清华大学数学建模竞赛.docx
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清华大学数学建模竞赛
基于改进leslie模型预测我国未来人口结构和数量
及其对经济发展的影响
摘要:
主要的经典人口模型有malthus、logistic和leslie模型。
malthus模型没有考虑环境资源承载能力;logistic模型考虑了环境资源承载力的限制,而没有考虑年龄结构的问题;leslie模型虽然考虑了年龄结构,但是此模型尚不完善,还有很多需要细化的问题,如各个系数的社会涵义,生育年龄的限制,生育的结构问题。
本文参照leslie原型进行改进,得到改进后的leslie模型。
改进后的leslie模型考虑到了女性育龄期的限制,性别比,生育结构(女性在育龄期的不同阶段生育孩子的意愿),婴儿存活率,并引入新的指标-一对夫妇的平均生育数,这些因素对人口发展有重要影响。
本文使用改进后的leslie模型对已有我国各年龄段人口数据进行拟合,并对未来我国人口的结构和数量做出预测,并对单独二胎政策可能造成的影响进行分析,最后关于人口结构与社会经济的关系做出初步探讨。
关键词:
leslie模型;人口;单独二胎;matlab编程
一、模型假设
(1)将人的寿命设为m=95岁,大于改值的也归入到95岁,以年为计算单位;
(2)
表示时刻t时≥i而<i+1周岁的人数;
(3)
表示时刻t时i周岁人的死亡率,则有
;
(4)
表示时刻t时i周岁人的存活率,则有
而婴儿成活率记为
;
(5)
表示时刻t时i周岁女性的平均生育率,限定生育区间为[
];
(6)
表示时刻t时女性的比例,则时刻t时女性人数为
。
以上t=0,1…m[1]。
二、模型建立
(1)t+1时候的i+1周岁的人是t时刻的i周岁活下来的人,所以
①
其中i=0,1,…m-1,t=0,1,…其中的
涵义为存活下来的婴儿,而
表示出生的婴儿数目,他们来自于育龄期的女性,故
而成活的婴儿为
据①
(2)关于t时期,i周岁女性的生育率:
引入参数
表示t时期一位女性平均产生孩子的个数,将它按权重
(表示一个女性将她的生育意愿分配在育龄期的各个年份的意愿比例)分给
这个阶段,那么有
带入③中得到:
其中,
该参数隐含了性别比例,女性在育龄期内的不同时间的生育意愿,婴儿存活率,婴儿第一年的存活率这些因素。
(3)综合考虑①,②式,可以得到:
其中
,
(4)假设随着时间的推移,生存率每年提高0.001%,通过查询资料估计
,并假设人的最高寿命为95岁和女性的育龄期是15到49
三、模型求解
以下根据中国统计年鉴得到的03-12年的人口数据进行模型求解:
(1)中国从03到12年的人口数据如下表所示[2]:
人口(人)
年份
2003
2004
2005
2006
2007
调研比例
0.000982
0.000966
0.01325
0.000907
0.0009
0-4
62977
61874
907102
60556
59996
5-9
81127
76221
1060664
70588
68202
10-14
112240
103771
1353263
89136
84278
15-19
104716
109259
1443484
105023
98916
20-24
80596
79604
1036723
76160
78601
25-29
93892
88490
1110290
74110
76755
30-34
123497
117954
1445908
93398
86753
35-39
123252
122574
1651487
113952
115391
40-44
91467
100595
1475539
115781
115847
45-49
94314
89609
1147578
76496
76085
50-54
81679
86438
1236929
90607
92481
55-59
57472
61775
907435
68277
73224
60-64
46023
47599
668310
48886
50998
65-69
41710
40062
564095
39996
39849
70-74
31484
32538
454955
32692
33236
75-79
19310
19159
290171
20632
20985
80-84
9832
10469
156110
10825
11302
85-89
3687
3727
56582
4142
4436
90-94
1026
1115
15825
1130
1123
人口(人)
年份
2008
2009
2010
2011
2012
调研比例
0.000887
0.000873
1
0.00085
0.000831
0-4
60409
60158
75532610
64830
63981
5-9
64402
63000
70881549
61279
61309
10-14
79278
73359
74908462
62481
59845
15-19
92767
83516
99889114
80388
73914
20-24
80885
87637
1.27E+08
108567
101742
25-29
76417
75481
1.01E+08
89259
89936
30-34
82027
78735
