八年级第二章.docx
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八年级第二章.docx
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八年级第二章
12.1.1轴对称
执笔:
越新全审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
学习目标:
1、通过实例认识轴对称,掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这
两个概念。
2、培养学生的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力。
学习重点:
准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质
学习难点:
轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系
学习方法:
操作,归纳
学习过程:
一、自学指导
看教材P29图12.1-1(将生活中的对称美牵引到数学中来),注意以下几个问题:
1、什么事轴对称图形,对称轴?
2、什么是轴对称?
3、轴对称与轴对称图形的区别和联系?
二、探索与研讨
(一)轴对称图形
1、做一做
把一张对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),想一想,展开后会是一个什么样的图形?
2、看一看,想一想
细心观察一些日常生活中常见的动物图片如:
蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共
同特征?
3、归纳:
轴对称图形定义:
如果一个图形沿一条折叠,直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴
4、例题讲解:
教材P30练习(完成于书上)
5、练习:
教材P37第6题(完成于书上)
(二)轴对称
1、思考:
教材P30
2、归纳:
轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重叠的点)叫做对称点。
3、练习:
标出下列图形中的对称点
4、练习:
教材P36第2题(完成于书上)
(三)关于某条直线成轴对称的图形的性质特征
1、思考:
教材P31(上面那个)
2、归纳:
成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形全等,并且也是成轴对称的.
3、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系?
区别:
轴对称是说个图形的位置关系,轴对称图形是说个具有特殊形状的图形。
联系:
都能沿着某条直线。
这条直线是对称轴。
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
三、学习体会:
1、通过本节课的学习你有什么收获?
2、取得了哪些经验教训?
3、还有哪些问题需要解决、
四、自我检测:
1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗?
如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对称点.
2、下列图形是轴对称图形吗?
如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对称点.
3、下列各几何图形是轴对称图形吗?
若是它有几条对称轴?
4、下列图形是部分汽车的标志,哪些是轴对称图形?
5、下列汉字中哪些是轴对称图形?
田日目大口又中分晶上百林十全五一
6、下列字母中哪些是轴对称图形?
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUWMXYZ
六、学习体会
★你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
★我的收获:
★我的疑惑:
★课后是否还需要老师辅导()A.需要B.不需要
12.1.2轴对称(第二课时)
执笔:
越新全审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
学习目标:
1、经历探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,
发展空间观察;
2、探索线段垂直平分线的性质,培养学生认真探究、积极思考的能力;
学习重点:
探索轴对称的性质,并总结出线段垂直平分线的性质;
学习难点:
探索并总结出线段垂直平分线的性质,能运用其性质解答简单的
几何问题;
学习方法:
探索、归纳、交流、练习
学习过程:
一、自学指导
阅读课本31------34页,注意以下几个问题:
1、轴对称与轴对称图形的性质?
2、线段的垂直平分线的定义?
3、线段的垂直平分线的性质和判定?
二、探究与研讨
(一)轴对称的性质
1、如图14.1—4,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系?
(1)设AA′交对称轴MN于点P,将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后,点A与A′重合吗?
于是有PA=,∠MPA==度
(2)对于其他的对应点,如点B、B′,C、C′也有类似的情况吗?
(3)那么MN与线段AA′,BB′,CC′的连线有什么关系呢?
2、垂直平分线的定义:
经过线段并且这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
3、轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么是任何一对对应点所连线段的
类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4、练习:
教材P32图12.1-5
(二)线段垂直平分线的性质
1、探究:
教材P32
2、归纳,线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的与这条线段
的距离
(结合右图,试着把你的结论给出证明)
3、思考:
反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?
探究:
教材P33
4、归纳:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的上.
(三)、应用
1、如下图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB、AC、CE的长度有什么关系?
AB+BD与DE有什么关系?
2、如下图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?
三、学习体会:
1、通过本节课的学习你有什么收获?
2、取得了哪些经验教训?
