学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式231二次函数与一元二次方程不等式学案新.docx
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学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式231二次函数与一元二次方程不等式学案新
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.通过解不等式,体会数形结合、分类讨论的思想方法.
1.一元二次不等式
一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
2.二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
温馨提示:
(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与x轴交点的横坐标.
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
温馨提示:
(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是:
大于取两边,小于取中间.
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解.
1.二次方程x2-x-6=0的根与二次函数y=x2-x-6的零点有怎样的关系?
[答案] 方程x2-x-6=0的判别式Δ=1-4·1·(-6)=25>0,可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=-2,x2=3.所以二次函数有两个零点:
x1=-2,x2=3.所以二次方程的根就是二次函数的零点
2.画出二次函数y=x2-x-6的图象,你能通过观察图象,获得不等式x2-x-6>0及x2-x-6<0的解集吗?
[答案] 二次函数y=x2-x-6的图象如图,观察函数图象可知:
当x<-2,或x>3时,函数图象位于x轴上方,此时,y>0,即x2-x-6>0的解集为{x|x<-2或x>3};当-2 3.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式.( ) (2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.( ) (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1 (4)不等式x2-2x+3>0的解集为R.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 题型一一元二次不等式的解法 【典例1】 解不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. [思路导引] 先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集. [解] (1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=- ,x2=2. 因为函数是开口向上的抛物线, 所以不等式的解集是 . (2)不等式可化为3x2-6x+2<0. 因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1- ,x2=1+ . 因为函数y=3x2-6x+2是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是 . (3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2= ,函数y=4x2-4x+1是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是 . (4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R. 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. [针对训练] 1.解下列不等式: (1)-x2+7x>6; (2)(2-x)(x+3)<0; (3)4(2x2-2x+1)>x(4-x). [解] (1)原不等式可化为x2-7x+6<0. 解方程x2-7x+6=0得,x1=1,x2=6. 结合二次函数y=x2-7x+6的图象知,原不等式的解集为{x|1 (2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0两根为2和-3. 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. (3)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2. ∴原不等式等价于9x2-12x+4>0. 解方程9x2-12x+4=0,得x1=x2= . 结合二次函数y=9x2-12x+4的图象知,原不等式的解集为 . 题型二三个“二次”关系的应用 【典例2】 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1 [思路导引] 由x2+ax+b<0的解集为{x|1 [解] ∵x2+ax+b<0的解集为{x|1 ∴1,2是x2+ax+b=0的两根. 由韦达定理有 得 代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0. 由2x2-3x+1>0⇔(2x-1)(x-1)>0⇔x< 或x>1. ∴bx2+ax+1>0的解集为 . (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化. [针对训练] 2.不等式ax2+bx+2>0的解集是 ,则a-b的值为( ) A.14B.-14C.10D.-10 [解析] 不等式ax2+bx+2>0的解集是 ,可得- , 是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根, ∴- + =- ,- × = , 解得a=-12,b=-2, ∴a-b=-12-(-2)=-10, 所以D选项是正确的. [答案] D 题型三含参数的一元二次不等式的解法 【典例3】 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). [思路导引] 先求出方程x2-ax-2a2=0的两根x1=2a,x2=-a,再通过比较2a与-a的大小写出不等式的解集. [解] 原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0,对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当2a>-a,即a>0时,不等式的解集为{x|-a ②当2a=-a,即a=0时,原不等式化为x2<0,无解; ③当2a<-a,即a<0时,不等式的解集为{x|2a 综上所述,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a 解含参数的一元二次不等式时 (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论. [针对训练] 3.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. [解] ①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得 x>1. ②当a<0时,原不等式化为 (x-1)>0,解得 x< 或x>1. ③当a>0时,原不等式化为 (x-1)<0. 若a=1,即 =1时,不等式无解; 若a>1,即 <1时,解得 若0 >1时,解得1 . 综上,当a<0时,不等式的解集为 ; 当a=0时,不等式的解集为{x|x>1}; 当0 ; 当a=1时,不等式的解集为∅; 当a>1时,不等式的解集为 . 课堂归纳小结 1.解一元二次不等式的一般步骤是: (1)化为标准形式; (2)确定判别式Δ=b2-4ac的符号;(3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根;若Δ<0,则对应的二次方程无根;(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集,特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外). 2.解含字母参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用. 3.解一元二次不等式,应首先尝试因式分解法,若能够进行因式分解,那么在解含参数的不等式时,就可以避免对Δ≤0的讨论. 1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为( ) A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6} C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1} [解析] 由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0, 即(x+6)(x-1)≥0, ∴x≥1或x≤-6. [答案] D 2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为( ) A.{x|x<-1或x>2}B.{x|x≤-1或x≥2} C.{x|-1 [解析] 结合二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象可得{x|-1≤x≤2},故选D. [答案] D 3.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7 A.1B.2 C.3D.4 [解析] 由题可知-7和-1为ax2+8ax+21=0的两个根,∴-7×(-1)= ,a=3. [答案] C 4.不等式x2-4x+5≥0的解集为________. [解析] ∵Δ=(-4)2-4×5=-4<0, ∴不等式x2-4x+5≥0的解集为R. [答案] R 5.当a>-1时,关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集是________. [解析] 原不等式可化为(x+a)(x-1)>0, 方程(x+a)(x-1)=0的两根为-a,1, ∵a>-1, ∴-a<1,故不等式的解集为{x|x<-a或x>1}. [答案] {x|x<-a或x>1} 课后作业(十三) 复习巩固 一、选择题 1.已知集合M={x|-4 A.{x|-4 C.{x|-2 [解析] 由题意得N={x|x2-x-6<0}={x|-2 [答案] C 2.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为( ) A.{x|-4≤x<-2或3 B.{x|-4 C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x<-2或x≥3} [解析] ∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}, N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3}, ∴M∩N={x|-4≤x<-2或3 [答案] A 3.不等式x2-px-q<0的解集是{x|2 A. B. C. D. [解析] 易知方程x2-px-q=0的两个根是2,3. 由根与系数的关系得 解得 不等式qx2-px-1>0为-6x2-5x-1>0, 解得- . [答案] B
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