初三数学几何专题手拉手全等旋转模型.docx
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初三数学几何专题手拉手全等旋转模型
“手拉手”旋转全等模型
知识点:
1.旋转的定义及其性质;
2.几何图形的性质;
3.旋转的“手拉手”全等模型.
教学目标:
1.理解旋转的定义和性质;
2.掌握几何图形的性质;
3.知道旋转“手拉手”全等模型的特点;
4.会根据旋转“手拉手”全等模型解决几何问题.
教学重点:
1.会根据旋转“手拉手”全等模型解决几何问题.
教学难点:
1.会根据旋转“手拉手”全等模型解决几何问题.
入门测
难度★
1、如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,D是AN中点,E是BM中点,求证:
△CDE是等边三角形.
【思路点拨】“手拉手模型”SAS证三角形全等,得对应边等和对应角相等,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
难度★
2、(2020春延庆区期末)如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的任意一点,连接AE,过点B做BH⊥AE,垂足为H,交CD于点P,将线段PC绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ,连接EQ.
(1)补全图形;
(2)写出AE与EQ的数量关系,并加以证明.
【思路点拨】
(1)利用几何语言画出对应的几何图形;
(2)先证明△ABE≌△BCD得到BE=CP,AE=BP,再利用旋转的性质得到∠CPQ=90°,CP=PQ,接着判断四边形BEQP是平行四边形,所以BP=EQ,从而得到AE=EQ.
考情分析
“图形的旋转”是近几年中考的必考内容,也是中考的热点和重点.运用旋转的全等变换,证明
线段与角相等或和、差、倍、分关系,以及在旋转中探索图形的变化,进行图案中心对称选择是近几年中考的常见题型,研究图形旋转变换的变化规律,证明线段之间的数量关系是中考的重点题型,手拉手模型是旋转模型的重要考查点,所以必须掌握旋转模型的特点及辅助线的添加.
呈现与练习
知识点一旋转
(1)定义:
在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转,定点叫作旋转中心,旋转的角度叫作旋转角,如果一个图形上的点A经过旋转变为A’,那么这两个点叫做旋转的对应点.
(2)性质:
①图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动;
②对应点到旋转中心的距离相等;
③旋转前后图形的大小和形状没有改变;
④两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等,都等于旋转角;
⑤旋转中心是唯一不动的点.
(3)旋转三要素:
①定点﹣﹣﹣﹣旋转中心
②旋转方向
③旋转角度
(4)旋转对称图形:
在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后,能够与原图形重合,这样的图形叫旋转对称图形.
中心对称图形:
在平面内,一个图形绕某一定点旋转180°,能够和原来的图形完全重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这个定点叫作对称中心.
中心对称:
把一个图形绕某一个点旋转180°。
如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点成中心对称.
知识点二几何图形性质
(1)等边三角形的性质:
等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.
(2)正方形的性质
①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴.
(3)等腰直角三角形性质
①等腰三角形的两个底角度数相等;
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合;
③等腰三角形的两底角的平分线相等.
知识点三“手拉手”全等模型
所谓手拉手模型,是指有公共顶点的两个等腰三角形,顶角相等.因为顶点相连的四条边,形象的可以看作两双手,所以通常称为手拉手模型.
①等腰三角形旋转模型图(共顶点旋转等腰出伴随全等)
②等边三角形旋转模型图(共顶点旋转等边出伴随全等)
③等腰直角旋转模型图(共顶点旋转等腰直角出伴随全等)
④不等边旋转模型图(共顶点旋转不等腰出伴随相似)
【例题1】难度★
如图,等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点.求证:
AE=BD.
【思路点拨】等边三角形里共顶点旋转,用SAS证明三角形全等.
【练习1】难度★
已知:
如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.求证:
(1)AN=BM;
(2)DE//AB.
【思路点拨】等边三角形里共顶点旋转,用SAS证明三角形全等,然后通过有一个角是60°的等腰三角形得等边三角形.
