最新教版九年级数学初三下册第二十九章 直线与圆的位置关系教案.docx
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最新教版九年级数学初三下册第二十九章直线与圆的位置关系教案
第二十九章 直线与圆的位置关系
1.了解点与圆、直线与圆的位置关系,并能用相应的数量关系说明它们的位置关系.
2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的位置关系,会过一点画圆的切线.
3.了解直线与圆相切的有关性质,能判断一条直线是否为圆的切线,知道三角形的内心的概念.
4.理解切线长的概念,探索并证明切线长定理,并能运用它解决有关问题.
5.了解正多边形及其有关的概念,了解正多边形与圆的关系.
6.会用尺规作三角形的内切圆、圆的内接正方形和圆的内切正六边形.
1.经历从现实生活中抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,体会数学与生活的密切联系.
2.积极引导学生从事观察、测量、猜想、归纳、证明等活动,培养学生探究问题的能力及创新精神.
3.在探索点与圆、直线与圆的位置关系的过程中,体会数形结合思想在数学中的应用.
4.结合切线的判定和性质及切线长定理的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识的逻辑思维能力.
5.经历动手、探索、画图,了解正多边形和圆的关系,体会化归思想在解决问题中的重要性,培养学生的动手能力.
1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用等数学学习过程,使学生体会化归的数学思想,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能力.
4.进一步培养学生综合运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.
圆作为基本的平面图形,是人们生活中常见的图形,在上一章我们学习了圆的概念、性质、和圆有关的角等知识,积累了大量的有关圆的经验.本章在此基础上,进一步研究点与圆、直线与圆的位置关系,切线的性质和判定,切线长定理及正多边形与圆等相关的知识,是上一章圆的有关性质的延续和拓展,让学生在初中阶段比较系统、完整地学习圆的知识,为今后学习解析几何等知识打下基础.
本章从生活实际问题出发,抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,让学生体会到学习的必要性和重要性,明确用数量关系揭示几何图形之间的位置关系,这是几何学习的深化与发展,充分体现数学中数形结合思想的应用.切线的性质和判定、切线长定理是本章内容的重点,学生通过合作学习,经历性质和判定的探究过程,进一步提高学生探究问题的能力,发展学生的逻辑思维能力.本章的学习,要用到前面许多知识和方法,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力.本章知识的学习是前面知识综合应用的过程,在初中数学学习中占有重要地位,尤其是为逐步建立的数形结合、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.
【重点】
与圆有关的位置关系;切线的性质和判定、切线长定理的证明及应用;与正多边形有关的计算.
【难点】
切线的性质和判定、切线长定理的综合运用.
1.教材将数学与生活实际相联系,让学生从实际背景中感知数学知识,体会数学在生活中的应用.在教学中应重视创设生活情景,激发学生的学习兴趣及求知欲,从生活实例中抽象出与本章相关的图形,发现图形之间的位置关系.
2.数学知识的形成过程是一个数学思维的过程,在教学过程中设计学生动手操作及合作交流的数学活动,引导学生积极参与探究活动,经历知识的形成过程,逐步提高学生的数学思维水平.
3.在教学过程中教师要关注学生的探究过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生通过小组合作与交流的方式解决问题,让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳出数学概念、性质及判定,培养学生自主探究的精神及合作意识.
4.重视数学思想方法的渗透,数学思想与方法是数学学习的灵魂,本章涉及的数学思想和方法较多,如探究点与圆、直线与圆的位置关系时的分类讨论思想及数形结合思想;探究正多边形与圆时的转化思想.通过学习本章知识,使学生掌握化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
5.探究直线与圆的位置关系具有一定的抽象性,需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力.在教学中应重视培养学生论证及推理能力.本章所研究的问题常需要综合运用多方面知识,这对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力是相当有好处的,在教学中抓住此机会使学生解决问题的能力有较大的飞跃.
29.1点与圆的位置关系
1课时
29.2直线与圆的位置关系
1课时
29.3切线的性质和判定
1课时
29.4切线长定理
1课时
29.5正多边形与圆
1课时
回顾与反思
1课时
29.1 点与圆的位置关系
1.了解点与圆的三种位置关系.
2.理解并掌握点与圆的三种位置关系中相关数量间的关系.
3.能应用点与圆的位置关系解决简单问题.
1.经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系的过程,体会数学与实际生活的密切联系.
2.探索点与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索点与圆的位置关系中相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
2.在数学活动过程中,发展学生的合作交流意识和主动探索精神.
【重点】
点与圆的位置关系中相关数量间的关系.
【难点】
探索点与圆的位置关系的过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P2~3.
导入一:
(课件展示)
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得荣誉.如图所示的是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不等的圆)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
【教师活动】 教师展示课件,引导学生观察,要解决这个问题就要研究点与圆的位置关系.
[设计意图] 由学生感兴趣的奥运射击比赛成绩的计算导入新课,激发学生的学习兴趣.
导入二:
(课件展示)
足球运动员踢出的足球在球场上滚动,在足球穿越中圈区(中间圆形区域)的过程中,可将足球看成一个点,这个点与圆具有怎样的位置关系?
