高中数学函数与导数综合题型分类总结文档格式.doc
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(Ⅱ)∵当时,时,
∴在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增.∴是在区间[1,3]上的最小值,且.若当时,要使恒成立,只需,即,解得.
2、解:
(Ⅰ).由题意知,得.
∴.
(Ⅱ).∵,∴.
由解得或,
由解得.……………10
∴的单调增区间为:
和;
的单调减区间为:
.……12分
3、解:
(1)法一:
(导数法)在上恒成立.
∴在[0,1]上增,∴值域[0,1]。
法二:
复合函数求值域.
法三:
用双勾函数求值域.
(2)值域[0,1],在上的值域.
由条件,只须,∴.
特别说明:
要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路,联想2008年全国一卷第21题,那是单调区间的子区间问题;
4、解:
(Ⅰ)∴,解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减又
∴的值域是
(Ⅲ)令
∴要使恒成立,只需,即
(1)当时解得;
(2)当时;
(3)当时解得;
综上所述所求t的范围是
分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知”,分类一定要序号化;
5、解:
(Ⅰ)
令=0,得
因为,所以可得下表:
+
-
↗
极大
↘
因此必为最大值,∴因此,,
即,∴,∴
(Ⅱ)∵,∴等价于,令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,为此只需,即,
解得,所以所求实数的取值范围是[0,1].
6、11(说明:
通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点,但极值点一定是“导数等于零”方程的根;
)
7、解:
∵,∴由有,即切点坐标为,
∴切线方程为,或,整理得或
∴,解得,∴,∴。
(1)∵,在处有极值,∴,即,解得,∴
(2)∵函数在区间上为增函数,∴在区间上恒成立,∴,又∵在区间上恒成立,∴,即,∴在上恒成立,∴∴的取值范围是
题型二:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;
(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:
转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;
用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧),如果是同侧则不必分类讨论;
若在0的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀!
有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法;
利用子区间(即子集思想);
首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
参考08年高考题;
第三种方法:
利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置;
可参考第二次市统考试卷;
做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别;
请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题(金考卷第5套);
(2)函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);
主要看极大值和极小值与0的关系;
解不等式(组)即可;
例8.已知函数,,且在区间上为增函数.
(1)求实数的取值范围;
(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
例9.已知函数
(I)讨论函数的单调性。
(II)若函数在A、B两点处取得极值,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围。
例10.已知函数f(x)=x3-ax2-4x+4a,其中a为实数.
(Ⅰ)求导数(x);
(Ⅱ)若(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅲ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围
例11.已知:
函数
(I)若函数的图像上存在点,使点处的切线与轴平行,求实数的关系式;
(II)若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点,求实数的取值范围.
例12.设为三次函数,且图像关于原点对称,当时,的极小值为.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明:
当时,函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.
例13.在函数图像在点(1,f
(1))处的切线与直线平行,导函数的最小值为-12。
(1)求a、b的值;
(2)讨论方程解的情况(相同根算一根)。
例14.已知定义在R上的函数,当时,取得极大值3,.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)已知实数能使函数上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实数组成的集合为M.请判断函数的零点个数.
例15.已知函数的单调减区间为(0,4)
(I)求的值;
(II)若对任意的总有实数解,求实数的取值范围。
例16.已知函数是常数,且当和时,函数取得极值.
(Ⅱ)若曲线与有两个不同的交点,求实数的取值范围.
例17.已知函数正项数列满足:
,,点在圆上,ks5u
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若,求证:
是等比数列;
(Ⅲ)求和:
例18.函数(、为常数)是奇函数。
ks5u
(Ⅰ)求实数的值和函数的图像与轴交点坐标;
(Ⅱ)设,,求的最大值.
例19.已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
⑴若f(x)在x=1时有极值-1,求b、c的值;
⑵若函数y=x2+x-5的图象与函数y=的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
例20.设函数,,当时,取得极值.
(1)求的值,并判断是函数的极大值还是极小值;
(2)当时,函数与的图象有两个公共点,求的取值范围.
例21.已知在R上单调递增,记的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c,若时,不等式恒成立.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)求角的取值范围;
(Ⅲ)求实数的取值范围。
8解:
(1)由题意∵在区间上为增函数,
∴在区间上恒成立
即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为
(2)设,
令得或由
(1)知,
①当时,,在R上递增,显然不合题意…②当时,,随的变化情况如下表:
—
极大值
极小值
由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即∴,解得
综上,所求的取值范围为
9、解:
(1),当a>
0时,递增;
当a<
时,递减。
(2)当a>
0时
-
增
减
此时,极大值为…………7分
此时,极大值为因为线段AB与x轴有公共点所以解得
10、解:
(Ⅰ)
(Ⅱ)由,由得或x=又在[-2,2]上最大值,最小值
(Ⅲ),由题意知
11、解:
(I)设切点,,因为存在极值点,所以,即。
(II)因为,是方程的根,
所以,。
;
在处取得极大值,在处取得极小值.函数图像与轴有3个交点,,
12解:
(Ⅰ)设其图像关于原点对称,即得∴,则有由,依题意得∴①,②由①②得故所求的解析式为:
.(Ⅱ)由解得:
或,∴时,函数单调递增;
设是时,函数图像上任意两点,且,则有∴过这两点的直线的斜率.
