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二次函数提纲
2.3确定二次函数的表达式(第1课时)
预习案:
【预习目标】
能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系,确定函数关系式,并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.
预习内容:
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为(
0),(
0)则其函数表达式可以表示成什么形式?
4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的关系式时,通常需要个独立的条件;确定反比例函数
(k≠0)的关系式时,通常只需要个条件.
如果要确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),通常又需要几个条件?
探究案:
【学习目标】:
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式,用待定系数法确定二次函数表达式.
问题:
如图2-7是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象,你能求出其表达式吗?
想一想:
确定二次函数的表达式需要几个条件?
例1已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求出这个二次函数的表达式.
【能力提升】
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.
想一想
在什么情况下,一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式?
【练一练】
1.已知二次函数的图象顶点是(-1,1),且经过点(1,-3),求这个二次函数的表达式.
2.已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(1,1)与(2,3)两点.求这个二次函数的表达式.
【检测】
1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(-1,3),且过点(0,5),那么二次函数y=ax2+bx+c的表达式为()
A.y=-2x2+4x+5B.y=2x2+4x+5C.y=-2x2+4x-1D.y=2x2+4x+3
2.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则二次函数的表达式为()
A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2
3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,3),(0,1)两点,则b,c的值为()
A.b=1,c=-1B.b=1,c=1C.b=-1,c=1D.b=0,c=
4.如果抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,-2),B(-1,1)两点,那么此抛物线经过()
A.第一、二、三、四象限B.第一、二、三象限
C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限
5.已知抛物线的对称轴为直线x=1,且经过点(0,2)和(4,0),则抛物线的表达式为
6.已知抛物线y=-
x2+bx+c经过点(1,0),(0,
).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=-
x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
【小结】
1.本节课用到的主要的数学思想方法:
数形结合、方程的思想.
2.学习了在什么情况下,一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式?
【布置作业】
【反思】
2.3确定二次函数的表达式(第2课时)
预习案:
【预习目标】
经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法
预习内容:
1、一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,所以,我们把________________________叫做二次函数的一般式.
2、二次函数y=ax2+bx+c,用配方法可化成:
y=a(x-h)2+k,顶点是(h,k).
配方:
y=ax2+bx+c=__________________=___________________=_______________=a(x+)2+.对称轴是x=,顶点坐标是,其中h=,k=,所以,我们把_____________叫做二次函数的顶点式.
3、已知A(2,1)、B(0,-4),求经过A、B两点的一次函数表达式.
解:
设过A、B两点的一次函数表达式为
把、代入
解得k=,b=所以表达式为.
我们把这种方法叫做待定系数法.
提出问题:
确定二次函数y=ax2+bx+c需要哪些条件?
探究案:
【学习目标】:
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式
例1已知一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,
求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.
分析:
(1)本题可以设函数的表达式为?
(2)题目中有几个待定系数?
(3)需要代入几个点的坐标?
(4)用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么?
【能力提升】
一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?
你有几种方法?
与同伴进行交流.
【练一练】
1.已知二次函数的图像过点A(0,-1)B(1,-1)C(2,3)求此二次函数解析式;
3.已知二次函数图像的顶点坐标为(-1,-8),图像与x轴的一个公共点A的横坐标为-3,求这个函数解析式
【检测】
1.已知抛物线y=ax2+bx+c过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,那么a,b,c的值分别()
A.a=-1,b=-6,c=4B.a=1,b=-6,c=-4
C.a=-1,b=-6,c=-4D.a=1,b=-6,c=4
2.如图,抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,-3),则此抛物线对应的函数的表达式为()
A.y=x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2-2x+3D.y=x2+2x-3
3.如图,平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该抛物线的表达式为
4.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y与x之间的函数表达式是()
A.y=x2-4x+3B.y=x2-3x+4C.y=x2-3x+3D.y=x2-4x+8
x
-1
0
1
ax2
1
ax2+bx+c
8
3
5.对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A(2,m),B(4,m).若△AOB的面积为4,则抛物线的表达式为
6.若抛物线的图象经过(1,0)和(5,0)两点,其顶点与x轴的距离为12,求此抛物线解析式.
【小结】1.掌握求二次函数的解析式的方法——待定系数法;
2.能根据不同的条件,恰当地选用二次函数解析式的形式,尽量使解题简捷;
3.解题时,应根据题目特点,灵活选用,必要时数形结合以便于理解.
【作业布置】
作业:
习题2.71.2.3
【反思】
2.4二次函数的应用(第1课时)
预习案:
【预习目标】
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
预习内容:
求下列二次函数的顶点坐标,并说明
随
的变化情况:
探究案:
【学习目标】
1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培养分析判断能力.
2.通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养数学应用能力.
探究一:
如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上,AN=40m,AM=30m,
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?
(2).设矩形的面积为
当
取何值时,
的最大值是多少?
探究二:
在上一个问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变,那么矩形的最大面积是多少?