3、还有哪些问题需要解决、
四、自我检测:
1、如图:
因为,所以AB=AC。
理由:
2、如图:
因为,所以A在线段BC的中垂线上
理由:
3、如图,NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有:
。
①AB⊥MN,②AD=DB,③MN⊥AB,④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线
4、下列说法:
①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5、△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。
6、如图,在Rt△ABC中,∠C=90,DE是AB的垂直平分线,连接AE,∠CAE:
∠DAE=1:
2,求∠B的度数。
7、如图,若AC=12,BC=7,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,求△BCD的周长。
能力提高:
如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点P。
(1)求证:
PA=PB=PC。
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上呢?
由此你能得出什么结论?
六、学习体会
★你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
★我的收获:
★我的疑惑:
★课后是否还需要老师辅导()A.需要B.不需要
12.1.3轴对称(第三课时)
执笔:
越新全审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
学习目标:
1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴
2、作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的尺规作图
学习重点:
作出轴对称图形的对称轴
学习难点:
在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质
学习方法:
操作、归纳、交流、练习
学习过程:
一、知识回顾
1、如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对所连
______的线
二、自学指导
阅读34----35页的内容,思考下列几个问题:
1、如果两个图形成轴对称,如何作它们的对称轴?
如何作轴对称图形的对称
轴?
2、如何作线段的中垂线?
3、如何找一点使他到已知三点的距离都相等?
三、思考与研讨
(一)思考:
教材P34思考
归纳:
作轴对称图形的对称轴的方法是:
找到一对,作出连接它们的
的线,就可以得到这两个图形的对称轴.
(二)应用
1、如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,
你能作出这条直线吗?
2、已知线段AB,作出它的垂直平分线CD,并标出线段的中点O.
3、如图,在五角星上作出一条对称轴
4、练习:
教材P36第6题
四、学习体会:
1、通过本节课的学习你有什么收获?
2、取得了哪些经验教训?
3、还有哪些问题需要解决、
五、自我检测:
1、画出下列图形的一条对称轴,和同学比较一下,你们画的对称轴一样吗?
2、如图,角是轴对称图形吗?
如果是,画出它的对称轴
3、如图,与图形A成轴对称的是哪个图形?
画出它们的对称轴
4、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半,请你以树干为对称轴画出树的另
一半。
5、如图、某地由于居民增多,要在公路m边增加一个公共车站,A、B是路边两个新建小区,这个车站建在什么位置,能使两校区到车站的路程一样远。
6、电信部门要修建一座电视信号发射塔,如图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离相等,到两条公路m和n的距离也必须相等,发射塔应建在什么位置?
在图上标出它的位置。
六、学习体会
★你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
★我的收获:
★我的疑惑:
★课后是否还需要老师辅导()A.需要B.不需要
12.2.1作轴对称图形(一课时)
执笔:
越新全审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
学习目标:
1、能够作轴对称图形
2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题
学习重点:
作轴对称图形
学习难点:
用轴对称知识解决相应的数学问题
学习方法:
操作、归纳、交流、练习
学习过程:
一、创设情境
1、阅读教材P39的四辐图
2、操作:
自己动手在纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?
改变折痕的位置再试一次,你又得到了什么?
3、归纳:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的、完全相同。
(2)新图形上一个点,都是原图形上的某一点关于直线l的点
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴。
二、作轴对称图形
1、如图,已知△ABC和直线l,你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
2、归纳:
教材P41
3、练习:
教材P41练习第1题
三、用轴对称知识解决相应的数学问题
探究:
要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
四、学习体会:
1、通过本节课的学习你有什么收获?
2、取得了哪些经验教训?
3、还有哪些问题需要解决?
五、自我检测
1、把下列图形补成关于L对称的图形。
2、如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮水,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。
六、学习体会
★你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
★我的收获:
★我的疑惑:
★课后是否还需要老师辅导()A.需要B.不需要
12.2.2用坐标表示轴对称(一课时)
执笔:
越新全审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
学习目标:
1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称
2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
学习重点:
关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
学习难点:
用坐标表示轴对称的应用
学习方法:
操作、归纳、交流、练习
学习过程:
一、知识回顾
1、已知△ABC,求作△A’B’C’,使它与△ABC关于直线l成轴对称
二、学习新知
(一)关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
1、思考:
教材P43
2、探索:
在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点,并把坐标填在表格中,你能发现坐标间有什么规律?