【例题2】难度★
(2020石景山区二模)正方形ABCD中,点E在边AB上,EA=1,EB=2,将线段DE绕点D逆时针旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则FB的长度为.
【思路点拨】先求出正方形的边长,再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得DF=DE,根据正方形的性质可得AD=CD,∠A=∠DCB=90°,然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△CDF全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=AE,再分点F在BC上与BC的延长线上两种情况列式计算即可得解.
【练习2】难度★★
如图所示.正方形ABCD中,在边CD上任取一点Q,连AQ,过D作DP⊥AQ,交AQ于R,交BC于P,正方形对角线交点为O,连OP,OQ.求证:
OP⊥OQ.
【思路点拨】结合正方形的性质,共对角线交点旋转证全等,然后倒角得垂直.
【例题3】难度★★★
(2020东城区二模)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D是△ABC外一点,点D与点C在直线AB的异侧,且点D,A,C不共线,连接AD,BD,CD.
(1)如图1,当α=60°.∠ADB=30°时,画出图形,直接写出AD,BD,CD之间的数量关系;
(2)当α=90°,∠ADB=45°时,利用图2,继续探究AD,BD,CD之间的数量关系并证明;
(提示:
尝试运用图形变换,将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中)
(3)当∠ADB=
时,进一步探究AD,BD,CD之间的数量关系,并用含α的等式直接表示出它们之间的关系.
【思路点拨】
(1)先判断出∠BDE=90°,再根据勾股定理得出BD2+DE2=BE2,即BD2+AD2=BE2,再判断出△ABE≌△ACD(SAS),得出BE=CD,即可得出结论;
(2)同
(1)方法得出DE2+BD2=BE2,进而得出2AD2+BD2=BE2,同
(1)的方法判断出BE=CD,即可得出结论;
(3)同
(1)的方法得出DE2+BD2=BE2,再判断出DF=2AD•sin
,即可得出结论.
【练习3】难度★★★
(2019平谷区一模)在△ABC中,∠ABC=120°,线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD,连接CD,BD交AC于P.
(1)若∠BAC=α,直接写出∠BCD的度数(用含α的代数式表示);
(2)求AB,BC,BD之间的数量关系;
(3)当α=30°时,直接写出AC,BD的关系.
【思路点拨】
(1)证△ACD是等边三角形,由三角形内角和可得出结论;
(2)如图1,延长BA使AE=BC,连接DE.可证△ADE≌△CDB,得出BD=AB+BC;
(3)如图2,当α=30°时,AB=BC,AD=CD,则BD垂直平分AC,可得AC=
BD.
【例题4】难度★★★
(2020朝阳区一模)四边形ABCD是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2α(0°<α<45°),得到线段CE,连接DE,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F,连接BE.
(1)依题意补全图1;
(2)直接写出∠FBE的度数;
(3)连接AF,用等式表示线段AF与DE的数量关系,并证明.
【思路点拨】
(1)按照题中的表述画出图形即可;
(2)∠FBE的度数为45°.由题意得,CD=CE=CB,∠ECD=2α,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,根据三角形内角和与互余关系分别推理即可;
(3)作AH⊥AF,交BF的延长线于点H,判定△HAB≌△FAD(ASA),可得HB=FD,AH=AF,HF=DE,∠H=45°,从而可得HF与AF的数量关系,则可得线段AF与DE的数量关系.
【练习4】难度★★★
(2019门头沟区一模)如图,∠AOB=90°,OC为∠AOB的平分线,点P为OC上一个动点,过点P作射线PE交OA于点E.以点P为旋转中心,将射线PE沿逆时针方向旋转90°,交OB于点F.
(1)根据题意补全图1,并证明PE=PF;
(2)如图1,如果点E在OA边上,用等式表示线段OE,OP和OF之间的数量关系,并证明;
(3)如图2,如果点E在OA边的反向延长线上,直接写出线段OE,OP和OF之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)根据题意画出图形,证明△EPO≌△FPQ(ASA)即可.
