正方形与全等模型含答案.docx
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正方形与全等模型含答案
正方形与全等模型
1.(垂直相等)如图,在正方形ABCD中.
(1)若点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.试判断DE与CF的数量及位置关系,并说明理由;
(2)若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点,PQ与MN相交,且PQ=MN,问PQ丄MN成立吗?
为什么?
盘PD
SQC
2.(三垂)如图,直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D,AM丄MN于M,CN丄MN于N,
BR丄MN于R.
(1)求证:
△ADM◎△DCN:
(2)求证:
MN=AM+CN;
(3)试猜想BR与MN的数量关系,并证明你的猜想.
3.(三垂)如图,在平的直角坐标系中,直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B,四边形ABCD是正方形,曲线y=上在第一象限经过点D•求双曲线表示的函数解析式.
4.
(三垂)如图,四边形ABCD是正方形,直线
A,B,C三点,且11//12//13,若11与12的距
离为5,12与13的距离为7,则正方形
11,12,13分别通过
5.(三垂)如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC,OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上,点B在
双曲线y=-二上,直线y=kx-k(k>0)交y轴与F.
(1)求点B、E的坐标;
(2)连接BE,CF交于M点,是否存在实数k,使得BE丄CF?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
(3)F在线段OA上,连BF,作0M丄BF于M,AN丄BF于N,当F在线段OA上运动时(不与0、A重合),„川
BN的值是否变化•若变化,求出变化的范围;若不变,求其值.
6.(对角互补)已知:
如图,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点0.E、F分别是边AB、BC上的点,若AE=4cm,CF=3cm,且0E丄0F,贝UEF的长为cm.
7.(对角互补)在图1到图3中,点0是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,/MPN=90°正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点0重合时,0E与0F的数量关系为;
(2)如图2,当P在线段0C上时,猜想0E与0F有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,0E与0F的数量关系为;位置关系为.
8(对角互补)如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P
在射线AC上移动,另一边交DC于Q.
(1)如图1,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系;并加以证明;
(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.
9.(对角互补)如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ丄BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=_/,Q为CD中点,则下列结论:
1/PBC=/PQD;②BP=PQ;③/BPC=/BQC;④正方形ABCD的面积是16;其中正确结论的个数是(
A.4
C.2
D.1
如图1,
E和F.易得△PBE◎△PDF,故结论PE=PF”成立;
10.
直角/EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合,两直角边PE,PF分别和AB,AD所
(对角互补)在的直线交于点
(1)如图2,若点P在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
说明理由;
(2)如图(3)将
(2)中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变,若AB=m,BC=n,直接写出的值.
FF
11.
A.①②③
B.①②④
C.②③④
0
D
D.①②③④
(对角互补)如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN丄AQ交BC于点N,作NP丄BD于点P,连接NQ,下列结论:
①AM=MN;②MP==BD;③BN+DQ=NQ;④为定值•其中一定成立的是(
12.(等角共顶点)
(1)如图①,△ABC中,AB=AC,/BAC=90°点D为BC边上一点(与点B、C不重合),连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.可猜想线段CF,BD之间的数量关系是__
位置关系是—_;
(2)当点D在线段BC的延长线时,如图②,
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,给出证明,如果不成立,说明理由.
13.(等角共顶点)已知点0为正方形ABCD的中心,M为射线OD上一动点(M与点O,D不重合),以线段AM为一边作正方形AMEF,连接FD.
(1)当点M在线段0D上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系?
请判断并直接写出结果;
(2)当点M在线段0D的延长线上时(如图2),
(1)中的结论是否仍然成立?
请结合图2说明理由.
14.(等角共顶点)以厶ABC的各边,在边BC的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形ABDI,BCFE,ACHG,
试探究:
(1)如图中四边形ADEG是什么四边形?
并说明理由.
(2)当厶ABC满足什么条件时,四边形ADEG是矩形?
(3)当厶ABC满足什么条件时,四边形ADEG是正方形?
15.(等角共顶点)在直角三角形ABC中,/C=90°BC=2,以AB为边作正方形ABDE,连接AD、BE交0£0=旳豆,则AC的长为()
A.2B.3C.4D.3^2
16.
连接GD,求证:
△ADGABE;
连接FC,求证:
/FCN=45°
请问在AB边上是否存在一点Q,使得四边形DQEF是平行四边形?