13、解:
(1)又直线
(2)由
(1)知,列表如下:
x
f′
f(x)
所以,函数f(x)的单调增区间是和
14、解:
(1)由得c=1 ,得∴
(2)得,时取得极值.由,得∴.,,∴当时,,∴在上递减.又∴函数的零点有且仅有1个
15、解:
(I)又(II)。
16、解:
(Ⅰ),依题意,即解得∴(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线与有两个不同的交点,即在上有两个不同的实数解。
设,则,由0的或,当时,于是在上递增;
当时,于是在上递减.依题意有∴实数的取值范围是.
17、解:
(Ⅰ)由题意:
∴,(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
,数列满足:
,故,(Ⅲ)令
,相减得:
∴
18、解:
(Ⅰ),与轴交点为,,(Ⅱ),当时,由,得或(舍),∴在上单调递增,在上单调递减。
当时,由得在上单调递增。
如图所示,为在上的图像。
∵当时,,∴当时,由
故的最大值的情形如下:
当时,当时,
当时,
∴
19、解:
⑴f'
(x)=3x2+2bx+c,由题知f'
(1)=03+2b+c=0,f
(1)=-11+b+c+2=-1∴b=1,c=-5,f(x)=x3+x2-5x+2,f'
(x)=3x2+2x-5
f(x)在[-,1]为减函数,f(x)在(1,+∞)为增函数∴b=1,c=-5符合题意
⑵即方程:
恰有三个不同的实解:
x3+x2-5x+2=k(x≠0)
即当x≠0时,f(x)的图象与直线y=k恰有三个不同的交点,由⑴知f(x)在为增函数,f(x)在为减函数,f(x)在(1,+∞)为增函数,又,f
(1)=-1,f
(2)=2∴且k≠2
20、解:
(1)由题意当时,取得极值,所以即
此时当时,,当时,,
是函数的最小值。
(2)设,则,……8分
设,,令解得或列表如下:
__
函数在和上是增函数,在上是减函数。
当时,有极大值;
当时,有极小值
函数与的图象有两个公共点,函数与的图象有两个公共点
或
21、解:
(1)由知,在R上单调递增,恒成立,且,即且,.
(2),由余弦定理:
,,
(3)在R上单调递增,且,
所以
,
故,即,,即,即.
题型三:
函数的切线问题;
问题1:
在点处的切线,易求;
问题2:
过点作曲线的切线需四个步骤;
设切点,求斜率;
写切线(一般用点斜式);
根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程;
第四步:
判断三次方程根的个数;
例22.已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:
(1)的解析式;
(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
例23.已知(为常数)在时取得一个极值,
(1)确定实数的取值范围,使函数在区间上是单调函数;
(2)若经过点A(2,c)()可作曲线的三条切线,求的取值范围.
22、解:
(1)由题意得:
∴在上;
在上;
在上
因此在处取得极小值
∴①,②,③
由①②③联立得:
,∴
(2)设切点Q,
过
令,
求得:
,方程有三个根。
需:
故:
因此所求实数的范围为:
23、解:
(1)∵函数在时取得一个极值,且,
, .
或时,或时,时,
, 在上都是增函数,在上是减函数. ∴使在区间上是单调函数的的取值范围是
(2)由
(1)知.设切点为,则切线的斜率,所以切线方程为:
. 将点代人上述方程,整理得:
.
∵经过点可作曲线的三条切线,∴方程有三个不同的实根. 设,则
,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故 得:
.
题型四:
函数导数不等式线性规划精彩交汇;
例24.设函数,在其图象上一点处的切线的斜率记为.
(1)若方程有两个实根分别为-2和4,求的表达式;
(2)若在区间上是单调递减函数,求的最小值。
例25.已知函数
(1)若图象上的是处的切线的斜率为的极大值。
(2)在区间上是单调递减函数,求的最小值。
例26.已知函数(,,且)的图象在处的切线与轴平行.
