二次函数专题全解教学讲义.docx
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二次函数专题全解教学讲义
二次函数专题全解教学讲义
第一讲:
二次函数基础知识讲解
知识网络
二次函数
考点解读
考点1:
二次函数的概念:
形如y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的函数叫做二次函数.判断二次函数的三要素,缺一不可:
①函数关系式是整数;②化简后自变量的最高次数是2;③二次项的系数不为0.
考点2.抛物线y=ax2+bx+c中系数a、b、c的作用
(1)a的作用:
a的符号决定抛物线的开口方向.a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下.a的绝对值决定抛物线的开口大小.|a|越大,抛物线开口越小.
(2)b与a共同决定对称轴的位置:
若a、b同号,则对称轴位于y轴左侧;若a、b异号,则对称轴位于y轴右侧;若b=0,则对称轴是y轴.(可简单记忆为“左同右异”,一定要自己推导一篇,不但要把对称轴的横坐标和0作比较,还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1,-1做比较)
(3)c的作用:
c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.若c>0,则抛物线交y轴于正半轴;若c<0,则抛物线交y轴于负半轴;若c=0,则抛物线过原点.c的值就是抛物线与y轴交点的纵坐标.
(4)b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数
(5)a+b+c,a-b+c是分别横坐标为1,-1是y的取值.
考点3二次函数的解析式
1.二次函数的解析式的三种设法:
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数);
(3)两点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a、x1、x2为常数).
2.二次函数解析式的求法
(1)若已知抛物线上三点坐标,可利用待定系数法求得y=ax2+bx+c;
(2)若已知抛物线的顶点坐标或对称轴,则可采用顶点式;
(3)若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标,则可采用两根式:
y=a(x-x1)(x-x2),其中与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0).
考点4二次函数的图象和性质
关系式
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
图象形状
抛物线
开口方向
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下
顶点坐标
对称轴
直线x=-
直线x=h
增减性
a>0
对称轴左侧,即x<-
或x
或x>h,y随x的增大而增大
a<0
对称轴左侧,即x<-
或x
或x>h,y随x的增大而减小
最大值或最小值
a>0
当x=-
时,y最小=
当x=h时,y最小=k
a<0
当x=-
时,y最大=
当x=h时,y最大=k
考点5二次函数图象的画法
用描点法画抛物线y=ax2+bx+c的步骤:
①把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式;②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点画图.
考点6二次函数图象的平移:
“上加下减,左加右减”
(1)将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位,即可得到y=ax2+c的图象.其顶点是(0,c).形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同.
(2)将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x-h)2的图象.其顶点是(h,0),对称轴是直线x=h,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.(3)将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,即可得到y=a(x-h)2+k的图象,其顶点是(h,k),对称轴是直线x=h,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.
考点7二次函数与一元二次方程的关系
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
(2)当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.
考点8二次函数的应用
函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型,研究、解决某些实际问题的过程和方法,它包括两个方面:
(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系;
(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是求函数的最大(小)值.
课后测验
一、填空题
1、已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则m=______________.
2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________
3、函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.
4、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.
5、抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.
6、抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.
7已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.
8、已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.
9、把抛物线y=2(x+1)2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.
10、如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________
11、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1 (1)当x=-2时,y=1; (2)当x>x2时,y>0;(3)方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;(4)x1<-1,x2>-1;(5)x2-x1= 其中正确的结论有: ____(只需填写序号) 12、已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<0 二.选择题 13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是() (A)(1,1)(B)(-1,1)(C)(1,-1)(D)(-1,-1) 14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为() (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个 15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有() (A)b=3,c=7(B)b=-9,c=-15(C)b=3,c=3(D)b=-9,c=21 16.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为() (A)a+c(B)a-c(C)-c(D)c 17.当a,b为实数,二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有() (A)ab(D)a≥b 18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1),B(1.1,y2),C( y3),则有() (A)y1 19如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上,那么一定有() (A)a=2或-2(B)a=2b(C)a=-2b(D)a=2,b=-1,c=-1 20抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0.以下结论 (1)a+b>0; (2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有() (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 三解答题: 21.已知函数的图象经过点(3,2) (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x的取值范围。 22.已知抛物线y=x2-2x-8 (1)求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。 23.抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,4)、B(-1,0)、C(-2,5)三点 (1)求抛物线的解析式并画出这条抛物线; (2)直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点。 试结合图象,写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标。 24.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市 后,公司经历了从亏损到盈利过程。 下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系)。 根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 25.已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下,并且经过A(0,1)和M(2,-3)两点。 (1)若抛物线的对称轴为直线x=-1,求此抛物线的解析式; (2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧,试求a的取值范围; (3)如果抛物线与x轴交于B、C两点,且∠BAC=90º,求此时a的值。 