一元二次方程根的判别式.docx
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一元二次方程根的判别式.docx
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一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
(第1课时)
【目标导航】
通过本课的学习,让学生在知识上了解掌握根的判别式.在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况;根据根的情况,探求所需的条件.
【预习引领】
解下列一元二次方程.
(1)x2-1=0
(2)x2 -2x=-1
(3)(x+1)2-24=0 (4)x2 +2x+2=0
问题:
(1)为什么会出现无解?
(2)回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程.
【要点梳理】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.
2.判别一元二次方程根的情况:
(1)当b2-4ac>0时,________________;
(2)当b2-4ac=0时,__________________;
(3)当b2-4ac<0时,_______________.
例1 不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1)2x2+3x-4=0;
(2)16y2+9=24y;
(3)5(x2+1)-7x=0.
【课堂操练】
不解方程,判别下列方程根的情况:
(1)3x2+4x-2=0;
(2)2y2+5=6y;
(3)4p(p-1)-3=0;
(4)(x-2)2+2(x-2)-8=0;
(5)
例2求证:
关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.
【课堂操练】
1.不解方程,判别下列方程根的情况.
(1)a2x2-ax-1=0(a≠0)
(2)(2m2+1)x2-2mx+1=0.
(3)x2+
kx+k2=0
例3关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0当k取何值时,
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;
(3)方程没有实数根.
【课堂操练】
1.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-
=0
有两个相等的实数根,则k=.
2.一元一次方程中,有实数根的是()
A.x2+x+1=0B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0D.x2+4=0
3.方程x2-3x+1=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.没有实数根
C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根
4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根,则k的取值范围()
A.k≤1B.k≥1C.k<1D.k>1
5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()
A.m<1B.m<1且m≠0
C.m≤1D.m≤1且m≠0
6.一元二次方程
有两个相等的实数根,那么
的值为()
A.-4B.4C.
D.
7.(2011山东威海,9,3分)关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根,则m的值是()
A.
B.
C.
D.
或
8.试判别方程x2+2mx+m-1=0的根的情况;
9.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.
10.当k取何值时,方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?
求出这时方程的根.
【课后盘点】
1.不解方程,判别方程根的情况;
(1)2x2+3x-4=0
(2)16y2+9=24y
(3)5(x2+7)-x=0(4)0.2x2-5=
x
(5)3x2+4x-2=0(6)2y2+5=6y
(7)4p(p-1)-3=0(8)x2+5=2
x
2.一元二次方程x2+2x+4=0根的情况是
A.有一个实数根B.没有实数根()
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
3.一元二次方程
若
与
异号,则方程()
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法判断.
4.若关于x的方程
没有实数根,则实数m的取值范围是()
A.m
5.一元二次方程x2+x+2=0的根的情况是A.有两个不相等的正根()
B.有两个不相等的负根
C.没有实数根
D.有两个相等的实数根
6.下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )
A.x2+4=0 B.4x2-4x+1=0
C.x2+x+3=0 D.x2+2x-1=0
7.函数
图象经过第二、四象限,若
同时满足方程
,则此方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
8.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k>-1B.k>1
C.k≠0D.k>-1且k≠0
9.已知方程
有两个相等的实数根,则
.
10已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+m+2=0.若方程有两个相等的实数根,求m的值是.
11.设关于x的方程
证明:
不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根
12.已知:
a、b、c是△ABC的三边,若方程
有两个等根,试判断△ABC的形状.
13.关于x的方程kx2+(k+1)x+
=0
(1)若方程有两个相等的实数根,求k的值;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
14.已知:
m、n为整数,关于x的二次方程
x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解,x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根,
x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根,求m、n的值.
【课后拓展】
1.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根,则下列结论正确的是()
A.当k=
时,方程两根互为相反数
B.当k=0时,方程的根是x=-1
C.当k=±1时,方程两根互为倒数
D.当k≤
时,方程有实数
2.求证:
方程
必有实根
3.(2011•厦门)已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根.
(1)求n的取值范围;
(2)若n<5,且方程的两个实数根都是整数,求n的值.