【教师活动】 教师展示课件,提出问题,导出本节课的课题.
[设计意图] 足球与中圈区之间的位置关系,让学生初步感受点与圆的位置关系,体会数学与生活密切相关,降低本节课的学习难度.
导入三:
复习提问:
1.圆的两个定义是什么?
确定一个圆的两个基本要素是什么?
2.点与直线有几种位置关系?
[设计意图] 通过复习和圆有关的概念及点与直线的位置关系,为用类比思想学习新知识打下铺垫.
[过渡语] 我们已经学习了圆的性质,而圆作为一种重要的几何图形,还有许多知识,这节课我们一起学习点与圆的位置关系.
观察与思考
【师生活动】 教师通过课件演示足球穿越中圈区的动画过程,并提出问题:
把足球看作点,把中圈区看作圆,点与圆有几种位置关系?
学生独立思考后小组合作交流,学生代表回答,教师板书并课件展示.
(课件展示)
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:
点在圆外、点在圆上和点在圆内.点P与☉O的位置关系如图所示.
[设计意图] 通过动画演示,让学生直观感知点与圆的位置关系,并用几何图形进行刻画,用数学语言进行描述,为进一步探究点与圆的位置关系做好铺垫,同时通过创设与生活有关的情景问题,激发学生探究本节课知识的求知欲.
共同探究
思路一
(课件展示)
已知点P和☉O,☉O的半径为r,点P与圆心O之间的距离为d.
1.请根据下列图形中点P和☉O的位置,在表格中填写r与d之间的数量关系.
语言描述
图形表示
r与d之间的
数量关系
点P在☉O外
点P在☉O上
点P在☉O内
【师生活动】 教师展示课件,学生观察独立思考后,小组内合作交流,归纳总结由点与圆的位置关系得到的r与d之间的数量关系的规律,学生代表展示后,教师板书并点评.
(板书)
点P在圆外⇒d>r;
点P在圆上⇒d=r;
点P在圆内⇒d 2.当d与r分别满足条件d>r,d=r,d 【师生活动】 学生小组内交流,归纳总结r与d之间的数量关系与点与圆的位置关系的规律,小组代表展示,教师归纳点评. (板书) (1)点P在☉O外⇔d>r. (2)点P在☉O上⇔d=r. (3)点P在☉O内⇔d 注: 符号“⇔”读作“等价于”,它表示从左端可以推出右端,从右端也可以推出左端. 思路二 思考: 1.观察下列各个图中点P与☉O的位置关系? 2.各图中的点P到圆心O的距离d与☉O的半径r分别有什么关系? 3.总结由这三点分别与圆的位置关系得到什么样的数量关系? 【师生活动】 学生观察图形,独立思考后小组讨论、总结判断点与圆的位置关系的方法,学生展示后教师点评. 结论: 设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离OP=d,则有: 点P在圆外⇒d>r; 点P在圆上⇒d=r; 点P在圆内⇒d 4.以任意一点为圆心画一个半径为3cm的圆,点P1,P2,P3到圆心的距离分别为2cm,3cm,5cm,在图上标出这三点的位置. 5.观察这三点与圆的位置关系,总结由这三点到圆心的距离得到什么样的位置关系? 【师生活动】 学生动手操作后,小组内交流和探索结果,学生展示后教师点评. 结论: 设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离OP=d,则有: d>r⇒点P在圆外; d=r⇒点P在圆上; d (课件展示) 设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离OP=d,则有: (1)点P在☉O外⇔d>r. (2)点P在☉O上⇔d=r. (3)点P在☉O内⇔d [设计意图] 通过观察、思考、讨论、归纳等数学活动,共同探究点与圆的位置关系、半径与点到圆心的距离之间的数量关系的互相转化,体会数形结合思想,培养学生分析问题及归纳总结能力. 例题讲解 (课件展示) (教材第3页例)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=4cm,以点A为圆心、3cm为半径画圆,并判断: (1)点C与☉A的位置关系. (2)点B与☉A的位置关系. (3)AB的中点D与☉A的位置关系. 思路一 教师引导: (1)如何判定点与圆的位置关系? (先确定点与圆心的距离,再与半径的大小进行比较可得.) (2)在直角三角形中已知两条直角边,如何求第三边的长? (利用勾股定理求直角三角形的边长.) (3)直角三角形斜边上的中线有什么性质? (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.) (4)点C,B,D与圆心A的距离分别是多少? 与半径之间的大小关系如何? (AC=3cm=r,BC=4cm>r,CD=AB=cm (5)根据点到圆心的距离与半径的大小之间的关系,你能分别判断点C,B,D与☉A的位置关系吗? (点C在☉A上;点B在☉A外;点D在☉A内.) 【师生活动】 教师提出问题,学生思考回答,独立完成后板书解答过程,教师点评归纳. (板书) 解: 已知☉A的半径r=3cm. (1)因为AC===3(cm)=r,所以点C在☉A上. (2)因为AB=5cm>3cm=r,所以点B在☉A外. (3)因为DA=AB=2.5cm<3cm=r,所以点D在☉A内. 思路二 【师生活动】 学生独立思考后小组内合作交流,小组代表板书解答过程,教师点评.教师追加提问: 判断点与圆的位置关系的步骤是什么? 师生共同归纳总结. (板书) 同思路一. [设计意图] 通过例题,进一步体会判断点与圆的位置关系的一般方法,培养学生分析问题及归纳总结能力. [知识拓展] 1.圆将平面分成三部分,圆内、圆上和圆外,因此点与圆有三种位置关系. 2.由点与圆的位置关系可以确定该点到圆心的距离和半径的关系.反过来,已知点到圆心的距离和半径之间的关系,可以确定该点与圆的位置关系. 1.点与圆的位置关系. 设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离OP=d,则有: 点P在圆外⇔d>r; 点P在圆上⇔d=r; 点P在圆内⇔d 2.判断点与圆的位置关系的一般步骤. 1.☉O的半径为4cm,点A到圆心O的距离为3cm,则点A与☉O的位置关系是( ) A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.