中考二次函数压轴题.docx
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中考二次函数压轴题.docx
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中考二次函数压轴题
1.(广东省深圳市)已知:
Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).
(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.
(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.
②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?
若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.
2.(广西柳州市)如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b(a>0)与x轴的一个交点为B(-1,0),与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.
(1)直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;
(2)以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的解析式;
②点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标.
3.(广西梧州市)如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,-2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx+1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,作MG⊥x轴于点G,若线段MG:
AG=1:
2,求点M,N的坐标.
4.(广西贺州市)如图,抛物线y=-
x2-x+2的顶点为A,与y轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)若点P是x轴上任意一点,求证:
PA-PB≤AB;
(3)当PA-PB最大时,求点P的坐标.
5.(广西钦州市)如图,已知抛物线y=
x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=
x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:
点C的坐标是___________,b=_______,c=_______;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?
若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
6.(广西贵港市)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于点A和点B(-2,0),与y轴的负半轴交于点C,且线段OC的长度是线段OA的长度的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若过点(0,-5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,以线段MN为一边,抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式;
(3)当0<x≤
时,
(2)中平行四边形的面积是否存在最大值?
若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.[注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-
,
),对称轴为x=-
]
7.(广西来宾市)当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.
(1)求该抛物线的关系式;
(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;
(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:
是否存在△DEF与△AOC相似?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,则说明理由.
8.(广西河池市)如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?
若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?
若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
9.(广西崇左市)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
10.(广西北海市)如图,在平面直角坐标中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-
),且在x轴上截得的线段AB的长为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在y轴上,且使得△PAC的周长最小,求:
①点P的坐标;
②△PAC的周长和面积;
(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
11.(湖南省长沙市)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,
).当x=-4和x=2时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连结AC、BC.
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
12.(湖南省岳阳市)如图,已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(1,0),与y轴交于点C(0,-2),直线x=m(m>1)与x轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在
(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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