黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第四次模拟考试数学文.docx
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黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第四次模拟考试数学文
哈尔滨三中2015年第四次模拟考试
数学试卷(文史类)
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数,则集合中元素的个数是
A.4 B.3 C.2 D.无数
2.函数的图像关于直线对称,且在
单调递减,,则的解集为
A.B.
C.D.
3.执行如图程序框图其输出结果是
A.
B.
C.
D.
4.已知平面
,则“”是“”成立的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5.某几何体三视图如下,图中三个等腰三角形的直角边长都是,该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
6.直线被圆
所截得弦的长度为,则实数的值是
A.B.C.D.
7.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒
南岗
校区
群力校区
2
0.04
1236
93
0.05
9
621
0.06
29
331
0.07
9
64
0.08
7
7
0.09
246
物,也称为可入肺颗粒物.如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的监测点统计的数据(单位:
毫克/立方米)列出的茎叶图,南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是
A.南岗校区
B.群力校区
C.南岗、群力两个校区相等
D.无法确定
8.已知是等差数列,,其前10项和,则其公差( )
A.B.C.D.
9.三棱锥中,为等边三角形,,,三棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
10.若
,则的值为
A.B.C.D.
11.双曲线的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,双曲线与抛物线
的准线交于,两点,,则双曲线的实轴长为
A.B.C.D.
12.定义在R上的奇函数,当时,
,则关于的函数
的所有零点之和为
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.)
13.在等比数列中,,,则.
14.已知变量、满足条件
,若目标函数,的最大值为.
15.在中,内角,,的对边分别是,,,若,,则.
16.向量,
,,函数的最大值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数
.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)将函数图像向左平移个单位,再向上平移个单位,得到函数
图像,求的对称轴方程和对称中心坐标.
18.(本小题满分12分)
一个袋子中装有大小形状完全相同的个小球,球的编号分别为,,,,
(Ⅰ)从袋子中随机取出两个小球,求取出的小球编号之和大于的概率;
(Ⅱ)先从袋子中取出一个小球,该球编号记为,并将球放回袋子中,然后再从袋子中取出一个小球,该球编号记为,求的概率
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,面为矩形,,,为的中点,与交于点,面.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若,求直线与面成角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆:
的焦点分别为、,点在椭圆上,满足,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点,试探究是否存在直线与椭圆交于、两点,且使得?
若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数
,.
(Ⅰ)若,且存在单调递减区间,求的取值范围;
(Ⅱ)设函数的图象与函数的图象交于点、,过线段的
中点作轴的垂线分别交、于点、,是否存在点,使在点
处的切线与在点处的切线平行?
如果存在,求出点的横坐标,如果不
存在,说明理由.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,是圆的直径,是半径的中点,是延长线上一点,且,直线与圆相交于点、(不与、重合),与
圆相切于点,连结,,.
(Ⅰ)求证:
;(Ⅱ)若,求.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知点,,点在曲线:
上.
(Ⅰ)求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)求的最小值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知正实数,满足:
.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)设函数
,对于(Ⅰ)中求得的,是否存在实数,使得成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.
哈尔滨三中2015年第四次模拟考试
数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
A
A
C
A
D
C
B
D
D
二、填空题:
13.14.15.16.
三、解答题:
17.
,,
的最大值为--------------6分
(2),
对称轴为直线,对称中心为,--------12分
18.
(1)符合题意的情况有:
---------------6分
(2)符合题意的情况有:
---------------12分
19.
(1)由与相似,知,又平面,,
平面,;---------------6分
(2),
------------12分
20.
(1)
∴所求的方程为.------4分
(2)假设存在直线满足题设,设,
将代入并整理得
,----------------------------6分
由
,
得-----------①
又,设中点为,
,得②--------------------10分
将②代入①得
化简得
,解得或
所以存在直线,使得,此时的取值范围为
.-------12分
21.解:
(1)时,设函数
则
因为函数存在单调递减区间,所以有解,即,有的解。
1时,为开口向上的抛物线,总有有解;
2时,为开口向下的抛物线,而总有的解;则,且方程至少有一个正根,此时,。
综上所述,的取值范围为------------4分
(2)设点、的坐标是
则点、的横坐标为,点在处的切线斜率为
点处的切线斜率为
假设点处的切线与在点处的切线平行,则k1=k2
即
则
.设,则①
令
则
因为时,,所以r(t)在上单调递增.故
则.这与①矛盾,假设不成立.
故在点处的切线与在点处的切线不平行.----------------12分
22.
(1)连接,,
为等边三角形,则,
可证与相似,得;
又,则-------5分
(2)由
(1)知,
,与相似,则-------10分
因为
,所以
23.
(1)…………5分
(2)
…………10分
24.
(1)
,
. …………5分
(2)
,
当且仅当时成立,此时,
存在使成立. …………10分
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