已知点
A(2,-3)
B(-1,2)
C(-6,-5)
D(0.5,1)
E(4,0)
关于x轴对称的点
A’()
B’()
C’()
D’()
E’()
关于y轴对称的点
A’’()
B’’()
C’’()
D’’()
E’’()
(平面直角坐标系在教材P43图12.2-11)
3、归纳:
点(x,y)关于x轴对称的点的作标是;
点(x,y)关于y轴对称的点的作标是。
4、练习:
教材P44练习第1题、第2题(完成于书上)
(二)应用
1、如图,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形
四、学习体会:
1、通过本节课的学习你有什么收获?
2、取得了哪些经验教训?
3、还有哪些问题需要解决、
五、作业
1、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标
(3,6)
(-7,9)
(-3,-5)
(6,-1)
(0,10)
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
2、如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形
六、学习体会
★你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
★我的收获:
★我的疑惑:
★课后是否还需要老师辅导()A.需要B.不需要
12.3.1等腰三角形
(一)
执笔:
严新梅审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
[学习目标]
1.等腰三角形的概念.
2.等腰三角形的性质.
3.等腰三角形的概念及性质的应用.
[学习重点]:
1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.
[学习难点]:
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
[学习准备]长方形纸片,剪刀
[学习过程]
活动一:
思考一:
请大家跟着我想象一下,空中放飞的风筝是什么样的框架,空中飞行的飞机呢,河流中的竹排做成什么样的它的速度最快?
(让学生们展开想象和讨论,引出本节课的主旨)
思考二:
三角形是轴对称图形吗?
思考三:
什么样的三角形是轴对称图形呢?
思考与探究:
拿出你的长方形纸片和剪刀,请大家实验操作(课本49页,上述过程中,剪刀剪过的两条边相等得到什么纸片呢?
定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.
活动二:
拿出你剪好的纸片,折叠,沿着中间折叠,。
你发现什么?
得到什么结论?
思考1.等腰三角形是轴对称图形吗?
请找出它的对称轴.
思考2.等腰三角形的两底角有什么关系?
思考3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
思考4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
底边上的高所在的直线呢?
由此可以得到等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).
活动三:
由上面折叠操作的过程启发,以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).
{这一过程可以让学生自己独立完成}
活动四:
例题学习
[例1]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
求:
△ABC各角的度数.
提出问题:
1:
图中有几个等腰三角形?
2:
求角的度数有那些根据?
那些定理?
分析:
根据等边对等角的性质
∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,
再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.
再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.
把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.要求学生自主完成解题过程,师生共同来点评。
活动五:
1练习:
课本51页1、2、3.
2自我检测
1:
下列各组表示各边长度或各边比值的数据,可以构成等腰三角形的是{}
A、1,2,1B、2,2,1C、1:
3:
1D、2:
2:
5
2:
等腰三角形有一个角为50°,它的一腰上的高与底边的夹角是{}
A、25°B、40°C、25°或40°D、大小无法确定
3:
已知△ABC的周长为36cm,且AB=AC,又AD⊥BC,D为垂足,△ABD周长30cm,那么AD的长为{}
A、6cmB、8cmC、12cmD、20cm
4:
若等腰三角形一个内角为40°,则另外两个内角的度数分别为﹍﹍﹍﹍﹍
5:
如图:
在下列等腰三角形中,它们的顶角分别是120°和36°分别求出它们的底角的度数。
6:
如图:
△ABC是等腰三角形(AB=AC,,∠BAC=90°,),AD是底边BC上的高,标出,∠B,∠C,,∠BAD,∠DAC的度数,图中有哪些相等的线段?
,
7:
在等腰RT△ABC中,∠A=90°,∠BAC的平分线交AC于点D,过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E,A
求证:
BD=2CEE
D
BC
8:
如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,M点从A点开始沿着AB边向B点以1cm/s的速度移动,点N从B点开始沿着BC边向C点以2cm/s的速度移动,如果M,N点分别从A,B点同时出发,几秒后△MNB为等腰三角形?
