1、学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式231二次函数与一元二次方程不等式学案新第1课时二次函数与一元二次方程、不等式1理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2掌握图象法解一元二次不等式3通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法1一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一元二次不等式的一般形式是ax2bxc0或ax2bxc0，其中a，b，c均为常数，a0.2二次函数的零点一般地，对于二次函数yax2bxc，我们把使ax2bxc0的实数x叫做二次函数yax2bxc的零点温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函
2、数与x轴交点的横坐标(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间(2)对于二次项系数是负数(即a0，可知这个方程有两个不相等的实数根，解此方程得x12，x23.所以二次函数有两个零点：x12，x23.所以二次方程的根就是二次函数的零点2画出二次函数yx2x6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2x60及x2x60的解集吗？答案二次函数yx2x6的图象如图，观察函数图象可知：当x3时，函数图象位于x轴上方，此时，y0，即x2x60的解
3、集为x|x3；当2x3时，函数图象位于x轴下方，此时y0，即x2x60；所以，不等式x2x60的解集是x|2x33判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)mx25x0，则一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R.()答案(1)(2)(3)(4)题型一一元二次不等式的解法【典例1】解不等式：(1)2x23x20；(2)3x26x20；(3)4x24x10；(4)x22x20.思路导引先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集解(1)方程2x23x2
4、0的解是x1，x22.因为函数是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是.(2)不等式可化为3x26x20，所以方程3x26x20的解是x11，x21.因为函数y3x26x2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是.(3)方程4x24x10的解是x1x2，函数y4x24x1是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.(4)因为x22x20的判别式6；(2)(2x)(x3)x(4x)解(1)原不等式可化为x27x60.解方程x27x60得，x11，x26.结合二次函数yx27x6的图象知，原不等式的解集为x|1x0.方程(x2)(x3)0两根为2和3.结合二次函数y(x2)(x3)的图象知，原不等式的解
5、集为x|x2(3)由原不等式得8x28x44xx2.原不等式等价于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.结合二次函数y9x212x4的图象知，原不等式的解集为.题型二三个“二次”关系的应用【典例2】已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x0的解集思路导引由x2axb0的解集为x|1x2，可知1,2是方程x2axb0的两根，可求出a，b的值，从而得解解x2axb0的解集为x|1x0，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x1.bx2ax10的解集为.(1)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bx
6、c的图象与x轴交点的横坐标(2)二次函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2bxc0的解集是，则ab的值为()A14 B14 C10 D10解析不等式ax2bx20的解集是，可得，是一元二次方程ax2bx20的两个实数根，解得a12，b2，ab12(2)10，所以D选项是正确的答案D题型三含参数的一元二次不等式的解法【典例3】解关于x的不等式x2ax2a20(aR)思路导引先求出方程x2ax2a20的两根x12a，x2a，再通过比较2a与a的大小写出不等式的解集解原不等式转化为(x2a)(xa)a，即a0时，不等式
7、的解集为x|ax2a；当2aa，即a0时，原不等式化为x20，无解；当2aa，即a0时，不等式的解集为x|2ax0时，原不等式的解集为x|ax2a；当a0时，原不等式的解集为；当a0时，原不等式的解集为x|2axa解含参数的一元二次不等式时(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论针对训练3解关于x的不等式ax2(a1)x10.解当a0时，原不等式即为x11.当a0，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)1，即1时，解得x1；若0a1时，解得1x
8、.综上，当a1；当0a1时，不等式的解集为.课堂归纳小结1解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式b24ac的符号；(3)若0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用3解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对0的讨论.1不等式x25x60的解
9、集为()Ax|x6或x1 Bx|1x6Cx|6x1 Dx|x6或x1解析由x25x60得x25x60，即(x6)(x1)0，x1或x6.答案D2一元二次方程ax2bxc0的根为2，1，则当a0时，不等式ax2bxc0的解集为()Ax|x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|1x2解析结合二次函数yax2bxc(a0)的图象可得x|1x2，故选D.答案D3若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是()A1 B2C3 D4解析由题可知7和1为ax28ax210的两个根，7(1)，a3.答案C4不等式x24x50的解集为_解析(4)24541时，关于x的不等式x2(a1)xa0的解
10、集是_解析原不等式可化为(xa)(x1)0，方程(xa)(x1)0的两根为a,1，a1，a1，故不等式的解集为x|x1答案x|x1课后作业(十三)复习巩固一、选择题1已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x3解析由题意得Nx|x2x60x|2x3，所以MNx|2x0，则MN为()Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x3Dx|x0x|x3，MNx|4x2或3x7答案A3不等式x2pxq0的解集是x|2x0的解是()A.B.C.D.解析易知方程x2pxq0的两个根是2,3.由根与系数的关系得解得不等式qx2px10为6x25x10，解得x
11、.答案B4若0a0的解集是()A. B.C. D.解析不等式(ax)0化为(xa)0，因为0a1，故a0的解集为x|2x1，则函数yax2xc的图象为()解析因为不等式的解集为x|2x1，所以a0，排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为2,1，故选B.答案B二、填空题6设集合Ax|(x1)23x7，xR，则集合AZ中有_个元素解析由(x1)23x7，解得1x6，即Ax|1x0的解集为x|1xm，则a_，m_.解析可知1，m是方程ax26xa20的两个根，且a0.解将x23ax18a20变形得(x6a)(x3a)0，方程(x6a)(x3a)0的两根为6a，3a，所以当a0时，6a3a，原不等式的解
12、集为x|x6a；当a0时，6a3a0，原不等式的解集为x|x0；当a0时，6a3a，原不等式的解集为x|x3a综合运用11不等式mx2ax10(m0)的解集可能是()A. BRC. D解析因为a24m0，所以函数ymx2ax1的图象与x轴有两个交点，又m0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.答案A12关于x的不等式axb0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是()A. Bx|1x3Cx|1x3 Dx|x3解析由题意，知a0，且1是axb0的根，所以ab0，所以(axb)(x3)a(x1)(x3)0，所以x3，因此原不等式的解集为x|x3答案A13关于x的不等式x22ax8a20)的解集为x|x1x1时，Bx|1xa，若A B，须a2.答案a215若不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，求不等式bx22axc3b0的解集为x|3x4，所以a0，且3,4是方程ax2bxc0的两根由根与系数的关系，得所以所以不等式bx22axc3b0，即为ax22ax15a0，两边同除以a，所以x22x150，且x13，x25是方程的两个根，故所求的不等式的解集为x|3x5