第二讲: 二次函数重难点与例题精讲 二次函数重难点 1.二次函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax2 y=(ax-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 (0,0) (h,0) (h,k) (- , ) 对称轴 x=0 x=h x=h x=- 当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到,当h<0时,则向左平行移动│h│个单位得到.当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动│k│个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动│h│个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动│h│个,再向下移动│k│个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;因此,研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便. 2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=- ,顶点坐标是(- , ). 3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤- 时,y随x的增大而减小;当x≥- 时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤- 时,y随x的增大而增大;当x≥- 时,y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=│x1-x2│= . 当△=0,图象与x轴只有一个交点; 当△<0,图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0. 5.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式: y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 6.二次函数知识很容易与其他知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目.因此,以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题,往往以大题形式出现. 例题精讲 例1(全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题)作抛物线A关于x轴对称的抛物线B,再将抛物线B向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2-1,则抛物线A所对应的函数表达式是() (A)y=-2(x+3)2-2;(B)y=-2(x+3)2+2; (C)y=-2(x-1)2-2;(D)y=-2(x-1)2+2 例2(2006年全国初中数学竞赛(海南赛区))根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是() x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.07 (A)3 (C)3.24 例3(2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题)函数y=ax2+bx+c图象的大致位置如右图所示,则ab,bc,2a+b,(a+c)2-b2,(a+b)2-c2,b2-a2等代数式的值中,正数有() (A)2个(B)3个(C)4个(D)5个 例4一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4,-11),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负,则a、b、c中为正数的() (A)只有a(B)只有b(C)只有c(D)只有a和b 例5(2006年“信利杯”全国初中数学竞赛(广西赛区)初赛试题)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一,则a的值是() (A)1(B)-1(C) 例6(2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c的值的变化范围是__________. 例7(2005年全国初中数学竞赛试题)Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y=x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则() (A)h<1(B)h=1(C)1 例8(1993年江苏初中数学竞赛试题)已知 是两位数,二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点,这两点间距离不超过2. (1)求证: 0 (2)求出所有这样的两位数 . 例9已知函数y=x2-│x│-12的图象与x轴交于相异两点A,B,另一抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,顶点为P,且△APB是等腰直角三角形,求a,b,c. 例10(2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题)已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1. (1)随着m的变化,该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上? 如果是,请求出该抛物线的函数表达式;如果不是,请说明理由. (2)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1图象的顶点P,求此时m的值. 例11(2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题)通过实验研究,专家们发现: 初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平衡的状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中).当0≤x≤10时,图象是抛物线的一部分,当10≤x≤20和20≤x≤40时,图象是线段. (1)当0≤x≤10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式; (2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36. 例12(2006年全国初中数学竞赛(海南赛区))已知A1、A2、A3是抛物线y= x2上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C. (1)如图(a),若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长; (2)如图(b),若将抛物线y= x2改为抛物线y= x2-x+1,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长; (3)若将抛物线y= x2改为抛物线y=ax2+bx+c,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案). 例13设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+( +k)k,k为实数. (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴方程(用k表示); (2)任意给定k的三个不同实数值,请写出三个对应的顶点坐标,试说明当k变化时,抛物线C的顶点在一条定直线L上,求出直线L的解析式并画出图象; (3)在第一象限有任意两圆O1、O2相外切,且都与x轴和 (2)中的直线L相切,设两圆在x轴上的切点分别为A、B(OA 是否为一定值? 若是,请求出该定值;若不是,请说明理由; (4)已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截,且截得的线段长都为6,求这条直线的解析式. 课后测验 一、选择题 1.直线y= x-2与抛物线y=x2- x的交点个数是() (A)0个(B)1个(C)2个(D)互相重合的两个 2.关于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),下面几点结论中,正确的有() ①当a>0时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大,当a<0时,情况相反.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同.④一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标. (A)①②③④(B)①②③(C)①②(D)①③④ 3.若函数y= 的图象经过点(1,-2),那么抛物线y=ax2+(a-1)x+a+3的性质说得全对的是() (A)开口向下,对称轴在y轴右侧,图象与正半y轴相交 (B)开口向下,对称轴在y轴左侧,图象与正半y轴相交 (C)开口向上,对称轴在y轴左侧,图象与负半y轴相交 (D)开口向下,对称轴在y轴右侧,图象与负半y轴相交 4.函数y=ax2与y= (a<0)在同一直角坐标系中的大致图象是() 5.如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点,与x轴正半轴交于B,C两点,且BC=3,S△ABC=6,则b的值是() (A)b=5(B)b=-5(C)b=±5(C)b=4 (第5题)(第5题) 6.不论x为何值,函数y=ax+bx+c(a≠0)的永远小于0的条件是() (A)a>0,△>0(B)a>0,△<0(C)a<0,△>0(D)a<0,△<0 7.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是() (A)有两个不相等的正实数根(B)有两个异号实数根 (C)有两个相等的实数根(D)没有实数根 8.为了备战世界杯,中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门12米处挑射,正好射中了2.4米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图),则下列结论: ①a<- ;②-
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