(2)结论:
线段OE,OP和OF之间的数量关系是OF+OE=
OP.利用等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可解决问题.
(3)结论;线段OE,OP和OF之间的数量关系是OF﹣OE=
OP.证明方法类似.
【例题5】难度★★★
(2020门头沟区一模)在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,点D在AB上,连接CD,并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE,连接AE.
(1)如图1,当点D为AB中点时,直接写出DE与AE长度之间的数量关系;
(2)如图2,当点D在线段AB上时,
①根据题意补全图2;
②猜想DE与AE长度之间的数量关系,并证明.
【思路点拨】
(1)想办法证明△ADE是等边三角形即可解决问题.
(2)①根据要求画出图形即可.
②首先证明△的长,△FBC都是等边三角形,再证明△ECF≌△DCB,推出∠4=∠5=60°,证明△EFA≌△EFC(SAS)可得结论.
【练习5】难度★★★
(2020房山区一模)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点M为BC中点.点P为AB边上一动点,点D为BC边上一动点,连接DP,以点P为旋转中心,将线段PD逆时针旋转90°,得到线段PE,连接EC.
(1)当点P与点A重合时,如图2.
①根据题意在图2中完成作图;
②判断EC与BC的位置关系并证明.
(2)连接EM,写出一个BP的值,使得对于任意的点D总有EM=EC,并证明.
【思路点拨】
(1)①根据要求画出图形即可;②结论:
EC⊥BC.证明△BAD≌△CAE,推出∠ACE=∠B=45°即可解决问题.
(2)当BP=
时,总有EM=EC.如图3中,作PS⊥BC于S,作PN⊥PS,并使得PN=PS,连接NE,延长NE交BC于Q,连接EM,EC.通过计算证明QM=QC,利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可.
小结
1.旋转三要素和旋转的性质;
2.几何图形的性质;
3.旋转“手拉手”模型的特点及应用.
出门考
难度★★★
1、(2020春东城区校级期末)在正方形ABCD中,M是BC边上一点,点P在射线AM上,将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接BP,DQ.
(1)①依题意补全图1;
②猜想线段DQ与BP的关系是:
;
(2)连接DP,若点P,Q,D恰好在同一条直线上,求证:
DP2+DQ2=2AB2.
【思路点拨】
(1)①根据要求画出图形即可;②由旋转的性质可得AQ=AP,∠QAP=∠DAB=90°,由“SAS”可证△AQD≌△APB,可得PB=QD,∠AQD=∠APB,由平角的性质和四边形内角和定理可得∠QHP=90°,可得结论;
(2)连接BD,如图2,只要证明△ADQ≌△ABP,∠DPB=90°即可解决问题.
难度★★★
2、已知:
如图,∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B.
图1图2图3
(1)在图1中,过点C作CE⊥CB,与直线MN于点E,
①依题意补全图形;
②求证:
△BCE是等腰直角三角形;
③图1中,线段BD、AB、CB满足的数量关系是();
(2)当MN绕A旋转到如图
(2)和图(3)两个位置时,其它条件不变.
在图2中,线段BD、AB、CB满足的数量关系是();
在图3中,线段BD、AB、CB满足的数量关系是();
MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=
时,则CB=().
【思路点拨】共顶点三角形旋转,将三条线段关系放到等腰直角三角形中求解.
牛刀小试
难度★
1、(2020春东城区校级期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转α角(0°<α<180°)至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB边上,则α等于( )
A.150°B.90°C.30°D.60°
【思路点拨】由旋转的性质可得CA=CA',∠ACA'=α,由等腰三角形的性质可得∠A=∠CA'A=60°,由三角形内角和定理可求α的值.
难度★
2、(2019秋东城区期末)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE,下列四个结论:
①AC=AD;②AB⊥EB;③BC=EC;④∠A=∠EBC;其中一定正确的是( )
A.①②B.②③
C.③④D.②③④
【思路点拨】根据旋转的性质得到AC=CD,BC=CE,AB=DE,故①错误,③正确;得到∠ACD=∠BCE,根据三角形的内角和得到∠A=∠ADC=
,∠CBE=
,求得∠A=∠EBC,故④正确;由于∠A+∠ABC不一定等于90°,于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°,故②错误.