参考答案:
一元二次方程根的判别式
(第1课时)
【预习引领】
答案:
(1)x1=1,x2=-1
(2)x1=x2=1
(3)x1=
,x2=
(4)方程无解。
【要点梳理】
例1
(1)a=2,b=3,c=-4
因为b2-4ac=9-4×2×(-4)>0
所以原方程有两个不相等的实数根。
(2)16y2-24y+9=0
a=16,b=-24,c=9
因为b2-4ac=(-24)2-4×9×16=0
所以原方程有两个相等的实数根。
(3)5x2-7x+5=0.
a=5,b=-7,c=5
因为b2-4ac=72-4×5×5<0
所以原方程霰无实数根。
【课堂操练】
答案:
(1)有两个不相等的实数根
(2)无实数根
(3)有两个不相等的实数根
(4)有两个不相等的实数根
(5)无实数根
例2:
(1)a=1,b=2k+1,c=k-1
因为b2-4ac=(2k+1)2-4(k-1)
=4k2+5>0
所以原方程有两个不相等的实数根。
【课堂操练】
答案:
(1)有两个不相等的实数根
(2)无实数根
(3)有两个实数根
例3:
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
a=2,b=4k+1,c=2k2-1
b2-4ac=(4k+1)2-4×2×(2k2-1)
=8k+16
(1)∵方程有两个不相等的实数根;
∴8k+16>0
∴k>-2
(2)∵方程有两个相等的实数根;
∴8k+16=0
∴k=-2
(3)∵方程没有实数根;
∴8k+16<0
∴k<-2
【课堂操练】
1.
2.C
3.A
4.A
5.D
6.C
7.D
8.b2-4ac=(2m)2-4(m-1)
=4m2-4m2+4
=(2m-1)2+3
∵m无论为何数,(2m-1)2≥0。
∴(2m-1)2+3≥0。
∴b2-4ac≥0
∴原方程有两个实数根
9.b2-4ac=(3m-1)2-4m(2m-1)
=m2-2m+1
∵m2-2m+1=1
∴m1=1,m2=0
∵m≠0
∴m=2。
∴方程为:
2x2-5x+3=0
∴x1=1,x2=
10.∵有两个相等的实数根
∴b2-4ac=0
∴(k+2)2-4×4(k-1)=0
∴k1=2,k2k1=10
当k=2时,x1=x2=
当k=10时,x1=x2=
【课后盘点】
1.
(1)两个不相等的实数根
(2)两个相等的实数根
(3)无实数根
(4)两个不相等的实数根
(5)两个不相等的实数根
(6)无实数根
(7)两个不相等的实数根
(8)两个相等的实数根
2.B
3.A
4.C
5.C
6.D
7.A
8.D
9.
10.7或—1
11.b2-4ac=(2m)2-4(-2m-4)
=4(m+1)2+12>0
所以:
不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根
12.∵有两个相等的实数根
∴b2-4ac=0
∴4(b2+c2)-4a×2(b+c-a)=0
∴(b-a)2+(c-a)2=0
∴b=a=c
13.b2-4ac=2k+1
(1)2k+1=0,k=
(2)2k+1>0,k>
14.由题意得:
(7-m)2-4(3+n)>0
(1)
(4+m)2-4(n+6)=0
(2)
(m-4)2-4(n+1)<0(3)
由
(2)得:
4n=(4+m)2-24
代入
(1)(3)中解得:
因为m是整数所以m=2。
所以n=3
【课后拓展】
1.A
2.分类讨论
(1)当m=0时,方程是6x+3=0有实数根。
(2)当m≠0时,b2-4ac=(m+6)2-12m
=m2+36>0,所以方程总有两个不相等的实数根。
结合
(1)
(2)方程总有实数根。
3.
(1)∵于x的方程x2-2x-2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=-2、常数项c=-2n,
∴△=b2-4ac=4+8n>0,
解得,n>-12;
(2)由原方程,得
(x-1)2=2n+1,
∴x=1±2n+1;
∵方程的两个实数根都是整数,且n<5,
∴0<2n+1<11,且2n+1是完全平方形式,
∴2n+1=1,2n+1=4或2n+1=9,
解得,n=0,n=1.5或n=4.
(设计人:
仲晓梅)
一元二次方程根的判别式
(第2课时)
【目标导航】
1.让学生进一步掌握根的判别式.
2.学生通过观察、分析、讨论、相互交流,培养分析问题、解决问题的能力.
【预习引领】
1.不解方程判别下列一元二次方程根的情况;
(1)
(2)
(3)
(4)
2.关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0
的根的判别式是9,求m的值及方程的根.,
【要点梳理】
例1已知方程
没有实数根,求证方程
有两个不相等的实数根.
