x2-2x<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(2012·北京高考)设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 [自主解答] (1)取x=0,则x2-2x=0,故由x<2不能推出x2-2x<0;由x2-2x<0得0 (2)当a=0,且b=0时,a+bi不是纯虚数;若a+bi是纯虚数,则a=0.故“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件. [答案] (1)B (2)B 由题悟法 充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论,而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件.有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分. 以题试法 2.下列各题中,p是q的什么条件? (1)在△ABC中,p: A=B,q: sinA=sinB; (2)p: |x|=x,q: x2+x≥0. 解: (1)若A=B,则sinA=sinB,即p⇒q. 又若sinA=sinB,则2RsinA=2RsinB,即a=b. 故A=B,即q⇒p. 所以p是q的充要条件. (2)p: {x||x|=x}={x|x≥0}=A, q: {x|x2+x≥0}={x|x≥0,或x≤-1}=B, ∵AB, ∴p是q的充分不必要条件. 充分必要条件的应用 典题导入 [例3] 已知p: -4 (x-2)(x-3)<0,且q是p的充分而不必要条件,则a的取值范围为________. [自主解答] 设q,p表示的范围为集合A,B, 则A=(2,3),B=(a-4,a+4). 由于q是p的充分而不必要条件,则有AB, 即 或 解得-1≤a≤6. [答案] [-1,6] 由题悟法 利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是: (1)若p是q的充分不必要条件,则p⇒q且q⇒/p; (2)若p是q的必要不充分条件,则p⇒/q,且q⇒p; (3)若p是q的充要条件,则p⇔q. 以题试法 3.(2013·兰州调研)“x∈{3,a}”是不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是( ) A.(3,+∞) B. ∪ C. D. ∪ 解析: 选D 由2x2-5x-3≥0得x≤- 或x≥3. ∵x∈{3,a}是不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件,又根据集合元素的互异性a≠3, ∴a≤- 或a>3. 1.(2012·福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( ) A.x=- B.x=-1 C.x=5D.x=0 解析: 选D a⊥b⇔2(x-1)+2=0,得x=0. 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析: 选B 原命题的逆命题是: 若一个数的平方是正数,则它是负数. 3.(2013·武汉适应性训练)设a,b∈R,则“a>0,b>0”是“ > ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选D 由a>0,b>0不能得知 > ,如取a=b=1时, = ;由 > 不能得知a>0,b>0,如取a=4,b=0时,满足 > ,但b=0.综上所述,“a>0,b>0”是“ > ”的既不充分也不必要条件. 4.已知p: “a= ”,q: “直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切”,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A 由直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切得,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离等于圆的半径,即有 =1,a=± .因此,p是q的充分不必要条件. 5.(2012·广州模拟)命题: “若x2<1,则-1 A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 B.若-1 C.若x>1或x<-1,则x2>1 D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 解析: 选D x2<1的否定为: x2≥1;-1 若x≥1或x≤-1,则x2≥1. 6.(2011·天津高考)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选C A∪B={x∈R|x<0,或x>2},C={x∈R|x<0,或x>2}, ∵A∪B=C,∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件. 7.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 解析: 选A 对于A,其逆命题是: 若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y;对于B,否命题是: 若x≤1,则x2≤1,是假命题.如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题是: 若x≠1,则x2+x-2≠0,由于x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题. 8.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B 若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x), ∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, ∴y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数. 9.命题“若x>0,则x2>0”的否命题是________命题.(填“真”或“假”) 解析: 其否命题为“若x≤0,则x2≤0”,它是假命题. 答案: 假 10.已知集合A={x|y=lg(4-x)},集合B={x|x “x∈A”是Q: “x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________. 解析: A={x|x<4},由题意得AB结合数轴易得a>4. 答案: (4,+∞) 11.(2013·绍兴模拟)“-3 + =1表示椭圆”的____________条件. 解析: 方程表示椭圆时,应有 解得-3 故“-3 答案: 必要不充分 12.若“x2>1”是“x 解析: 由x2>1,得x<-1或x>1,又“x2>1”是“x1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1. 答案: -1 13.下列命题: ①若ac2>bc2,则a>b; ②若sinα=sinβ,则α=β; ③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件; ④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 解析: 对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b正确;对于②,sin30°=sin150°⇒/30°=150°,所以②错误;对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2⇒/A2C1,所以③正确;④显然正确. 答案: ①③④ 14.已知集合A= ,B={x|log4(x+a)<1},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 解析: 由 x2-x-6<1,即x2-x-6>0,解得x<-2或x>3,故A={x|x<-2,或x>3};由log4(x+a)<1,即0 答案: (-∞,-3]∪[6,+∞) 1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,则“Acos2B”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选C 由大边对大角可知,A 由正弦定理可知 = ,故a 而cos2A=1-2sin2A,cos2B=1-2sin2B, 又sinA>0,sinB>0,所以sinA 所以acos2B,即“Acos2B”的充要条件. 2.设x、y是两个实数,命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A.x+y=2B.x+y>2 C.x2+y2>2D.xy>1 解析: 选B 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”. 若x+y>2,必有x>1或y>1,否则x+y≤2; 而当x=2,y=-1时,2-1=1<2,所以x>1或y>1不能推出x+y>2. 对于x+y=2,当x=1,且y=1时,满足x+y=2,不能推出x>1或y>1. 对于x2+y2>2,当x<-1,y<-1时,满足x2+y2>2,故不能推出x>1或y>1. 对于xy>1,当x<-1,y<-1时,满足xy>1,不能推出x>1或y>1,故选B. 3.已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是 ,则m的取值范围是________. 解析: 由题意知: “ ”是“不等式|x-m|<1”成立的充分不必要条件. 所以 是{x||x-m|<1}的真子集. 而{x||x-m|<1}={x|-1+m 所以有 解得- ≤m≤ . 所以m的取值范围是 . 答案: 4.在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题: ①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集; ②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集; ③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0; ④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0; ⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集; ⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0. 其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写). 解析: “非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②④. 答案: ①③②④ 5.设条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解: 条件p为: ≤x≤1,条件q为: a≤x≤a+1. 綈p对应的集合A=
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- 高考 学理 第一轮 复习 命题 及其 关系 充分 条件