【能力提升】
如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm,
BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G
分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
【练一练】
如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为
米,面积为S平方米.
(1)求S与
的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)当
取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?
(3)若墙的最大可用长度为8米,求围成花圃的最大面积.
【检测】
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D在BC上运动(不运动至B,C),DE∥AC,交AB于E,设BD=
△ADE的面积为
.
(1)求
与
的函数关系式及自变量
的取值范围;
(2)
为何值时,△ADE的面积最大?
最大面积是多少?
2.在矩形ABCD中,AB=6
,BC=12
,点P从点A出发沿AB边向点B以1
/秒的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2
/秒的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动,设运动时间为t秒(0 (1)运动开始后第几秒时,△PBQ的面积等于8 ; (2) 设五边形APQCD的面积为S ,写出S与t的函数关系式,t为何值时S最小? 求出S的最小值. 【小结】 “二次函数应用”的思路: 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.运用数学知识求解; 5.检验结果的合理性,给出问题的解答. 【作业布置】 【反思】 二次函数的应用 (2) 预习案: 【预习目标】 经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值. 预习内容 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元,根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销500件. 请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多? 探究案: 【学习目标】 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力. 【探究】 某旅社有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加10元时,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高? 【能力提升】 本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题,我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是: 二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000. (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. (2)增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上? 【练一练】 某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系. (1)试求y与x之间的函数关系式; (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大? 每月的最大利润是多少? 【检测】 1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 2.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现: 当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨,综合考虑各种因素,每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元,设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说: “当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗? 请说明理由. 【小结】 【课后作业】 【课后反思】 二次函数与一元二次方程 (1) 预习案: 【预习目标】 会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程. 预习内容: 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式 表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,观察并思考下列问题: (1)h和t的关系式是什么? (2)小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法? 与同伴进行交流. 探究案: 【学习目标】 理解二次函数 的图象与x轴交点的个数与一元二次方程 根的个数之间的对应关系; [探究1]二次函数 的图象 如下图所示,与同伴交流并回答问题. 二次函数图象 图象与x轴的交点 一元二次方程 方程的根 【议一议】 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? [想一想]何时小球离地面的高度是60m? 你是如何知道的? 故2s和6s时,小球离地面的高度是60m. 【练一练】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示.其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间. (1)作出函数h=-4.9t2+19.6t的图象; (2)当t=1,t=2时,足球距地面的高度分别是多少? (3)方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是什么? 你能在图上表示吗? (4)方程-4.9t2+19.6t=14.7的根的实际意义是什么? 你能在图上表示吗? 【检测】 1.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是() A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4 (1) (2)(3)(4) 2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是() A.-8B.8C.±8D.6 3.若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为. 若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图所示,则ax2+bx+c=m有实数根的条件是() A.m≤-2B.m≥-2C.m≥0D.m>4 5.已知二次函数y=x2-x+ m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围 A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>2 6.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 【小结】 【作业布置】 【反思】 二次函数与一元二次方程 (2) 预习案: 【预习目标】 利用二次函数的图象求一元二次方程近似解. 预习内容 1.若方程 的根为 和 ,则二次函数 的图象与x轴交点坐标是. 2.二次函数 的图象如图所示,则一元二次方程 的解为. 3.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列选项中正确的是() A.1.6<x1<1.8 B.1.8<x1<2.0C.2.0<x1<2.2 D.2.2<x1<2.4 x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.72 探究案: 【学习目标】: 1.利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解 2.用逼近法求一元二次方程近似解 【探究】 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 的根吗? (1)观察二次函数的图象,抛物线与x轴的交点的横坐标约为_______ (2)由图象可知,方程 有个根, 一个根在和之间,另一个根在 和(填两个整数). (3)估计方程 的近似根是(精确到0.1) (4)用什么方法验证你的结果是否正确? 【想一想】} 利用二次函数 的图象求一元二次方程 的近似根的一般步骤. 步骤一: ____________________________________________________ 步骤二: ____________________________________________________ 步骤三: ____________________________________________________ 【能力提升】 试用二次函数的图象估计下列方程的近似根 (1) , (2) . 你是如何解决这一问题的,在小组内交流你们的解法. 【练一练】 1.二次函数 的图象如图所示,则一元二次方程 的近似根是(精确到0.1) 2.如图,已知抛物线 的对称轴为 ,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为() A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3) 3.利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根. 【检测】 1.小明利用二次函数的图象估计方程x2-2x-2=0的近似解,如表是小明探究过程中的一些计算数据.根据表中数据可知,方程x2-2x-2=0必有一个实数根在() x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2-2x-2 -2.75 -2 -0.75 1 3.25 A.1.5和2之间B.2和2.5之间C.2.5和3之间D.3和3.5之间 2.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值: x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是() A.1B.1.1C.1.2D.1.3 3.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根,作出了如图所示的图象,观察得一个近似根为x1=-4.5,则方程的另一个近似根为x2=(精确到0.1). 【小结】 【布置作业】 【反思】
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