(I)试确定、的符号;
(II)若函数在区间上有最大值为,试求的值.
n
2
3
24、解:
(1)根据导数的几何意义知由已知-2,4是方程的两个实根由韦达定理,∴,
(2)在区间上是单调递减函数,所以在区间上恒有
,即在区间上恒成立
这只需满足即可,也即而可视为平面区域内的点到原点距离的平方由图知当时,有最小值13;
25、解:
(1)由题意得
令
由此可知
-1
极小值-9
时取极大值
(2)上是减函数
上恒成立
作出不等式组表示的平面区域如图
当直线经过点时取最小值
26、解:
(I)由图象在处的切线与轴平行,
知,∴①…………3分
又,故,.…………4分
(II)令,
得或……………………6分
易证是的极大值点,是极小值点(如图).…………7分
令,得或.…………………………………………8分
分类:
(I)当时,,∴.②
由①,②解得,符合前提.
(II)当时,,∴.③
由①,③得.记,
∵,
∴在上是增函数,又,∴,
∴在上无实数根.综上,的值为.
题型五:
函数导数不等式数列的精彩交汇
例27.已知函数满足且有唯一解。
(1)求的表达式;
(2)记,且=,求数列的通项公式。
(3)记,数列{}的前n项和为,求证
例28.已知函数,其中.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
例29.在数列中,,且已知函()在时取得极值.学科网
(Ⅰ)求数列的通项;
学科网
(Ⅱ)设,且对于恒成立,求实数的取值范围.学
例30.已知函数,为实数)有极值,且在处的切线与直线平行.
(1)求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数的极小值为1,若存在,求出实数a的值;
若不存在,请说明理由;
例31.已知函数(a、c、d∈R)满足且在R上恒成立。
(1)求a、c、d的值;
(2)若,解不等式;
(3)是否存在实数m,使函数在区间[m,m+2]上有最小值-5?
若存在,请求出实数m的值,若不存在,请说明理由。
例32.设函数(),其中
(1)当时,求曲线在点(2,)处的切线方程;
(2)当时,求函数的极大值和极小值;
(3)当时,证明存在,使得不等式对任意的恒成立。
例33.已知函数为常数)
(Ⅰ)若
(Ⅱ)若在和处取得极值,且在时,函数
的图象在直线的下方,求的取值范围?
27、解:
(1)由即有唯一解
又
(2)由又
数列是以首项为,公差为
(3)由
=
28、解:
(Ⅰ),由导数的几何意义得,于是.由切点在直线上可得,解得.
所以函数的解析式为.
(Ⅱ)解:
当时,显然().这时在,上内是增函数.
当时,令,解得.
当变化时,,的变化情况如下表:
+
所以在,内是增函数,在,内是减函数.
(Ⅲ)解:
由(Ⅱ)知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立.从而得,所以满足条件的的取值范围是.
科网
29、解:
(Ⅰ)∵
(1)=0∴(an+2-an+1)-(3an+1-4an)=0
即an+2-2an+1=2(an+1-2an)又a2-2a1=4
∴数列{an+1-2an}是以2为公比,以4为首项的等比数列。
∴an+1-2an=4×
2n-1=2n+1∴且∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,∴=+(n-1)×
1=n∴
(Ⅱ)由,
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=+2()2+3()3+…+n()n
Sn=()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1
得Sn=+()2+()3+…+()n-n()n+1=-n()n+1=2[1-()n]-n()n+1
∴Sn=6[1-()n]-3n()n+1<要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m对于n∈N*恒成立,只须,所以实数的取值范围是.
30、解:
(1)由题意
①
②
由①、②可得,故
(2)存在 由
(1)可知,
单调增
单调减
,
.
的极小值为1.
31、解:
(1),,,即,
从而。
在R上恒成立,,
即,解得。
(2)由
(1)知,,,
∴不等式化为,
即,∴
(a)若,则不等式解为;
(b)若,则不等式解为空集;
(c)若,则不等式解为。
(3)。
该抛物线开口向上,对称轴为。
若,即时,在[m,m+2]上为增函数。
当时,由已知得,解得。
若,即时,当时,。
由已知得,无解。
若,即时,在[m,m+2]上为减函数。
当时,。
由已知得,解得。
综上所述,存在实数或,使函数在区间[m,m+2]上有最小值-5。
32、解:
(Ⅰ)当时,,得,且
,.
所以,曲线在点处的切线方程是,整理得
令,解得或.由于,以下分两种情况讨论.
(1)若,当变化时,的正负如下表:
因此,函数在处取得极小值,且;
函数在处取得极大值,且.
(2)若,当变化时,的正负如下表:
(Ⅲ)证明:
由,得,当时,,.
由(Ⅱ)知,在上是减函数,要使,
只要即 ①
设,则函数在上的最大值为.
要使①式恒成立,必须,即或.所以,在区间上存在,使得对任意的恒成立.
33、解:
(1)
又x1,x2是函数f(x)的两个极值点,则x1,x2是的两根,
(2)由题意,
15
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