二次函数--图像专题及答案解析.doc
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二次函数--图像专题及答案解析.doc
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二次函数经典题
一、选择题
61.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,则正确的结论是( )
A.abc>0B.3a+c<0C.4a+2b+c<0D.b2-4ac<0
62.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:
①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是( )
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
63.如图,半圆D的直径AB=4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M,设⊙O1的半径为y,AM=x,则y关于x的函数关系式是()
A.B.C.D.
64.如右图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(-3,0),对称轴为直线x=-1,下列结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5am(am+b)(m≠-1)其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
65.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论正确的是( )
A.a<0B.a﹣b+c<0
C.>1D.4ac﹣b2<﹣8a
66.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方,与轴的交点为(x1,0)和(2,0),且-2<x1<-1,则下列结论正确的是()
A、B、C、D、
67.给出下列命题及函数,和的图象
①如果,那么;
②如果,那么;
③如果,那么;
④如果时,那么.
则()
A.正确的命题是①④B.错误的命题是②③④
C.正确的命题是①②D.错误的命题只有③
68.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:
①a<0,②b<0,③c<0,④4a-2b+c<0,⑤b+2a=0
其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
69.二次函数图像如图所示,下列结论:
①,②,③,④方程的解是-2和4,⑤不等式的解集是,其中正确的结论有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
70.小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:
①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.
你认为其中正确信息的个数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
71.已知二次函数的图象如图所示,下列说法错误的是( )
A.图象关于直线对称
B.函数的最小值是-4
C.当时,y随x的增大而增大
D.-1和3是方程的两个根
72.给出下列四个命题:
(1)将一个n(n≥4)边形的纸片剪去一个角,则剩下的纸片是n+1或n-1边形;
(2)若,则x=1或x=3;(3)若函数是关于x的反比例函数,则;(4)已知二次函数,且a>0,a-b+c<0,则。
其中,正确的命题有()个.
A、0B、1C、2D、4
73.如图所示,二次函数的图象经过点和,下列结论中:
①;②;③④;⑤;其中正确的结论有()个
A.2B.3C.4D.5
74.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:
①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
75.已知:
二次函数,下列说法中错误的个数是()
①若图象与轴有交点,则.
②若该抛物线的顶点在直线上,则的值为.
③当时,不等式的解集是.
④若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点,则.
⑤若抛物线与x轴有两个交点,横坐标分别为、,则当x取时的函数值与x取0时的函数值相等.
A.1B.2C.3D.4
76.若二次函数的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(,0),(,0),且,图象上有一点M()在x轴下方,则下列判断中正确的是().
A.B.
C.D.
77.如图,二次函数的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0),且与轴相交于负半轴.给出四个结论:
①;②;③;④.其中结论正确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
78.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为
A.B.C.D.
79.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,在下列五个结论中:
①2a﹣b<0;②abc<0;③a+b+c<0;④a﹣b+c>0;⑤4a+2b+c>0,
错误的个数有【】
A.1个B.2个C.3个D.4个
80.若二次函数(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1 A.a>0 B.b2-4ac≥0 C.x1 81.一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图,A点为(-2,0)。 则下列结论中,正确的是【】 A. B. C. D. 答案及解析 61.B. 【解析】 试题分析: 根据二次函数的图象开口向下推出a<0,根据二次函数的图形与y轴的交点在y轴的正半轴上推出c>0,根据二次函数的图象的对称轴是直线x=1得出=1,求出b=-2a>0,把x=-1代入y=ax2+bx+c(a≠0)得出y=a-b+c<0,根据二次函数的图象与x轴有两个交点推出b2-4ac>0,根据以上结论推出即可.A、∵二次函数的图象开口向下, ∴a<0, ∵二次函数的图形与y轴的交点在Y轴的正半轴上, ∴c>0, ∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1, ∴=1, b=-2a>0, ∴abc<0,故本选项错误; B、把x=-1代入y=ax2+bx+c(a≠0)得: y=a-b+c<0, ∴a+c<b,即a+c<-2a,∴3a+c<0,故本选项正确; C、∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1, ∴=1,b=-2a. ∴4a+2b+c=4a+2(-2a)+c=c>0,故本选项错误; D、∵二次函数的图象与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,故本选项错误; 故选B. