解析几何精品习题.docx
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解析几何精品习题
年级
高二
学科
数学
编稿老师
王东
课程标题
解析几何精品习题
一校
张琦锋
二校
黄楠
审核
王百玲
一、考点突破
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,兼容并包,可将代数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查,基本上是每份试卷中两道客观题,一道主观题,分值21~24分,占15%左右,并且主要体现出以下几个特点:
1.圆锥曲线的基本问题,主要考查以下内容:
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解。
②圆锥曲线的几何性质的应用。
2.求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高,此类问题的解决需掌握四种基本方法:
直接法、定义法、相关点法、参数法。
3.有关直线与圆锥曲线位置关系的问题,是高考的重、热点问题,这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,这类问题多以解答题的形式出现。
4.求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较强,运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别是近年来出现的解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势。
解析几何的题目综合性比较强,它不但要求学生有较强的分析问题和解决问题的能力,还要求学生具有较强的运算能力。
对学生综合素质要求比较高,是高考中考查的重点。
二、重难点提示
重点:
1.掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质;了解椭圆的参数方程。
2.掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质。
3.掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质。
难点:
圆锥曲线的初步应用。
知识脉络图:
能力提升类
例1已知某动圆与定圆M:
相切,且与
轴相切,则该动圆圆心点C的轨迹方程是_____________________
一点通:
如图1:
(1)当两圆外切时,设动圆的半径为
,则
,点C到
轴的距离为
,则点C到直线
的距离
,那么点C到直线
的距离与点C到M的距离相等,所以点C的轨迹是以M为焦点,直线
为准线的抛物线.其方程为:
。
图1
如图2:
(2)当两圆内切时,可得点C到M的距离与点C到直线
的距离相等,所以此时点C的轨迹是以M为焦点,直线
为准线的抛物线。
其方程为:
。
所以该动圆圆心点C的轨迹方程为:
或
。
图2
答案:
或
点评:
解决轨迹问题的关键是找到一个含有x,y的等量关系式。
结合题意可知,两圆相切有两种情况:
内切和外切。
由圆心距与两圆半径的关系可知
或
。
“圆与y轴相切”的意思是圆心点C到Y轴的距离就是半径。
将以上条件与抛物线定义联系在一起,不难找到此题的解法。
例2已知
,一动圆I过点M与圆N:
内切。
(1)求动圆圆心I的轨迹C的方程;
(2)经过点
作直线
交曲线C于A、B两点,设
,当四边形OAPB的面积最大时,求直线
的方程。
一点通:
由于已知直线过定点Q,所以,只有直线的斜率k在变,要求“当四边形OAPB的面积最大时,直线
的方程。
”只需将四边形OAPB的面积表示成k的函数,然后求当函数取得最大值时的k值就能使问题得以解决。
解:
(1)如题图,动圆I与定圆N内切,设动圆半径为
,则
。
那么有:
,
,所以I点的轨迹是以M、N为焦点,4为长轴长的椭圆。
其方程为。
(2)由知,四边形OAPB是平行四边形。
要使得四边形OAPB面积最大,则△OAB的面积最大,注意变化中的定值条件。
△OAB的面积是△AOQ的面积与△BOQ的面积之差。
设A,则。
可在联立方程组后,消去变量,保留。
设直线的方程为,
由。
由
△=,得。
由韦达定理得:
知。
则=
。
令,那么:
,当时等号成立。
此时,即所求的直线方程为。
点评:
在求轨迹方程的题目中,关键是将已知条件“翻译”成数学式子。
此题将“翻译”的成式子与椭圆定义联系起来,很容易得出轨迹方程。
综合运用类
例3
(1)一双曲线与双曲线有共同的渐近线且与椭圆有共同的焦点,则此双曲线的方程为__________________________;
(2)若关于的方程有两个不等的实数根,则实数的取值范围是_______________________。
一点通:
解决此问题的关键是要知道椭圆与双曲线有共同的焦点时的特征是。
这个结论要记住。
答案:
(1)由题可设所求双曲线的方程为,因其焦点在轴上,故。
则其标准方程为,那么。
得所求双曲线为。
(2)在同一坐标系中作出(双曲线的上半部分)与(过定点的直线)的图象。
如图:
可得。
点评:
数形结合往往是解决问题的好方法。
若从代数角度入手讨论比较麻烦。
从数形结合入手,借助于双曲线的渐近线,则使问题很容易得解。
例4椭圆和双曲线的公共焦点为,P是它们的一个公共点,则_______________。
一点通:
由椭圆与双曲线有相同焦点这一性质可得出a的值。
由焦点三角形的面积可求得。
解:
由椭圆与双曲线有公共焦点,可得,所以。
又由椭圆的焦点三角形的面积公式知△PF1F2的面积为,由双曲线的焦点三角形的面积公式知△PF1F2的面积为,则。
解得,由三角公式得。
另解:
也可以由(不妨设),求得,,又由,利用余弦定理可得。
点评:
在解题过程中,一些重要结论会对提高解选择题、填空题的速度起到重要作用。
在解析几何中一些结论,如:
通径的长,焦点三角形的面积公式等重要、常用的结论要熟记,有意识地应用。
思维拓展类
例5
(1)直线过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点,O是抛物线的顶点,则△ABO的形状是()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.不确定,与抛物线的开口大小有关
一点通:
设此抛物线的方程为,过焦点的直线,代入抛物线方程得:
,设,则,.