97138203
82148
83586
35-39
109297
106040
1.18E+08
96895
89054
40-44
113708
112356
1.25E+08
107391
107532
45-49
84701
92367
1.06E+08
100853
99312
50-54
91958
84335
78753171
62204
61916
55-59
77554
79114
81312474
71667
71403
60-64
52706
55690
58667282
52708
55427
65-69
39183
40114
41113282
36054
37579
70-74
33302
32493
32972397
28826
28225
75-79
21991
22528
23852133
21174
21250
80-84
11686
11794
13373198
11964
12147
85-89
4777
4788
5631928
4796
4780
90-94
1205
1174
1578307
1437
1439
(2)用matlab变成实现参数的拟合与检验,利用03到10年的数据拟合出参数,并用得到的参数检验11,12年的数据情况。
●可以得到的数据是每五年一个的年龄段,为了充分利用各年的数据,采用插值的方法得到每周岁的人口数量,代码如下所示:
clc;clearall;
t0=2:
5:
92;
t=1:
95;
x00=xlsread('C:
\Users\lenovo\Desktop\2003-2012.xlsx','sheet1','B4:
K22');
u=xlsread('C:
\Users\lenovo\Desktop\2003-2012.xlsx','sheet1','B3:
K3');
forj=1:
10
x0(:
j)=0.2.*x00(:
j)./u(j);
end
fori=1:
10;
x(:
i)=spline(t0,x0(:
i),t);
end
x%以上得到每年的周岁人口结构数据
●根据模型建立的函数m文件:
functionf=renkou(canshu,s00,x)
fori=1:
7f(95*i-95+1)=canshu(96:
130)*x(15:
49,i)*canshu
(1)*s00*canshu(131)-x(1,i+1);
forj=2:
95
f(95*i-95+j)=(1+0.0001*(i-1))*canshu(j)*x(j-1,i)-x(j,i+1);
end
end
●参数拟合命令如下所示:
s00=0.993;
t0=2:
5:
92;
t=1:
95;
x00=xlsread('C:
\Users\lenovo\Desktop\2003-2012.xlsx','sheet1','B4:
K22');
u=xlsread('C:
\Users\lenovo\Desktop\2003-2012.xlsx','sheet1','B3:
K3');
forj=1:
10
x0(:
j)=0.2.*x00(:
j)./u(j);
end
fori=1:
10;
x(:
i)=spline(t0,x0(:
i),t);
end
canshu0=zeros(1,131);
forl=1:
95
canshu0(l)=(1-0.2/94^2*(l-1)^2);
end
forp=1:
35
canshu0(95+p)=1/70;
end
canshu0(131)=1;
[canshu,norm,res]=lsqnonlin(@renkou,canshu0,[zeros(1,130),-inf],[ones(1,130),inf],[],s00,x)
s=canshu(2:
95)
s0=canshu
(1)
n=canshu(131)
hk=canshu(96:
130)
●最后将拟合的参数矩阵用于检验2011年和2012年的数据,并与真实的数据进行对比,
命令如下所示:
fore=2011:
2012
A=sparse(2:
95,1:
94,(1+0.00001*(e-2003))*s,95,95);
B=sparse(1,15:
49,hk,95,95);
C=A+n*B;
xp(:
e-2010)=C*x(:
e-2003);
l=1:
95;
subplot(1,2,e-2010),plot(l,x(:
e-2002),'b'),gridon,holdon,
plot(l,xp(:
e-2010),'r:
'),
end
xp
(3)模型预算和检验
通过matlab求解得到如下的参数结果:
参数如下所示:
:
0.9893
:
1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00000.99690.99030.98660.98590.98580.98520.98340.98030.97760.98190.99401.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00000.99970.99900.99940.99991.00001.00001.00001.00001.00001.00000.99990.99730.98690.97860.97480.97580.98270.99470.99930.99970.99910.99320.97920.96940.96550.96620.97000.97410.97530.97360.97030.96680.96440.96240.96050.95900.95830.95840.95850.95780.95530.95000.94160.93350.92670.92140.91820.91690.91500.91170.90650.89920.88980.87900.86710.85410.84030.82610.81280.80360.80670.84230.94691.00001.0000