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 62.C. 【解析】 试题分析: 根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,求出点(-5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>-1时,y随x的增大而增大即可判断④. ∵二次函数的图象的开口向上, ∴a>0, ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上, ∴c<0, ∵二次函数图象的对称轴是直线x=-1, ∴ ∴b=2a>0, ∴abc<0,∴①正确; 2a-b=2a-2a=0,∴②正确; ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=-1,且过点(-3,0). ∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0), ∴把x=2代入y=ax2+bx+c得: y=4a+2b+c>0,∴③错误; ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-1, ∴点(-5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1), 根据当x>-1时,y随x的增大而增大, ∵<3, ∴y2<y1,∴④正确; 故选C. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 63.A. 【解析】 试题分析: 连接01M,OO1,可得到直角三角形OO1M,依题意可知⊙O的半径为2,则OO1=2﹣y,OM=2﹣x,O1M=y.在Rt△OO1M中,由勾股定理得,解得. 故选A. 考点: 根据实际问题列二次函数关系式. 64.C. 【解析】 试题分析: 根据二次函数的图象及其性质进行解答. ①∵二次函数的图象与x轴有两个交点,∴b²-4ac>0,∴b²>4ac; ②∵,∴b=2a,∴2a-b=0; ③当x=-1代入y=ax2+bx+c中,得y=a-b+c,根据图象,当x=-1,对应的函数值>0,∴a-b+c>0; ④∵图象开口向下,∴a<0,∴5a<2a.又∵b=2a,∴5a<b; ⑤∵图象开口向下,对称轴为x=-1,∴当x=-1,y最大值为a-b+c;当x=m代入y=ax2+bx+c中,得y=y=am2+bm+c,∴a-b+c>am2+bm+c,∴a-b>m(am+b); 故选择C. 考点: 二次函数的图象及其性质. 65.D. 【解析】 试题分析: 由开口方向,可确定a>0;由当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,可确定B错误;由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧,可确定x=<1;由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),对称轴在y轴右侧,a>0,可得最小值: <﹣2,即可确定D正确. A、∵开口向上,∴a>0,故本选项错误; B、∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,故本选项错误; C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧,∴x=﹣<1,故本选项错误; D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),对称轴在y轴右侧,a>0, ∴最小值: <﹣2, ∴4ac﹣b2<﹣8a. 故本选项正确. 故选D. 考点: 1.二次函数图象与系数的关系;2.抛物线与x轴的交点. 66.C. 【解析】 试题分析: 由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. A、∵抛物线开口方向向下,∴a<0. ∵抛物线与x轴的交点是(2,0)和(x1,0),其中-2<x1<-1, ∴对称轴x=->0, ∴b>0. ∵抛物线与y轴交于正半轴, ∴c>0, ∴abc<0.故本选项错误; B、根据图示知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0.故本选项错误; C、∵把x=2代入y=ax2+bx+c得: y=4a+2b+c=0, 4a+2b=-c, 2a+b=-, ∵O<c<2, ∴2a+b+1>0. 故本选项正确; D、∵两个根之和为正,即>1,即a<-b<0, ∴a+b<0.故本选项错误; 故选C. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 67.A. 【解析】 试题分析: 根据二次函数、反比例函数、正比例函数的图象的上下关系即可得出结论: ①当三个函数的图象依,,次序呈上下关系时,,命题正确; ②当三个函数的图象依,,次序呈上下关系时,或,命题错误; ③当三个函数的图象没有出现,,次序的上下关系,命题错误; ④当三个函数的图象依,,次序呈上下关系时,,命题正确. 综上所述,正确的命题是①④.故选A. 考点: 1.命题和证明;2.二次函数、反比例函数、正比例函数的图象;3.数形结合思想的应用. 68.D. 【解析】 试题分析: ∵抛物线的开口向下, ∴a<0, ∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上, ∴c>0, ∴①③正确; ∵对称轴为,得2a-b, ∴2a+b=0, ∴a、b异号,即b>0, ∴②错误,⑤正确; ∵当x=-2时,y=4a-2b+c<0, ∴④正确. 综上所知①③④⑤正确. 故选D. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 69.C. 【解析】 试题分析: ∵抛物线开口向上,∴,∵抛物线对称轴为直线=1,∴,∵抛物线与y轴交点在x轴下方,∴,∴,所以①正确; ∵=1,即,∴,所以②正确; ∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0),而抛物线对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),∴当时,,∴,所以③错误. ∵抛物线与x轴的两个交点为(﹣2,0),(4,0),∴方程的解是-2和4,∴④正确; 由图像可知: 不等式的解集是,∴⑤正确. ∴正确的答案为: ①②④⑤.