C
N
AMB
六、学习体会
★你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
★我的收获:
★我的疑惑:
★课后是否还需要老师辅导()A.需要B.不需要
12.3.2等腰三角形
(二)
执笔:
严新梅审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
[学习目标]
1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论
2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.
3、通过对等腰三角形判定定理的探索,让学生体会探索学习的兴趣,通过对等腰三角形判定定理的简单应用,加深对定理的理解,从而培养学生利用已有的知识来解决实际问题的能力。
[学习重点]:
等腰三角形的判定定理及推论的运用
[学习难点]:
正确区分等腰三角形的判定与性质,能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
[学习过程]
活动一O
AB
如图:
内容见课本51页,请同学们展开讨论。
1:
如果两首船的速度相同,同时出发。
能否同时到达出事地点?
2:
如果∠A≠∠B,那么同时,以同样的速度出发会同时到达出事地点吗?
3:
我们现在把这个问题一般化,那就是在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么样的关系呢?
4:
如果所对的边相等,那么你怎么样来证明呢?
5:
如何来证明呢?
证明过程让学生独立完成
6:
得出结论
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
活动二:
例:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,求证这个三角形是等腰三角形.
学习要求1:
根据题意画出图形,是本题学习的关键,
学习要求2:
写出已知,求证,
学习要求3:
根据上面的条件,写出证明过程。
(以上三点要求学生自主探索,并完成解题过程)
活动三
例3:
内容在课本52页
学习问题1:
CD和CE相等吗?
学习问题2:
已知底边和底边上的高能否求出等腰三角形的腰长?
学习问题3:
已知底边和底边上的高,你能用尺规作图方法作出这个等腰三角形吗
学习问题4:
请同学们来共同完成本题的解题过程,
(讨论完本题后,让一个学生板演解题步骤,师生共同点评)
活动四:
1、练习:
课本53页1,2,3
2、小试牛刀:
1.如图2
其中△ABC是等腰三角形的是[]
2.①如图3,已知△ABC中,AB=AC.∠A=36°,则∠C______(根据什么?
).
②如图4,已知△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,△ABC是______三角形(根据什么?
).
③若已知∠A=36°,∠C=72°,BD平分∠ABC交AC于D,判断图5中等腰三角形有______.
④若已知AD=4cm,则BC______cm.
3.(l)如图6,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形?
(2)上题中,若去掉条件AB=AC,其他条件不变,图6中还有等腰三角形吗?
4.上午8时,一条船从A出发以16海里/小时的速度向正北航行,10时到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西26°,从B处测得灯塔C在北偏西52°,则B处到达灯塔C的距离为____
5.多方法解题,
如图:
,在△ABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE相交于点G,求证:
GB=GC。
6.综合题:
如图:
在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与点F,A
求证:
AF=EFF
E
BDC
7.(易错题)
在平面直角坐标系中,点O为原点,A的坐标为(1,1),若要在x轴上找一点B,使以O,A,B三点为顶点的三角形是等腰三角形,则符合条件的点B共有﹍﹍﹍﹍。
六、学习体会
★你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
★我的收获:
★我的疑惑:
★课后是否还需要老师辅导()A.需要B.不需要
12.3.3等边三角形
(一)
执笔:
严新梅审核:
越新全复审:
蔡俊豪审批:
刘俊华
学习目的:
1.使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
2.熟识等边三角形的性质及判定.
3.通过探究活动,激发学生的学习兴趣,学会用数学的思想和方法研究数学问题。
学习重点:
等腰三角形的性质及其应用。
学习难点:
简洁的逻辑推理。
学习过程:
活动一:
思考1:
等腰三角形的性质是什么?
它是怎么得到的?
思考2:
如果第三边也和那两边相等,将得到什么图形?
情景导入,定义等边三角形.
思考3:
把等腰三角形的性质用于等边三角形能得到什么结论?
一个三角形满足什么条件就是等边三角形呢?
活动二1.请同学们动手画一个等边三角形,用量角器量出各个内角的度数,并提出猜想。
等边三角形的三个内角相等,且每个角都等于60°
你能否用已知的知识,通过推理得到你的猜想是正确的?
等边三角形是轴对称图形吗?
如果是,有几条对称轴?
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
活动三:
解决课本
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