例2已知关于x的方程
(1)方程有两个相等的实数根,求k的值;
(2)方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(3)方程没有实数根,求k的取值范围;
(4)方程有实数根,求k的取值范围.
例3已知关于x的方程
(1)求证:
无论k取何值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=6,另两边 b、c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的三边长.
例4关于x的方程
与
的根都是整数,求整数m的值.
【课堂操练】
1.一元二次方程
有两个相等的实数根,则b=.
2.当m时,关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根.
3.当a=时,已知关于x的方程
有两个相等的实数根.
4.已知a、b、c分别是三角形ABC的三边长,当m>0时,关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根,求证:
△ABC是直角三角形.
5.已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0.
(1)求证:
无论k取什么实数值,这个方程总有实根.
(2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边b、c恰好是这个方程的两根,求△ABC的周长.
【课后盘点】
1.若方程2x(kx-4)-x2+6=0无实数根,则k的最小整数值为 ()
A.2B.1C.-1D.不存在
2.下列方程中有两个不相等实数根的是
A.2x2+4x+35=0B.x2+1=2x()
C.(x-1)2=-1 D.5x2+4x=1
3.若关于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根则m ()
A.m<3 B.m≤3
C.m<3且m≠2D.m≤3且m≠2
4.关于x的一元二次方程kx2+3x-1=0有实
数根,则k的取值范围是 ()
A.k≤
B.k≥-
C.k≥-
且k≠0D.k=-
5.(2011重庆江津,9,4分)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()
A.a<2Ba>2C.a<2且a≠1D.a<-2·
6.关于x的一元二次方程k2x2-2(k+1)x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是.
7.若方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根,则m=.
8.二次方程
,若m为任意实数,则解的情况是 .
9.若方程2x2-2x+3a-4=0有两个不相等的实数根,则
=.
10一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的最小整数值为 .
11.当m 时,方程(m+2)x2+2x-1=0有实数根.
12.(2005•黑龙江)已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.
求证:
不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根.
13.已知a、b、c分别是△ABC的三边长,求证:
方程
无实数根.
14.已知关于x的方程(1-2k)x2-2
x-1=0有两个不相等的实数根,k为实数,求k的取值范围.
15若方程x2+2(1+m)x+(3m2+4mn+4n2+2)=0有实数根,求m、n的值.
16.若m是非负整数,且关于x一元二次方程(1-m2)x2+2(1-m)x-1=0有两个实数根.求m的值.
17.m是什么整数时,方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根.
18若m为有理数,当k是什么数时,方程
x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根为有理数.
【课后拓展】
1.如果方程组
只有一个实数解,那么m的值为()
A.
B.
C.
D.
2.已知关于x方程
①
有两个相等的实数根.
(1)求证:
关于y的方程
②必有两个不相等的实数根;
(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根,求代数式
的值.
(设计人:
仲晓梅)
参考答案:
一元二次方程根的判别式
(第2课时)
【预习引领】
1.
(1)两个不相等的实数根
(2)无实数根
(3)两个不相等的实数根
(4)无实数根
2.b2-4ac=(2m+1)2-8m=9
∴m1=2,m2=-1
(1)m=2时:
2x2-5x+2=0,x1=
,x2=2
(2)m=-1时:
2x2+x-1=0,x1=
,x2=-1
【要点梳理】
例1∵方程
没有实数根,
∴b2-4ac=36-4(8-m)<0
∴m<-1
对于方程
来说:
b2-4ac=(m+2)2-4(2m+1)=m2-4m=m(m-4)
∵m<-1
∴m-4<-5
∴m(m-4)>0
∴方程
有两个不相等的实数根.
例2b2-4ac=(2k-3)2-4k2=-12k+9
(1)∵方程有两个相等的实数根;
∴-12k+9=0
∴k=
(2)∵方程有两个不相等的实数根;
∴-12k+9>0
∴k<
且k≠0
(3)∵方程没有实数根;
∴-12k+9<0
∴k>
(4)∵方程有实数根
∴-12k+9≥0
∴k≤
例3.