hi(t):
0.00010.00010.00090.00380.00500.01560.03530.04870.05510.04760.03330.00010.01160.00010.00550.00390.00310.00300.00380.00510.00660.00830.01240.01100.01010.00940.00970.01100.00710.01840.02880.03890.04180.03200.0169
n(t):
1.3402
参数分析:
(1)从得到的结果看到存活率在基本在0.9以上,这符合人一生的轨迹,而到随着年龄增大,总体存活率是呈现下降的趋势的,而最后出现的几个不太符合常理的参数可能是因为断点处的95岁以后的人都被忽略掉带来的局部差异;
(2)
所代表的生育结构(即女性在育龄期的不同阶段生孩子的意愿),与
(1)类似的原因,最后的几个不太合常理的数据可以舍去,而关注中间部分的相对大小可知,在22,23左右女性生孩子的意愿相对最强,当前女性的最低结婚年龄是20岁,在22,23,24左右生孩子是较为符合常理的;
(3)n(t)的拟合数值为1.3402说明平均一对夫妇会生1.3402个孩子,这是符合当前中国国情的,计划政策的实施让该数值维持在一个较低的水平。
四、模型检验
通过03到10年的数据拟合出的结果对11,12年的进行预测,并与真实值作比较如下所示:
比较可知,预测结果与真实值较为接近,可以用于预测后期的人口结构。
五、模型应用
由前述知该模型可以用于预测一定时期的人口结构变化,所以取03~12年的人口结构数据,重新拟合出的n(t)=1.3988,表明这十年的数据显示,平均每对夫妇生育1.3988个孩子。
(1)预测未来50年的总人口和人口结构:
fore=2013:
2050
A=sparse(2:
95,1:
94,(1+0.00001*(e-2003))*s,95,95);
B=sparse(1,15:
49,hk,95,95);
C=A+n*B;
xp(:
e-2012)=C*x(:
e-2003);
xps(e-2012)=0;
forw=1:
95
xps(e-2012)=xps(e-2012)+xp(w,e-2012);
end
xp1=0;
forr=1:
14
xp1=xp1+xp(r,e-2012);
end
xpt(1,e-2012)=xp1/xps(e-2012);%计算每年青少年人口比例
xp2=0;
forz=15:
64
xp2=xp2+xp(z,e-2012);
end
xpt(2,e-2012)=xp2/xps(e-2012);%计算每年劳动力人口比例
xp3=0;
forc=65:
95
xp3=xp3+xp(c,e-2012);
end
xpt(3,e-2012)=xp3/xps(e-2012);%计算每年老龄人口比例
x(:
e-2002)=xp(:
e-2012);
end
e=2013:
2050;
form=1:
3
subplot(4,1,m),plot(e,xpt(m,:
),'r*'),gridon,
end
subplot(4,1,4),plot(e,xps,'r*'),gridon
xpt
xps
得到如下所示的结果:
从图中结果可见,如果不采取措施,人口总数会越来越少,到2050年总数不到10亿,更糟糕的结果是劳动力人口比例会持续下降,老龄人口比例持续上升。
社会的养老负担不断加重,劳动力短缺等一系列问题将会出现。
(2)为了改变这种现状,考虑二胎政策的影响,二胎政策将允许单独夫妻生育二胎,在模型中主要体现在对n(t)(即平均一对夫妇生育孩子数)的影响上,那么可以通过n(t)的取值来探究中国人口年龄结构的变化。
在之前的参数拟合的基础上运行如下程序:
forn=1.4:
0.1:
3
fore=2013:
2050
A=sparse(2:
95,1:
94,(1+0.00001*(e-2003))*s,95,95);
B=sparse(1,15:
49,hk,95,95);
C=A+n*B;
xp(:
e-2012)=C*x(:
e-2003);
xps(e-2012)=0;
forw=1:
95
xps(e-2012)=xps(e-2012)+xp(w,e-2012);
end
xp1=0;
forr=1:
14
xp1=xp1+xp(r,e-2012);
end
xpt(1,e-2012)=xp1/xps(e-2012);%求出青少年人口比例
xp2=0;
forz=15:
64
xp2=xp2+xp(z,e-2012);
end
xpt(2,e-2012)=xp2/xps(e-2012);%求出劳动人口比例
xp3=0;