若存在,请证明;若不存在,请说明理
(等角共顶点)如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,以AE为边作正方形AEFG.
(1)
(2)
(3)
由.
17.(等角共顶点)如图1,2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点•直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与/CBM的平分线BF相交于点F.
(1)如图1,当点E在AB边的中点,N为AD边的中点位置时:
1通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是
2请证明你的上述猜想.
(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的结论.
o
已知,四边形ABCD是正方形,/MAN=45°它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、
18.(对角互补分半)
N,连接MN,作AH丄MN,垂足为点H
(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?
并证明;
(2)如图2,已知/BAC=45°AD丄BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;
小萍同学通过观察图①发现,△ABM和厶AHM关于AM对称,△AHN和厶ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题•你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?
19.(对角互补分半)形的边长相等,求/EAF的度数.
(1)如图①,在正方形
ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方
(2)如图②,在Rt△ABD中,/BAD=90°AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且/MAN=45°将厶ABM绕点A逆时针旋转90°至厶ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3.二求AG,MN的长.
20.(对角互补分半)四边形BCFE的面积等于
如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,那么
;若GH与CD交点为I,那么GBI=.
21.(等角共顶点拓展)如图,四边形ABCD是正方形,以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系,并说明理由.
22.
如图,正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形,P、Q为它们的中心,
(等角共顶点拓展)
M是BC的中点,试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系?
并证明你的结论.
23.如图所示,四边形ABCD为正方形,△BEF为等腰直角三角形(/BFE=90°点B、E、F按逆时针顺序),P为DE的中点,连接PC、PF.
(1)如图
(1),E点在边BC上,则线段PC、PF的数量关系为,位置关系为(不需
要证明).
(2)如图
(2),将厶BEF绕B点顺时针旋转a°0VaV45),贝U线段PC、PF有何数量关系和位置关系?
请写出你的结论并证明.
3),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系?
(3)如图(3),E点旋转到图中的位置,其它条件不变,完成图(
直接写出你的结论,不需要证明.
24.(等角共顶点拓展)如图甲,操作:
把正方形CGEF的对角线,CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M.
(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,直接写出答案即可;
(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图乙),令CG=2BC其他条件不变,结论是否发生变化,并加以证明;
(2)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图丙),其他条件不变.探究:
线段MD,MF的位置及数量关系,并加以证明.
【巩固练习】
25.已知点E是正方形ABCD外的一点,EA=ED,线段BE与对角线AC相交于点F,
(1)如图1,当BF=EF时,线段AF与DE之间有怎样的数量关系?
并证明;
(2)如图2,当△EAD为等边三角形时,写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系,并证明.
26.如图1,四边形ABCD为正方形,E在CD上,/DAE的平分线交CD于F,BG丄AF于G,交AE于H.
(1)如图1,/DEA=60°,求证:
AH=DF;
(2)如图2,E是线段CD上(不与C、D重合)任一点,请问:
AH与DF有何数量关系并证明你的结论;
(3)如图3,E是线段DC延长线上一点,若F是厶ADE中与/DAE相邻的外角平分线与CD的交点,其它条件不变,请判断AH与DF的数量关系(画图,直接写出结论,不需证明)
D
27.在直角坐标系中,直线y=2x+4交x轴于A,交y轴于D
(1)以A为直角顶点作等腰直角△AMD,直接写出点M的坐标为_^_______^
(2)以AD为边作正方形ABCD,连BD,P是线段BD上(不与B、D重合)的一点,在BD上截取PG=.|i,过G作GF丄BD,交BC于F,连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系?
并证明你的结论;
(3)在
(2)中的正方形中,若/PAG=45°试判断线段PD、PG、BG之间有何关系,并证明你的结论.
Pi
冷、
28.如图,一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动,并使得一条直角边始终经过B点.
(1)如图1,当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点,四=;
PQ
(2)如图2,当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时,丄丄=;
PQ
(3)如图3或图4,当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时,请你在图3或图4中任选一种情形,求吕的值,并说明理由.
29.已知,如图在正方形OADC中,点C的坐标为(0,4),点A的坐标为(4,0),CD的延长线交双曲线yp
于点B.