(1)b2-4ac=(3k+1)2-4(2k2+2k)=(k-1)2
∵无论k取何值,(k-1)2≥0
∴b2-4ac2≥0
(2)由题意得方程必有一根等于6,代入得:
36-6(3k+1)+k2+2k=0
∴k1=3,k2=5
(1)k=3时:
x2-10x+24=0,x1=6,x2=4
(2)k=5时:
x2-16x+60=0,x1=10,x2=6
例4。
b2-4ac=16-16m≥0
b2-4ac=16m2-4(4m24m-5)≥0
∴
∵m是整数
∴m=-1,0,1。
【课堂操练】
1.0或24
2.
3.
4.∵c(x2+m)+b(x2-m)-2max=0
∴(b+c)x2-2max+cm-bm=0
∵有两个相等的实数根
∴(-2ma)2-4(b+c)(cm-bm)=0,m>0
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形.
5.
(1)证明:
方程化为一般形式为:
x2-(2k+1)x+4k-2=0,
∵△=(2k+1)2-4(4k-2)=(2k-3)2,
而(2k-3)2≥0,
∴△≥0,
所以无论k取任何实数,方程总有两个实数根;
(2)解:
x2-(2k+1)x+4k-2=0,
整理得(x-2)[x-(2k-1)]=0,
∴x1=2,x2=2k-1,
当a=4为等腰△ABC的底边,则有b=c,
因为b、c恰是这个方程的两根,则2=2k-1,
解得k=32,则三角形的三边长分别为:
2,2,4,
∵2+2=4,这不满足三角形三边的关系,舍去;
当a=4为等腰△ABC的腰,
因为b、c恰是这个方程的两根,所以只能2k-1=4,
解得k=52,则三角形三边长分别为:
2,4,4,
此时三角形的周长为2+4+4=10.
所以△ABC的周长为10.
【课后盘点】
1.A
2.D
3.B
4.B
5.C
6.
7.-1
8.无实数根
9.-2
10.0
11.
12.△=(4m+1)2-4(2m-1)
=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5>0,
∴不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根.
13.△=(b2+c2-a2)2-4b2c2
=(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)
=[(b+c)2-a2][(b-c)2-a2]
=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
由三角形任意两边之和大于第三边得
b+c+a>0,b+c-a>0,b-c+a>0,b-c-a<0
∴△<0
∴无实数根
14.∵有两个不相等的实数根
∴二次项系数1-2k≠0
∴K≠
又△>0
∴4(k+1)+4(1-2k)>0
∴k<2
∴k<2且k≠
15.
b2-4ac2=4(1+m)2-4(3m2+4mn+4n2+2)
=-4[(m-1)2+(m-2n)2]≥0
∴m=1,n=
16.
∵方程是一元二次方程,且有两个实数根,
∴1-m2≠0且△=4(1-m)2+4(1-m2)≥0
∴m≠±1且m≤1
又∵m为非负整数,
∴m=0
把m=0代入原方程,原方程变为:
x2+2x-1=0
∴x=-1±
17.
∵m2-1≠0
∴m≠±1
∵△=36(m-3)2>0
∴m≠3
原方程变形、因式分解为
(m+1)(m-1)x2-6(3m-1)x+72=0,
[(m+1)x-12][(m-1)x-6]=0,
x1=
,x2=
又∵x1,x2是正整数
∴m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12,
解得m=2.这时x1=6,x2=4.
18.
方程x2+4(1-m)x+3m2-2m+4k=0
△=16(1-m)2-4(3m2-4m+4k)=4m2-16m+16-16k,
∵方程x2+4(1-m)x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根,
∴△为完全平方式,
∴4m2-16m+16-16k=4(m2-4m+4)-16k,
∴16k=0时,△是完全平方式,
解得k=0,
所以m为给定的有理数,k为0时,方程x2+4(1-m)x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根.
【课后拓展】
1.A
2.
(1)证明:
由方程①得n-1≠0,m2-4×(n-1)=0.
∴m2=4(n-1)且m≠0,则n-1>0.
方程②中△=4m2-4m2(-m2-2n2+3)=4m2(1+m2+2n2-3)=8m2(n+3)(n-1).
∵n-1>0.
∴△>0.方程②必有两个不相等的实数根.
(2)解:
由m2=4(n-1),得n-1=
.代入第一个方程,得
x2+mx+1=0,解得x=
.
把x=
代入第二个方程,得
m2×(
)2-2m×
-m2-(
)2+3=0.
整理得2n2+4n=7.
∴m2n十12n=n(m2+12)=n(4n-4+12)
=4n2+8n=2(2n2+4n)
=14.
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- 一元 二次方程 判别式