forc=65:
95
xp3=xp3+xp(c,e-2012);
end
xpt(3,e-2012)=xp3/xps(e-2012);%求出劳动人口比例
x(:
e-2002)=xp(:
e-2012);
end
e=2013:
2050;
form=1:
3
subplot(4,1,m),plot(e,xpt(m,:
),'r*'),gridon,
end
subplot(4,1,4),plot(e,xps,'r*'),gridon
xpt
xps
n
pause
end
stop
得到结果:
n(t)=1.4时,
n(t)=1.7时,
n(t)=1
.9时
n(t)=2.1时,
n(t)=2.3时
,
n(t)=2.5时
,
从这些关键的n(t)值的影响看到,n(t)增大,老龄人口比例会降低,劳动人口和青少年比例下降的趋势得到遏制,总人口可以控制在一定规模内,所以从这个模型来看适当的增大n(t)有助于减少一些社会问题。
拟合的结果表明,n(t)=2.1,2.3左右时
时候,在一定时期内总人口规模得到控制(不回持续下降),而青少年比例小幅上升,老年人口和劳动力人口都基本不变,有助于调整社会的年龄结构。
在一些新闻报道中,专家认为每对夫妇生育2.1个孩子最合适,这和该模型给出的结果是比较接近的。
六、对经济发展影响的评价
通过对人口结构与中国人均GDP进行格兰杰因果检验可以看出,15-64岁人口即劳动人口所占比例是中国人均GDP的格兰杰原因。
这也就是说,劳动力人口所占的比重是影响经济发展的重要因素。
在20世纪70年代初我国实施计划生育以后,人口生育率迅速下降,人口年龄结构即劳动力人口与总人口比朝有利经济发展的方向变化。
特别在改革开放以来,人口年龄结构优势得到了极大的发挥,有力地促进了我国经济的增长和社会的发展。
我国的人口年龄结构正处于所谓的“人口红利”时期。
但是计划生育政策如果一直实施下去,必然会导致人口的老龄化以及劳动力人口比例的下降。
这从实验结果也可以看出,n(t)为1.40时,未来人口会出现萎缩,劳动力人口比例减少,这对经济的发展是极其不利的。
单独二胎政策的实施,可以使n(t)在一定范围内提高,可以一定程度上缓解这种不利局面的发生。
从总人口来看,若n(t)保持在1.40不变,在不久的将来的人口就会衰减,到2050年,由模型预测得知,总人口会衰减到10.5亿,我国的发展会受到严重打击。
同时,n(t)值如果过大,又会面临实行计划生育政策之前的问题:
人口数量增加过快,环境和资源难以承载。
故n(t)值的大小不宜过小也不宜过大。
从之前改变n(t)值预测人口结构和数量变化的结果看,n(t)在2左右的时候,人口总数就不会发生明显的衰减,到2050年时,总人口会和目前水平相当,在13亿左右。
同时,n(t)值在2左右的时候,到2050年时,青少年人口所占比例大约在20%,劳动力人口大约在65%,老年人口大约在15%,抚养比也比较合理,利于社会问题的减少,利于社会的可持续发展。
同时,劳动力人口的高比例可以让我们继续保持“人口红利”,经济发展速度得到保障。
综合考虑,我们认为,单独二胎政策的实施最好使得n(t)(即一个家庭所生育子女的个数)在2左右。
而实际能不能取得这样的效果,也要靠政府具体的实施办法切实有效,人们对生育的观点可以得到正确的引导。
为使劳动力人口的生产率提高,除了通过单独二胎等政策提高n(t)值外,还有很多可以考虑的方面,提出如下两点建议:
(1)办好教育和培训。
人力资本经济理论指出,人口教育和人口健康的投入对社会经济可持续发展都有着明显的效用。
人口素质的提高、人力资本的投入也对一个国家地区的社会经济发展产生积极而重要的影响。
现阶段我国经济高速发展,各个地区亟需劳动力,各处都缺人,所以劳动力的教育水平显得并不重要。
但是随着时间的推移,我国的经济增速必然要放缓,教育水平的问题就会暴露出来。
所以从现在起就要做好教育与培训,使得未来的劳动力的受教育水平提高,适应新时代的发展要求。
(2)办好城市化。
从当前的趋势看,过不了多久,中国就有一半的人口生活在城市中,这就给城市公共服务的提供能力,城镇住房对新增人口的吸纳能力等都带来挑战,需要投入更多的公共财政、公共服务、土地、住房。
“十二五”期间,如何适应这种快速的城镇化趋势,特别是解决好流动人口问题,将成为城市管理的重点和难点[3]。
但是,城市化本身的优势大于以上城市化可能出现的不利影响,恰恰是解决人口结构问题的一个有效途径。
在城市中,人们才可以实现专业化分工和社会化合作,城市人口的效率会远远大于农村人口的效率。
让大量农村人口转化为城市居民,是缓解城市老龄化问题的出路,也可以视作是破解“人口红利”消失问题的出路。
而且,中国的城乡二元结构较为明显,不能简单地从适龄劳动力总量的变化来衡量人口红利是否依然存在。
目前,大量的乡村青壮年劳动力尚未真正进入城市的制造业和服务业之中,因此人口红利并不能说已经消失。
参考文献
1、姜启源、谢金星、邢文训、张立平:
《大学数学实验》(第2版)清华大学出版社2010年12月第2版
2、中华人民共和国国家统计局:
《人口年龄结构和抚养比》,《中国统计年鉴》2013~2003年
3、杨群:
《老龄化加剧,如何应对“人口红利”的逐渐消失》,《解放日报》2011年4月29日。
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