(1)求直线AB的解析式;
(2)G为x轴的负半轴上一点连接CG,过G作GE丄CG交直线AB于E.求证CG=GE;
(3)在
(2)的条件下,延长DA交CE的延长线于F,当G在x的负半轴上运动的过程中,请问的值是否
DE*
为定值,若是,请求出其值;若不是,请说明你的理由.
c
G
C
D
0
D
0
⑴
D
0
E
(2)若点P是线段BD上一点PE丄BC于E,M是PD的中点,连EM、AM.求证:
AM=EM;
ABCD位于平面直角坐标系的第一象限,
30.如图,四边形
B、C在x轴上,A点函数丁二上,且AB//CD//y轴,
AD//x轴,B(1,0)、C(3,0).
(1)试判断四边形ABCD的形状;
(3)在图
(2)中,连接AE交BD于N,则下列两个结论:
①值不变;
②•'■一'的值不变•其中有且仅有一个是正确的,请选择正确的结论证明并求其值.
参考答案与试题解析
一•选择题(共16小题)
1.如图,在正方形ABCD中.
(1)若点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.试判断DE与CF的数量及位置关系,并说明理由;
(2)若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点,PQ与MN相交,且PQ=MN,问PQ丄MN成立吗?
为什么?
考点:
正方形的性质.
专题:
探究型.
分析:
(1)由已知易
得
△DAE◎△CD
F,故有DE=CF.
(2)由点N,Q
分别向AB,AD
作垂线,构造两直角三角形全等,由角的等量代换,易得
QP丄MN.
解答:
解:
(1)在正方
形ABCD中,
AD=DC,
AE=DF,
/EAD=/FDC
所以
△EAD◎△FD
C,故DE=CF,•••/EDA=/FC
D,
又
•//DCF+/DF
C=90°
•/ADE+/D
FC=90°
•/DGF=90°即DE丄CF.
(2)由点N,Q分别向AB,AD作垂线,
•/PQ=MN,
RN=SQ,
•△MNR◎△
QPS(HL),
•/PQS=ZM
NR,又
/1+/PQS=90°
所以
/1+/MNR=9
点评:
解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,搞清楚矩形、菱形、正
方形中的三角
形的三边关系,
可有助于提咼
解题速度和准确率.
2.如图,直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D,AM丄MN于M,CN丄MN于N,BR丄MN
于R.
(1)求证:
△ADM◎△DCN:
(2)求证:
MN=AM+CN;
(3)试猜想BR与MN的数量关系,并证明你的猜想.
考点:
正方形的性质;
专题:
全等三角形的判定与性质.证明题;探究
分析:
型.
此题分三问进
行,三问都与三角形全等直接相关,所以要紧扣三角形全等的判定方法进行思考.
(1)要证
△ADM◎△DC
N,由于它们都是直角三角形,所以首先有直角相等,又由
ABCD是正方形有AD=DC,再找一个条件即可,而由图形很容易分析得
出
/ADM=/DC
N;
(2)的关键是合理添加辅助线,通过等量代换等到结论;
(3)首先结合前面的结论再结合图形合理猜想,然后再结合前面的结论认真推理,细致证明即可.
解答:
(1)证明:
•/AM丄MN于点M,CN丄MN于点N(已知),•••/AMD=/DNC=90°垂直的定义).
•/MAD+/MDA=180°-90°90°三角形内角和定理).
•/四边形
ABCD是正方
形(已知),
•/ADC=90°AD=DC.
•/MDA+/NDC=180°-90°90°平角的定义).
•/MAD+/MDA=/NDC+/NCD.
•/MAD=/NDC.
在厶AMB和
△DNC中,
•••/AMD=/D
NC,
/MAD=/ND
C,AD=DC,
•△AMD
DNC(AAS).
(2)证明:
由
(1)
△AMD◎△DN
C,
•AM=DN,
MD=NC.(全等
三角形对应边相等)
•••MD+DN=AM
+CN.
即
MN=AM+CN.
(3)猜想
BR=MN.
证明如下:
作AE丄BR于
E.
•/BR丄MN,
CN丄MN(已
知)
•BR//CN(垂
直于同一直线的两条直线平行)
•/1=/2(两
直线平行同位
角相等)
又四边形
ABCD是正方
形
•AB丄BC,
DC丄BC,
•/ABE=/DCN=90。
-/1,在厶ABE和
△DCN中,
AB=DC,
/ABE=/DCN
/AEB=/DNC
=90°
•△ABED
CN(AAS)
由
(1)
△ADM◎△DC
N
•△ABEA
DM
•AM=AE(全等三角形对应边相等).