故选C. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 70.D. 【解析】 试题分析: 由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. ①如图,∵抛物线开口方向向下,∴a<0. ∵对称轴x=﹣=﹣,∴b=a<0, ∴ab>0.故①正确; ②如图,当x=1时,y<0,即a+b+c<0. 故②正确; ③如图,当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0, ∴2a﹣2b+2c>0,即3b﹣2b+2c>0, ∴b+2c>0. 故③正确; ④如图,当x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0. 抛物线与y轴交于正半轴,则c>0. ∵b<0, ∴c﹣b>0, ∴(a﹣b+c)+(c﹣b)+2c>0,即a﹣2b+4c>0. 故④正确; ⑤如图,对称轴x=﹣=﹣,则.故⑤正确. 综上所述,正确的结论是①②③④⑤,共5个. 故选D. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 71.C. 【解析】 试题分析: 观察图象,抛物线的对称轴过点(1,0),所以图象关于直线x=1对称,所以选项A正确,抛物线的开口方向向上,最低点是(1,-4),所以函数的最小值是-4,所以选项B正确,在抛物线的对称轴左侧,曲线从左到右是下降的,即x<1,y随x的增大而减少,所以选项C错误,抛物线是对称图形,它与y轴的两个交点应关于对称轴对称,其中一个交点是(-1,0),对称轴是直线x=1,所以另外一个交点是(3,0),所以选项D正确,故选C. 考点: 抛物线的图象和性质. 72.B. 【解析】 试题分析: (1)观察图形,分过两个顶点剪去一个角、过一个顶点或不过任何一个顶点剪去一个角作出的图形,找出减少的边数和增加的边数,然后根据多边形的定义即可得到剩下的是n+1或n-1、n,所以 (1)不正确; (2),所以,解得x=3,所以 (2)不正确;(3)原式=,所以2k-3=0,解得k=,正确;(4)由a-b+c<0得,代入,所以(4)不正确 考点: 1.多边形的性质;2.反比例函数的意义;3.二次函数的判别式. 73.A. 【解析】 试题分析: 将(-1,2)与(1,0)代入二次函数y=ax2+bx+c得: a-b+c=2,a+b+c=0, ∴a+c=1,b=-1,c<0,∴abc>0 ∴a=1-c>1,2a+b=2a-1>0,(2a+c)2=()2>b2=1,3a+c=2a+a+c=2a+1>2, 故选A. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 74.B. 【解析】 试题分析: 抛物线y=x2+bx+c与x轴没有交点,所以判别式△=b2-4ac=b2-4c<0,所以结论①错误;因为点(1,1)在抛物线上,所以将x=1,y=1代入抛物线解析式得: b+c+1=1,所以结论②错误;由于点(3,3)在抛物线上,所以将x=3,y=3代入抛物线解析式得: 9+3b+c=3,化简得: 3b+c+6=0,所以结论③正确;当1<x<3时,直线在抛物线上方,所以有: x>x2+bx+c,化简得: x2+(b-1)x+c<0,所以结论④正确.故选B. 考点: 1、二次函数的性质;2、二次函数与不等式. 75.C. 【解析】 试题分析: ①∵图象与x轴有交点,则△=,解得;故本选项错误; ②∵二次函数的顶点坐标为(2,),代入得,,∴,故本选项正确; ③当时,不等式变为: ,解集为或,故本选项错误; ④,将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后变为: ,即,∵过点,∴,解得: ,故本选项错误; ⑤由根与系数的关系,,当时,,当时,,故本选项正确. 故选C. 考点: 1.抛物线与x轴的交点;2.根与系数的关系;3.二次函数图象与几何变换;4.二次函数与不等式(组). 76.C. 【解析】 试题分析: A.二次函数的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况,故本选项错误; B.∵,∴△=,故本选项错误; C.若,则,,所以,,∴,若,则()与()同号,∴,综上所述,正确,故本选项正确; D.若,则,若,则或,故本选项错误.故选C. 考点: 抛物线与x轴的交点. 77.C. 【解析】 试题分析: ①∵a>0,b<0,c<0,∴abc>0,错误; ②由图象可知: 对称轴>0且对称轴<1,∴2a+b>0,正确; ③由图象可知: 当x=-1时y=2,∴,当x=1时y=0,∴a+b+c=0.与a+b+c=0相加得2a+2c=2,解得a+c=1,正确; ④∵a+c=1,移项得a=1-c,又∵c<0,∴a>1,正确. 故正确结论的序号是②③④. 故选C. 考点: 二次函数图象与系数的关系. 78.C 【解析】 试题分析: ∵Rt△OAB的顶点A(﹣2,4)在抛物线上,∴,解得: a=1 ∴抛物线解析式为y=x2。 ∵Rt△OAB的顶点A(﹣2,4),∴OB=OD=2。 ∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,∴CD∥x轴。 ∴点D和点P的纵坐标均为2。 ∴令y=2,得2=x2,解得: 。 ∵点P在第一象限,∴点P的坐标为: (,2)。 故选C。 79.B。 【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,利用图象将x=1,﹣1,2代入函数解析式判断y的值,进而对所得结论进行判断: ①∵由函数图象开口向下可知,a<0,由函数的对称轴<0得b>0,∴2a﹣b<0,①正确; ②∵a<0,对称轴在y轴左侧,a,b同号,图象与y轴交于负半轴,则c<0,∴abc<0;②正确; ③当x=1时,y=a+b+c<0,③正确; ④当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,④错误; ⑤当x=2时,y=4a+2b+c<0,⑤错误; 故错误的有2个。 故选B。 80.D 【解析】 试题分析: a的符号不能确定,选项A错误。 二次函数(a≠0)的图象与x轴有两个交点,故b2-4ac>0。 选项B错误。 分a>0,a<0两种情况画出两个草图来分析(见下图): 由于a的符号不能确定(可正可负,即抛物线的开口可向上,也可向下),所以x0,x1,x2 的大小就无法确定。 选项C错误。 在图1中,a<0且有x0 选项C正确。 故选D。 81.D。 【解析】将A(-2,0)代入,得。 ∴二次函数。 ∴二次函数的顶点坐标为(-1,-a)。 当x=-1时,反比例函数。 由图象可知,当x=-1时,反比例函数图象在二次函数图象的上方,且都在x下方, ∴,即。 故选D。 (实际上应用排它法,由,也可得ABC三选项错误)
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