初中数学二次函数综合题及答案经典题型.docx
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初中数学二次函数综合题及答案经典题型
启东教育学科教师辅导讲义
二次函数试题
选择题:
1、y=(m-2)xm2-m是关于x的二次函数,贝Um=()
A-1B2C-1或2Dm不存在
y=ax2+bx+c(a*0)模型的是(
在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系
矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系圆的周长与半径之间的关系
17、抛物线y=(k+1)x2+k2-9开口向下,且经过原点,则k=
解答题:
(二次函数与三角形)
39
1、已知:
二次函数y=x2+bx+c,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,-).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧),请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点己,使厶EBC的面积最大,并求出最大面积.
2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与
轴交于点C(0,4),顶点为(1,2
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩,使厶CDP为等腰三角
(3)
若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点
作EF//AC交线段BC于点F,连接CE,记厶CEF的面积为S,S是否存在最大值?
S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
3、如图,一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=彳^十bx+c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;
(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N•问在x轴上是否存在点P,使得厶PMN是等腰直角三角形?
如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
1
27
(二次函数与四边形)4、已知抛物线y-xmx2m—.
22
⑴试说明:
无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
⑵如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x—1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于
点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
5、如图,抛物线y=mx2-11mx+24m(mv0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),抛物线另有一点A在第一象限内,且
/BAC=90°.
(1)填空:
OB=_▲,OC=_▲
(2)连接OA,将厶OAC沿x轴翻折后得△ODC,当四边形OACD是菱形时,求此时抛物线的解析式;
(3)如图2,设垂直于x轴的直线I:
x=n与
(2)中所求的抛物线交于点M,与CD交于点N,若直线I沿x轴方向左右平移,
且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时,试探究:
当n为何值时,四边形AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大
值.
6、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(
ABCD是直角梯形,BC//AD,/BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC
1,0),B(1,2),D(3,0)•连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若
抛物线yax2bxc经过点D、M、N.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?
并求出最大值.
2
7、已知抛物线yax2ax3a(a0)与x轴交于a、b两点(点a在点b的左侧),与y轴交于点c,点d为抛物线的顶点.
(1)求A、B的坐标;
(2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式;
(3)在第
(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段0B的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点0的距离?
若存在,求岀点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(二次函数与圆)
8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a^0的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),
直线I是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.
2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式.
3)点P在抛物线的对称轴上,。
P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.
9、如图,y关于x的二次函数y=-—(x+m)(x-3m)图象的顶点为M,
图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆,圆心为C.定点E的坐标为(-3,0),连接ED.(m>0)
(1)写出A、B、D三点的坐标;
(2)当m为何值时M点在直线ED上?
判定此时直线与圆的位置关系;
(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。
2
10、已知抛物线yaxbxc的对称轴为直线
x2,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其
中AI(1,0),C(0,3).
(1)(3分)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).
◎(4分)如图I.当△PBC面积与△ABC面积
相等时.求点P的坐标;
笑(5分)如图2.当/PCB=/BCA时,求直线
CP的解析式。
答案:
1、解:
(1)由已知条件得
(2分)
解得b=-c=-,二此二次函数的解析式为yx2-_x-;(1分)
(2)*••睿x—斗x-¥=0,「.x1=-1,X2=3,
•••B(-1,0),C(3,0),「.BC=4(1分)
•••E点在x轴下方,且△EBC面积最大,「.E点是抛物线的顶点,其坐标为(1,-3),(1分)
•△EBC的面积仝X4X3=6.(1分)
(2)
解:
P1(1,.17),P2(1,—.17),P3(1,8),P4(1,石),
19
(3)解:
令一2x—1)2+9=0,解得X1=—2,X1=4
•抛物线y=—1(x—1)2+号与x轴的交点为A(—2,0)C(4,0)过点F作FM丄0B于点M,
Eb2
•/OC=4,AB=6,•MF=^XOC=3EB
求AB
•D3E交x轴于(—1,0)代入解析式得b=—.3,把x=—1代入得y=0•D3(—1,0),
在Rt△D1HB中,由勾股定理得D1H=.11可求交点坐标D1(—1,.11+.3),D2(—1,22)
•y=—:
-73x—\3
过B做BH//x轴,贝UBH=1.11
•D1(—1,11+3)同理可求其它点的坐标。
D3(—1,0),D4(—1,.11—.3)D5(—1,—2.2)
2m
7222
=m4m7=m4m43=m23,•不管m为何实数,总有2
3>0,
•无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)•/抛物线的对称轴为直线
1-x2
抛物线的解析式为
x=3,
3x
•••m
51
2,顶点C坐标为(3,—2),
yx
解方程组1
y2x
1,
3x
解得
yi
X2
y2
7一一
,所以A的坐标为(1,0)、B的坐标为(7,6),I
6
x3时y=x—1=3—1=2,•D
0),所以AE=BE=3,DE=CE=2,
1假设抛物线上存在一点P使得四边形
相垂直平分且相等,于是P与点B重合,但AP=6,CD=4,APMCD,故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形.