答案:
不妨设此抛物线的方程为,过焦点的直线,代入抛物线方程得:
,设,则,
。
,所以为钝角。
选C。
(2)设直线过椭圆的右焦点,与椭圆相交于A、B两点,O是坐标原点,当△OAB的面积最大时,求直线的方程。
一点通:
求直线方程的关键是要求出直线的斜率。
在得出面积关于斜率的关系式后,此题的难点是如何求的值域。
解:
由题可设直线:
代入椭圆方程中得:
,设,可得△OAB的面积S=,可得:
,则当时,S有最大值为1。
此时直线方程为:
。
点评:
直线方程与圆锥曲线方程联立,然后使用韦达定理,可以使问题简化,这也是常用的解题方法之一。
例6倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点,点C是抛物线准线上的动点。
(1)△ABC是否可能为正三角形?
(2)若△ABC是钝角三角形,求点C纵坐标的取值范围。
一点通:
要说明一个三角形是正三角形必须经过证明,要说明三角形不是正三角形只需举出反例即可。
解:
(1)直线方程为,由可得。
若△ABC为正三角形,则,由,可知CA与轴平行,此时,又。
与|AC|=|AB|矛盾,所以△ABC不可能是正三角形。
(2)设,则,
不可能为负,所以不可能为钝角。
若为钝角,则,,则,得。
若角为钝角,则且C、B、A不共线。
可得且。
综上知,C点纵坐标的取值范围是.
点评:
分类讨论是解析几何中经常考查的内容之一,分类要有根据,要具体情况具体分析。
1.椭圆中一些常见的结论要记住,这样解决选择填空等客观性问题时就会比较方便,如:
椭圆的基本量蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中;椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角(与两焦点连线夹角)的最大值;短半轴长、长半轴长的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值;焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是与;过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长,最小值是垂直于长轴所在直线的弦(有时称为通径,其长为)。
2.椭圆上任意一点P与两焦点构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形。
焦点三角形的周长为定值,利用解三角形的方法可以得出:
当=时,此三角形的面积为(应引起注意的是此结论的推导过程要掌握)。
3.渐近线是双曲线特有的几何性质,要特别注意双曲线的渐近线方程,理解“渐近”的意义。
双曲线的渐近线的方程为,与双曲线共渐近线的双曲线可以设成(其中是待定的系数),双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离是虚半轴长。
1.在解析几何的解题过程中,计算量是比较大的,如何让计算量相对小一些呢?
记住一些常用的结论可以减少一些计算量。
记住双曲线中常见的结论:
(1)过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径(垂直于实轴的弦长),被两支截得的弦长的最小值是实轴的长;
(2)双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是,到异侧一支上点的距离最小值是;(3)双曲线的焦点为,P是双曲线上的一点,若,则△的面积为(仿椭圆焦点三角形面积推导可得)。
记住抛物线的常用性质:
(1)抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离;
(2)过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴;(3)顶点、焦点、准线之间的关系;(4)过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为;(5)通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条。
(2)过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦。
以抛物线为例,焦点弦有下列常用性质:
设抛物线的焦点为F,是抛物线上的两点。
①A、B、F三点共线的充分必要条件是;②;③若AB过焦点,则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;④若AB过焦点,则为定值;
2.解决直线与圆锥曲线的问题时,经常需要设直线方程,如何设直线方程好?
一般来说,当直线过轴上的定点时,若直线不是轴,则此直线方程可以设成。
这样可以避免讨论直线斜率是否存在。
(答题时间:
60分钟)
一、选择题
1.设抛物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()
A.4B.6C.8D.12
2.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且点到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()
A.B.C.D.
*3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()
A.B.1C.2D.4
*4.设双曲线的一个焦点为,其虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
5.设椭圆(,)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为()
A.B.C.D.
6.设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线斜率为,那么()
A.B.8C.D.16
*7.设双曲线的—个焦点为F,虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
8.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足。
如果直线AF的斜率为,那么|PF|=()
A.B.8C.D.16
二、填空题
9.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M,则直线FM的斜率等于。
10.在平面直角坐标系中,椭圆1(0)的焦距为2,以原点O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=。
11.在中,,。
若以为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率。
12.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点。
若,则=______________。
13.已知是双曲线右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为。
设分别为双曲线的左、右焦点。
若,则。
14.设O是坐标原点,F是抛物线的焦点,A是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为。
三、解答题:
1.设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率,且过点,求这个椭圆的方程。
20090423
2.已知,椭圆C过点A,两个焦点为(-1,0),(1,0)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
3.如图,在直角坐标系中,已知椭圆的离心率e=,左、右两个焦分别为。
过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交于M、N两点,且|MN|=1。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足(),试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上。
一、选择题
1.B2.C
3.C解析:
法一:
抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为,因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,所以
法二:
作图可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切于点(-1,0),
所以
4.D解析:
不妨设双曲线的焦点在轴上,设其方程为:
,则一个焦点为
一条渐近线斜率为:
,直线的斜率为:
,,
,解得。
5.B6.B
7.D解析:
设双曲线方程为,则F(c,0),B(0,b)直线FB:
bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直,所以,即b2=ac,
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或(舍去)
8.B
二、填空题
9.10.11.12.813.514
三、解答题:
1.解:
∵椭圆的中心在原点,焦点在轴上,且过点
∴
又,∴,∴
故这个椭圆方程是
20090423
2.解:
(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为,
解得,(舍去)
所以椭圆方程为。
(Ⅱ)设直线AE方程为:
,代入得
设,,因为点在椭圆上,所以
;
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-K代K,可得
;
所以直线EF的斜率。
3.解:
(Ⅰ)∵轴,∴,由椭圆的定义得:
,
∵,
∴,
又由得,∴
∴,
∴所求椭圆C的方程为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,-1),设点P的坐标为,
则,,
由-4得-,
∴点P的轨迹方程为
设点B关于P的轨迹的对称点为,则由轴对称的性质可得:
,
解得:
,
∵点在椭圆上,∴,整理得,
解得或
∴点P的轨迹方程为或,
经检验和都符合题意,
∴满足条件的点P的轨迹方程为或。
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