曲线与方程PPT课件.ppt
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2.1曲线与方程,2.1.1曲线与方程中学学科网,这些方程是怎么得到的?
为什么这些方程能得到这些曲线?
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为_2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是_3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_.,x-y=0,点的横坐标与纵坐标相等,x=y(或x-y=0),第一、三象限角平分线,含有关系:
(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在上,曲线,条件,方程,坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0,思考?
探究点一曲线与方程的概念,圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:
思考?
满足关系:
图像上的点M与此方程有什么关系?
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.,定义:
1.曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
说明:
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.,(纯粹性).,3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,(完备性).,由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是,f(x0,y0)=0,“点不比解多”-,“解不比点多”-,反思与感悟解决此类问题要从两方面入手:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.,例1:
判断下列命题是否正确,解:
(1)不正确,不具备
(2)完备性,应为x=3,
(2)不正确,不具备
(1)纯粹性,应为y=1.(3)正确.(4)不正确,不具备
(2)完备性,应为x=0(-3y0).,
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3
(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为xy=1(4)ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0,例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.,第一步,设M(x0,y0)是曲线C上任一点,证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解;,归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明点M(x0,y0)在曲线C上.,跟踪训练1判断下列命题是否正确.
(1)以坐标原点为圆心,半径为r的圆的方程是y,
(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|2.解不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|2的解.然而,坐标满足|x|2的点不一定在直线l上,因此|x|2不是直线l的方程,直线l的方程为x2.,例2下列选项中方程表示图中曲线的是(),解析对于A,x2y21表示一个整圆;对于B,x2y2(xy)(xy)0,表示两条相交直线;对于D,由lgxlgy0知x0,y0.答案C,探究点二由方程判断曲线表示的图形,例2下列方程表示如图所示的直线,正确吗?
为什么?
不正确请改正.,探究点二由方程判断曲线表示的图形,解
(1)中,曲线上的点不全是方程0的解,如点(1,1)等,即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论;,
(2)x2y20;(3)|x|y0.,
(2)中,尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”,但以方程x2y20的解为坐标的点不全在曲线上,如点(2,2)等,即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论;,(3)中,类似
(1)
(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线上”.事实上,
(1)
(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况:
反思与感悟判断方程表示什么曲线,必要时要对方程适当变形,变形过程中一定要注意与原方程等价,否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.,练习1:
下列各题中,下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗?
为什么?
(1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折线(如图
(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;,
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;,(3)曲线C是,象限内到x轴,y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。
练习2:
下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个?
组卷网,练习3:
若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是CB.坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线CD.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部,D,探究点三已知方程求曲线,1方程x2xyx表示的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线解析由x2xyx,得x(xy1)0,即x0或xy10.由此知方程x2xyx表示两条直线故选C.答案C,2方程y所表示的曲线是_解析y|x1|.答案以(1,0)为端点的两条射线,练习:
1方程表示什么曲线?
2方程2x2y2-4x2y30表示什么曲线?
例3已知方程x2(y1)210.
(1)判断点P(1,2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上;解12(21)210,()2(31)2610,P(1,2)在方程x2(y1)210表示的曲线上,Q(,3)不在此曲线上.,探究点四曲线与方程关系的应用,反思与感悟
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是不是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.
(2)已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.,跟踪训练3若曲线y2xy2xk0过点(a,a)(aR),求k的取值范围.解曲线y2xy2xk0过点(a,a),a2a22ak0.,C,练习4:
设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么(),A.点P在直线上,但不在圆上B.点P在圆上,但不在直线上;C.点P既在圆上,也在直线上D.点P既不在圆上,也不在直线上,练习5:
已知方程的曲线经过点,则m=_,n=_.,2.1.2求曲线的方程,复习回顾,2.练习:
(1)设A(2,0)、B(0,2),能否说线段AB的方程为x+y-2=0?
(2)方程x2-y2=0表示的图形是_,1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念,3.证明已知曲线的方程的方法和步骤,上一节,我们已经建立了曲线的方程,方程的曲线的概念.利用这两个重要概念,就可以借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节,我们就来学习这一方法.,“数形结合”-数学思想的基础,1解析几何与坐标法:
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.,2平面解析几何研究的主要问题:
(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;
(2)通过方程,研究平面曲线的性质.说明:
本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.,.由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:
将上式两边平方,整理得:
x+2y7=0我们证明方程是线段AB的垂直平分线的方程.