2(I)设直线CD向右平移n个单位(n>0)可使得C、D、M、N为顶
点的四边形是平行四边形,则直线CD的解析式为x=3n,
与直线y=x—1交于点M(3n,2n),又tD的坐标为(坐标为(3,—2),•D通过向下平移4个单位得到C.
tC、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,•四边形
形.
(i)当四边形CDMN是平行四边形,•M向下平移
1251
又N在抛物线yx3x上,•n23
222
的坐标为(
3,2),设抛物线的对称轴与X轴的交『点为E,则E的坐标为(3,
ACPD是正方形,则AP、CD互
解得n10(不合题意,舍去),n22,
(ii)当四边形CDNM是平行四边形,•M向上平移
1•-n63
2
125
又N在抛物线yx3x上,
22
解得n11,17(不合题意,舍去)
CDMN
4个单位得
4个单位得
(n)设直线CD向左平移n个单位(
CD的解析式为x=3n,直线CD与直线y=x—1交于点标为(3,—2),•D通过向下平移4个单位得到C.
•••C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,•四边形形.
(i)当四边形CDMN是平行四边形,•
125
又N在抛物线y—x3x-上,•
22
n>o)可使得C、
解得n10(不合题意,舍去),n2
(ii)当四边形
又N在抛物线
解得n11
直线CD
3,2),C
是平行四边形或四边形
CDNM是平行四边
N,
N,
•N坐标为(3
5
2
•N坐标为(3
5
2
N为顶点的四边形是平行四边形,则直线
M(3n,2n),又•••D的坐标为(3,2),C坐
CDMN是平行四边形或四边形
M向下平移
1
2n3n33
2
4个单位得N,•N坐标为(3
5
n2,
2(不合题意,舍去),
CDNM是平行四边形,•M向上平移4个单位得
12
yx
3x5上,•6n13n233
22
N,
•N坐标为(3
5
2,
CDNM是平行四边
17,n2
1-17(不合题意,舍去),
综上所述,直线CD向右平移
2或(117)个单位或向左平移
1.17)个单位,可使得C、D、M、
N为顶点的四边形是平行四边形.
5、解:
(1)OB=3,OC=8
(2)连接OD,交OC于点
•••四边形OACD是菱形
•AD丄OC,OE=EC=1X8=4
2
BE=4—3=1
又•••/BAC=90°
AECE
BEAE
•AE2=BE•CE=1X4
•AE=2
••点A的坐标为(4,2)
把点A的坐标(4,2)代入抛物线y=mx2—11mx+24m,
1111
得m=-2•抛物线的解析式为y=-0x2+yx—12
(3)•••直线x=n与抛物线交于点M
111
••点M的坐标为(n,—尹2+"n—12)
由
(2)知,点D的坐标为(4,—2),
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为
1
••点N的坐标为(n,2n—4)
•-S四边形AMCN=SaAMN+SaCMN=
-CE=2(—2n2+5n-8)X
1
y=qx—4
12
•MN=(—2n2+
11
4=-(n—5)2+9
•••当n=5时,
6、解:
(1)•/BC//AD,
S四边形AMCN=9
B(-1,2),M是BC与x轴的交点,
0
(0,
2),
•/DM//ON,D(3,0),
9a
•N(-3,2),则c
3b
解得
9a
3b
3x2;
(2)连接AC交y轴与G,•/M是BC的中点,•AO=BM=MC
AB=BC=2,•AG=GC,即G(0,1),
•••/ABC=90,•BG丄AC,即BG是AC的垂直平分线,要使
在直线BG上,•点P为直线BG与抛物线的交点,
PA=PC,即点P在AC的垂直平分线上,故
kb2
…k1
kxb,则
,解得,•
■-y
b1
b1
设直线BG的解析式为y
x1
121-,解得
xx2
93
33、2
23.2
x233一2
y23.2
•点P(3
3,2,
2
32)或P(3-32,23.2),
12
1
1/
3、29
,,,3
(3)•••y
x
x
2
(x
-)-,
•对称轴x-
9
3
9
24
2
令〔x2
lx2
0,
解得捲
3,
x6,/
■-E(6,0),
9
3
3
故E、D关于直线x—对称,•QE=QD,•|QE-QC|=|QD-QC|,
2
Q
£
J
A
\
要使|QE-QC|最大,则延长DC与x
-相交于点Q,即点Q为直线DC与直线x
2
-的交点,
2
由于M为BC的中点,•C(1,2),
r3k
b0
,解得
k
1
则
•y
k
b2
b
3
3
3
9丄
当x
—时,
y-
3
故当
2
2
2
设直线CD的解析式为y=kx+b,
x3,
39
Q在(—,—)的位置时,|QE-QC|最大,
22
过点C作CF丄x轴,垂足为F,则CD=:
―DF^.—2222.