难度★★
3、如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:
AE=CG.
(2)求证:
AE⊥CG.
【思路点拨】正方形里共顶点旋转,用SAS证明三角形全等.
难度★★★
4、如图1,在四边形ABCD中,BA=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,连接对角线BD.
(1)将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连接AE.
①依题意补全图1;
②试判断AE与BD的数量关系,并证明你的结论;
(2)在
(1)的条件下,直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系;
(3)如图2,F是对角线BD上一点,且满足∠AFC=150°,连接FA和FC,探究线段FA、FB和FC之间的数量关系,并证明.
(图1)(图2)
【思路点拨】等边三角形里共顶点旋转构造三角形全等,结合特殊角的度数通过共顶点旋转将分散的线段转到同一个含特殊角的三角形中.
难度★★★
5、已知△ABC为等边三角形,点D是线段AB上一点(不与A、B重合).将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE.连结DE、BE.
(1)依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系.
(2)过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F.用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系并证明.
图1图2
【思路点拨】构造共顶点旋转出全等三角形,得到对应边相等和对应角相等。
难度★★★
6、(2020房山区二模)点C为线段AB上一点,以AC为斜边作等腰Rt△ADC,连接BD,在Rt△ABD外侧,以BD为斜边作等腰Rt△BED,连接EC.
(1)如图1,当∠DBA=30°时:
①求证:
AC=BD;
②判断线段EC与EB的数量关系,并证明;
(2)如图2,当0°<∠DBA<45°时,EC与EB的数量关系是否保持不变?
对于以上问题,小牧同学通过观察、实验,形成了解决该问题的几种思路:
想法1:
尝试将点D为旋转中心,过点D作线段BD垂线,交BE延长线于点G,连接CG;通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题;
想法2:
尝试将点D为旋转中心,过点D作线段AB垂线,垂足为点G,连接EG.通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题;
想法3:
尝试利用四点共圆,过点D作AB垂线段DF,连接EF,通过证明D、F、B、E四点共圆,利用圆的相关知识解决以上问题.
请你参考上面的想法,证明EC=EB(一种方法即可).
【思路点拨】
(1)①先利用直角三角形斜边的中线得出AC=2DF,再用含30°的直角三角形的性质得出BD=2DF,即可得出结论;
②先求出∠BDC=15°,进而得出∠CDE=60°,即可判断出△CDE是等边三角形,即可得出结论;
(2)先判断出BD=GD,进而判断出△ADB≌△CDG(SAS),得出∠DCG=∠DAB,判断出△BCG是直角三角形,再判断出EG=EB,即可得出结论.
难度★★★
7、(2020海淀区二模)如图1,等边三角形ABC中,D为BC边上一点,满足BD<CD,连接AD,以点A为中心,将射线AD顺时针旋转60°,与△ABC的外角平分线BM交于点E.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:
AD=AE;
(3)若点B关于直线AD的对称点为F,连接CF.
①求证:
AE∥CF;
②若BE+CF=AB成立,直接写出∠BAD的度数为°.
【思路点拨】
(1)由旋转即可补全图形;
(2)先判断出∠BAE=∠CAD,再判断出∠ABE=60°=∠C,进而判断出△ABE≌△ACD,即可得出结论;
(3)①先判断出AFC=∠ACF,设∠BAD=α,进而表示出∠FAD=α,∠CAF=60°﹣2α,进而得出
∠ACF=60°+α再判断出∠CAE=120°﹣α,即可得出结论;
②先判断出∠CBG=30°﹣α,进而判断出∠CDF=60°﹣2α,再判断出DF=CF,进而得出∠DCF=∠CDF=60°﹣2α,再判断出∠DCF=α,即可得出结论.
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