又AE//MR,AM//ER,
点评:
•••BR=BE+ER=
CN+AM=DM+
DN=MN.
相连,第一问正确解出后,后两问就顺理成章求出来了.
3.
A、B,四边形ABCD是正方形,曲线
如图,在平的直角坐标系中,直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点
y=—在第一象限经过点D•求双曲线表示的函数解析式.
\
f\\
0
考点:
反比例函数综合题.
专题:
探究型.
分析:
过点D作
DE丄x轴于点
E,先由直线y=
-2x+2与x轴,
y轴相交于点
A、B求出0B及0A的长,再由全等三角形的判定定理得出
△AOB◎△DE
A,故可得出D点坐标,再由待定系数法即可求出反比例函
解答:
数的解析式.解:
过点D作
DE丄x轴于点
E,
•••直线y=-
2x+2与x轴,y
轴相交于点A、
B,
•••当x=0时,
y=2,即0B=2;当y=0时,x=1,即0A=1,
•/四边形
ABCD是正方形,
•/BAD=90°
AB=AD.
•/BAO+/D
AE=90°
•//ADE+/D
AE=90°
•/BAO=/A
DE,
•//AOB=/D
EA=90°,
•△AOBD
EA,
•DE=AO=1,AE=BO=2,
•OE=3,DE=1.
•点D的坐标
为(3,1)把(3,
1)代入丫=丄中,
x
得k=3,
故反比例函数的解析式为:
点评:
本题考查的是
反比例函数综
合题,涉及到一次函数的性质、正方形的性质及全等三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键.
4.
11与12的距离为5,
如图,四边形ABCD是正方形,直线11,12,13分别通过A,B,C三点,且11//12//13,若
|2与13的距离为7,则正方形ABCD的面积等于(
C.144
D.148
考点:
分析:
解答:
勾股定理;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
画出L1到L2,
L2到L3的距离,分别交L2,L3于E,F,通过证明
△ABE◎△BC
F,得出BF=AE,再由勾股定理即可得出结论.
解:
过点A作
AE丄11,过点C作CF丄12,
•••/CBF+/BC
F=90°
四边形ABCD是正方形,
•AB=BC=CD=
AD,
•/DAB=/ABC=/BCD=/
CDA=90°°
:
./ABE+/C
BF=90°,
Til//12//|3,
•••/ABE=/B
CF,在厶ABE和
△BCF中,
fZAEB=ZBFC{ZABE=ZBCF
1AB=BC
•△ABE◎△BCF(AAS)(画出Li至qL2,L2到L3的距离,分别交L2,L3于E,F)
•BF=AE,
22
•bf2+cf2=bc
2
2l2r2r
•BC=5+7=7
4.
故面积为74.故选B.
点评:
本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法,能够熟练掌握.
5.如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC,OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上,
y=-—上,直线y=kx-k(k>0)交y轴与F.
(1)求点B、E的坐标;
(2)连接BE,CF交于M点,是否存在实数k,使得BE丄CF?
若存在,求出k的值;若不存在,
点B在双曲线
请说明理由;
(3)F在线段OA上,连BF,作OM丄BF于M,AN丄BF于N,当F在线段OA上运动时(不与0、A重合)的值是否变化•若变化,求出变化的范围;若不变,求其值.
考点:
反比例函数综
合题.
专题:
开放型.
分析:
(1)把正方形
的面积用B点坐标表示求解;
(2)用分析法求解.根据直线解析式的特点,求k只需求满足条件时OF的长;
(3)探索:
得结论为1,所以不变化.
解答:
解:
(1)根据题
意,设B(x,-x),
4
■/B在y=的
X
图象上,
2
•••x=4,x=±,根据图形得B
(2,-2),
•••E在X轴上,
/•kx-k=0,x=1,即E(1,
0);
(2)假设存在
k,使BE丄CF,•//OCF=/CBEZCOF=/BCE,OC=CB
•••△OCF◎△C
BE
•OF=CE=1
•k=1;
(3)
PM+AN=1
'BN
证明:
由已知条件易证:
△OMFbn
A,
△ANFbn
A,
.丄__
AN__AF
点评:
此题运用了分析法解题探究,综合性很强,检验学生自主创新能力.
6.(2008?
安顺)已知:
如图,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.E、F分别是边AB、BC上的点
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