7、解:
(1)由y=0得,ax2-2ax-3a=0,
o•x2-2x-3=0,解得刘=-1,X2=3,•点A的坐标(-1,0),点B的坐标(3,0);
(2)由y=ax2-2ax-3a,令x=0,得y=-3a,•C(0,-3a),
又.y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,得D(1,-4a),
•DH=1,CH=-4a-(-3a)=-a,•-a=1,•a=-1,•C(0,3),D(1,4),
fb=3Pfe=3
设直线CD的解析式为y=kx+b,把C、D两点的坐标代入得,1屮二赴,解得Li-1,
•直线CD的解析式为y=x+3;
(3)存在.
0
4m2+36m-63=0,•m2+9m=-,
作MQ丄CD于Q,设存在满足条件的点M(…m),贝UFM=&-m,
EF=
由题意得:
Rt△FQMsRt△FNE,•=FT,整理得
•••点M的坐标为Mi(寻,8),M2(N-警).
2
8、解:
(1)•••抛物线y=ax+bx+c(a工0的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),•假设二次函数解析式为:
y=a(x-1)(x-3),
将D(0,3),代入y=a(x-1)(x-3),得:
3=3a,•a=1,
•抛物线的解析式为:
y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3;
(2)•••过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,•一AOBC=6,•••抛物线y=ax+bx+c(a工0的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,•二次函数对称轴为x=2,
•AC=3,•BC=4,•B点坐标为:
(2,4),一次函数解析式为;y=kx+b,
4=2k+b(k=5斗4
=壮十扩解得:
£=扌,尸郭埒;
(3)•••当点P在抛物线的对称轴上,OP与直线AB和x轴都相切,
•MO丄AB,AM=AC,PM=PC,
•/AC=1+2=3,BC=4,•AB=5,AM=3,•BM=2,
~•••/MBP=/ABC,/BMP=/ACB,
:
△ABCs\CBM,二
■}、pr
•••,•••PC=1.5,P点坐标为:
(2,1.5).
9、解:
(1)A(-m,0),B(3m,0),D(0,
(2)设直线ED的解析式为y=kx+b,将E(-3,0),D(m)代入得:
_?
、解得,k=^7;;.,b=Em.•直线ED的解析式为y=^mx+.Em.
lb二73m
将y=-三(x+m)(x-3m)化为顶点式:
y=-—(x+m)2+m.
•顶点M的坐标为(m,m).代入y=mx+:
3;;)m得:
m2=m
•••m>0,•m=1.所以,当m=1时,M点在直线DE上.连接CD,C为AB中点,C点坐标为C(m,0).
•/OD=T,OC=1,•CD=2,D点在圆上
•••/FDC=90•直线ED与OC相切.
22222222
又0E=3,DE=OD+OE=12,EC=16,CD=4,•CD+DE=EC
13
(3)当0vmv3时,aed=_AE.?
OD=
当m>3时,
G1冉
S^aed=_AE.?
OD=m(m-3).
即S=
abc0
a
1
10、解:
(1)由题意,得c3,解得
b4
•抛物线的解析式为y
R2
2a
c
3
2
x4x3。
(2)①令x24x30,解得x-i1,x23•B(3,0)
当点P在x轴上方时,如图1,过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,易求直线BC的解析式为yx3,•设直线AP的解析式为yxn,一
iy
第24题图1
•••直线AP过点A(1,0),代入求得n1。
二直线AP的解析式为yx1
yx1
解方程组y2,得
yx24x3
1
y10'y21
Xi
x22•••点P(2,1)
当点P在X轴下方时,如图1
设直线APi交y轴于点
E(0,1),
把直线BC向下平移
2个单位,
交抛物线于点
P2、F3,
得直线P2P3的解析式为yx5,
y
解方程组
y
x5
x24x
Xi
yi
317
2
717
2
X2
y2
317
2
717
2
•••%
317717x〜3177
综上所述,点
P的坐标为:
P(2,,),P2(
177
2
),
②•••B(3,0,
C(0,3)•OB=OC,•/OCB=/OBC=45
设直线
cp的解析式为y
kx
CP交x轴于点Q,设/OCA=a,则/ACB=45
o
a
o
如图2,延长
PCB=/BCAPCB=45
OQC=/OBC-/PCB=45°-(45°a)=a
OCA=/OQC
•Rt△AOCsRt△COQ
OAOC
OQ,
OC
•••直线
•直线
•OQ=9,•Q(9,0)
3OQ
CP过点Q(9,0),•9k
CP的解析式为y1x
3
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