不能确定 解析: OA=3cm<4cm,则点A与☉O的位置关系是: 点A在圆内.故选A. 2.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点D是AB边的中点,以点C为圆心,4cm长为半径作圆,则点A,B,C,D四点中在圆内的有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析: ∵以点C为圆心,4为半径作圆,AC=BC=4,则A,B两点到圆心C的距离等于半径,∴点A,B在圆上.∵在直角三角形ABC中,D是AB的中点,AC=BC=4,∴AB==4,∴CD=AB=2,则2<4,∴点D在☉C内.那么在圆内只有C,D两个点.故选B. 3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM是中线,以点C为圆心,cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 . 解析: ∵∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,∴AB==2(cm).∵CM是中线,∴CM=AB=cm,∴点M在圆上.∵AC=2cm 答案: B M A 4.已知☉O的半径为5,O为原点,点P的坐标为(2,4),则点P与☉O的位置关系是 . 解析: 由勾股定理,得OP==<5,∴点P与☉O的位置关系是点P在☉O内.故填点P在☉O内. 29.1 点与圆的位置关系 观察与思考 共同探究 例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第4页习题A组的1,2题. 【选做题】 教材第4页习题B组的1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.☉O的半径为3cm,点O到点P的距离为cm,则点P( ) A.在☉O外B.在☉O内 C.在☉O上D.不能确定 2.已知☉O的半径为5cm,A为线段OP的中点,当点A在☉O的外部时,线段OP的长度可以是( ) A.6cmB.10cmC.14cmD.8cm 3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=8cm,CM为中线,以点C为圆心,以cm为半径作圆,则点A,B,C,M四点在☉C外的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 4.若☉A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为( ) A.在☉A内B.在☉A上 C.在☉A外D.不确定 5.☉O的半径r=5cm,圆心到直线l的距离OM=4cm,在直线l上有一点P,且PM=3cm,则点P( ) A.在☉O内 B.在☉O上 C.在☉O外 D.可能在☉O上或在☉O内 6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作☉O,设线段CD的中点为P,则点P与☉O的位置关系是 . 7.若点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心,以2为半径的圆内,则a的取值范围是 . 8.已知☉O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,且方程x2-2x+d=0没有实数根,则点P与☉O的位置关系是 . 9.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,点D是BC的中点,现在以点D为圆心,DC为半径作☉D. (1)当BC=8时,判断点A与☉D的位置关系; (2)当BC=6时,判断点A与☉D的位置关系; (3)当BC=5时,判断点A与☉D的位置关系. 【能力提升】 10.若☉O所在平面内一点P到☉O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的直径为( ) A.B. C.或D.a+b或a-b 11.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是 . (第11题图) (第12题图) 12.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,CD⊥AB于D. (1)以点C为圆心,6为半径作圆,试判断点A,D,B与圆C的位置关系; (2)若点O是AB的中点,则☉C的半径为多少时,点O在☉C上? 【拓展探究】 13.爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域,已知这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 【答案与解析】 1.A(解析: ∵OP=cm>3cm,∴点P与☉O的位置关系是: 点P在圆外.) 2.C(解析: 当点A在☉O的外部时,OA>5cm,所以OP>10cm.故选项C符合.) 3.C(解析: ∵∠ACB=90°,AC=4cm,BC=8cm,∴AB==4(cm).∵CM是中线,∴CM=AB=2cm,∴点M在圆外.∵AC=4cm>cm,∴点A在圆外,∵BC=8>,∴点B在圆外.) 4.A(解析: ∵点A的坐标为(3,4),点P的坐标是(5,8),∴AP==2.∵☉A的半径为5,且5>2,∴点P在☉A的内部.) 5.B(解析: ∵☉O的半径r=5cm,圆心到直线l的距离OM=4cm,在直线l上有一点P且PM=3cm,∴MP=3,OM=4,OM⊥PM,∴PO=5,∴点P在圆上.) 6.点P在☉O内(解析: ∵AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,∴AD=5.∵点O是AC的中点,点P是CD的中点,∴OP是△CAD的中位线,OC=OA=3,∴OP=AD=2.5.∵OP
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