(1)由求方程的过程可知,垂直平分线上每一点的坐标都是方程解;
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程的解,即:
x+2y17=0,所以x1=72y1,解:
设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合,例2.设A、B两点的坐标是(1,1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.,即点M1在线段AB的垂直平分线上.由
(1)、
(2)可知方程是线段AB的垂直平分线的方程.,点M1到A、B的距离分别是,由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:
说明:
一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略步骤
(2),直接列出曲线方程.,
(1)建系设点:
建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;,
(2)列式:
写出适合条件p的点M集合P=M|p(M),(3)代换:
用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;,(4)化简:
化方程f(x,y)=0为最简形式;,(5)审查:
说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中,RtABC的斜边BC恰在x轴上,点B(2,0),C(2,0),且AD为边BC上的高,求AD的中点G的轨迹方程.解设点G(x,y),则A(x,2y),而B(2,0),C(2,0),,思考2求曲线方程要“建立适当的坐标系”,这句话怎样理解.答坐标系选取的适当,可使运算过程简化,所得方程也较简单,否则,如果坐标系选取不当,则会增加运算的繁杂程度.,小结建立坐标系的基本原则:
(1)以已知定点为原点;
(2)以已知直线为坐标轴(x轴或y轴),如书P36例3;(3)以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知线段的中点为原点,如书P37A组3;(4)以已知相互垂直的两定直线为坐标轴;(5)让尽量多的点落在坐标轴上;(6)尽可能地利用图形的对称性,使对称轴为坐标轴.中心对称图形,可利用对称中心为原点建系;轴对称图形以对称轴为坐标轴建系;条件中有直角,可将两直角边作为坐标轴建系等.,例3.已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.,取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解:
2)列式,3)代换,4)化简,5)审查,1)建系设点,因为曲线在x轴的上方,所以y0,所以曲线的方程是,设点M(x,y)是曲线上任意一点,MBx轴,垂足是B,,反思与感悟
(1)求曲线方程时,建立的坐标系不同,得到的方程也不同.
(2)求曲线轨迹方程时,一定要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系,对于坐标适合方程但又不在曲线上的点应注意剔除.,通过上述两个例题了解坐标法的解题方法,明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础;同时,根据曲线上的点所要适合的条件列出等式,是求曲线方程的重要环节,在这里常用到一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式,中点公式等,因此先要了解上述知识,必要时作适当复习.,跟踪训练2已知在直角三角形ABC中,角C为直角,点A(1,0),点B(1,0),求满足条件的点C的轨迹方程.解如图,设C(x,y),,(x1)(x1)y20.化简得x2y21.A、B、C三点要构成三角形,A、B、C不共线,y0,点C的轨迹方程为x2y21(y0).,1.直接法:
求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立x,y之间的关系,构成F(x,y)=0即可.,直接法定义法代入法参数法,三、求轨迹方程的常见方法:
3.代入法:
这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P(x,y)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x,y)依赖于P(x,y),那么可寻求关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程F(x,y)=0中,得到动点P的轨迹方程.,2.定义法:
如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程。
已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求ABC的重心的轨迹方程.,例1,4.参数法:
选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方程。
例:
已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程。
y,归纳:
选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素,然后再选取合适的参数,常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。
思考求曲线方程时,有些点的条件比较明显,也有些点的条件要通过变形或转化才能看清,有些点的运动依赖于另外的动点,请你归纳一下求曲线方程的常用方法?
答
(1)直接法:
建立适当的坐标系后,设动点为(x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式.
(2)定义法:
如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.,探究点二求曲线方程的常用方法,(3)代入法:
利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x,y)满足的关系.(4)参数法:
如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出,也没有明显的相关点,但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响,此时,可先建立x、y分别与这个变量的关系,然后将该变量(参数)消去,即可得到x、y的关系式.,例3已知圆C:
x2(y3)29,过原点作圆C的弦OP,求OP的中点Q的轨迹方程.解方法一(直接法)如图,因为Q是OP的中点,所以OQC90.设Q(x,y),由题意,得|OQ|2|QC|2|OC|2,即x2y2x2(y3)29,,方法二(定义法)如图所示,因为Q是OP的中点,所以OQC90,则Q在以OC为直径的圆上,故Q点的轨迹方程为,方法三(代入法)设P(x1,y1),Q(x,y),,反思与感悟解答本题可以用三种方法:
一直接法;二定义法;三相关点法,又称为代入法.在解题中,我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中,要特别注意题目内在的限制条件.,跟踪训练3如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.解方法一设点M的坐标为(x,y).M为线段AB的中点,A(2x,0),B(0,2y).l1l2,且l1、l2过点P(2,4),PAPB,kPAkPB1.,整理,得x2y50(x1).当x1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x2y50.综上所述,点M的轨迹方程是x2y50.,方法二设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连接PM.l1l2,2|PM|AB|.,化简,得x2y50,为所求轨迹方程.,方法三l1l2,OAOB,O、A、P、B四点共圆,且该圆的圆心为M,|MP|MO|,点M的轨迹为线段OP的中垂线.,1.求曲线的方程的一般步骤:
设(建系设点)找(找等量关系)列(列方程)化(化简方程)验(以方程的解为坐标的点都是曲线上的点),-M(x,y),-P=M|M满足的条件,课堂小结,2.“数形结合”数学思想的基础,老师寄语:
学好数学,登上人生的又一高度.,数学是金析疑解难,无坚不克,所向披靡;数学是美逻辑之美,形象之美,美不胜收;数学是恨成也数学,败也数学;数学是爱我爱数学,数学爱我,数学是我获胜的法宝。
让我们一起来享受数学的快乐,探求数学的真谛,感受数学的出神入化。
B,D,A,C,B,
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