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牛吃草
牛吃草、抽水问题
一、关键点:
1、草场原有的草量。
2、草场每天生长的草量;3、牛每天吃的草量。
二、基本关系式
核心关系式:
牛吃草总量(牛头数×时间)=原有草量+新长出草量(每天长草量×时间)
总量的差/时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛的数量
原有草量/安排吃原有草的牛的数量=能吃多少天。
单位:
1头牛1天吃草的量
●一片牧草,可供16头牛吃20天,也可以供20头牛吃12天,那么25头牛几天可以吃完?
解析:
法1(方程法),等量关系:
原有草量相等。
设每头每天吃草量为“1”,x天吃完,每天长草量y
16×20-20y=20×12-12y=25x-xy,x=8,y=10.
法2,速度差(追及问题),吃完草可以看着是牛追上草。
(牛吃草速度-草生长速度)×时间(天数)=原有草量
20(16-y)=12(20-y)=x(25-y),x=8,y=10.
法3(利用基本关系式)
总量的差/时间差=每天长草量,(16×20-20×12)/(20-12)=10;
原有草量=牛吃草总量-新长出草量,16×20-20×10=120;
25头牛分10头吃每天长出的草,还剩15头吃原有的草,120/15=8天。
●有一个水池,池底有泉水不断涌出。
用5台抽水机20小时可将水抽完,用8台抽水机15小时可将水抽完。
如果14台抽水机需多少小时可以抽完?
( )
A.25 B.30 C.40 D.45
解析:
泉水每小时涌出量为:
(8×15-5×20)÷(20-15)=4份水;
原来有水量:
8×15-4×15=60份;
用4台抽涌出的水量,10台抽原有的水,需60/10=6小时。
●(不同草场的问题:
考虑每单位面积的草量)
有三片牧场,牧场上的草长的一样密,而且长的一样快,他们的面积分别是公顷、10公顷和24公顷。
12头牛4星期吃完第一片牧场的草,21头牛9星期吃完第二片牧场的草。
多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?
( )
A.28 B.32 C.36 D.40
解析:
每公顷牧场每星期可长草:
(21×9÷10-12×4÷)÷(9-4)=0.9;
1公顷原有的草量:
12×4÷-0.9×4=10.8;
故24公顷草需要:
吃新长出的草,0.9×24=21.6头;吃原来的草,10.8×24÷18=14.4头;共有21.6+14。
4=36头牛吃18星期。
剩余问题
在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”意思就是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。
求适合这个条件的最小数?
”
类似于这个问题的题目,我们称之为剩余问题。
在《孙子算经》中给出了它的一种解法:
三三数之,取数七十,与余数二相乘;五五数之,取数二十一,与余数三相乘;七七数之,取数十五,与余数二相乘。
将诸乘积相加,然后减去一百零五的倍数。
列式计算就是:
70×2+21×3+15×2=233,233大于105的2倍210,则所求最小的数就是233-105×2=23。
其中,70、21、15分别是从3、5、7的最小公倍数3×5×7=105中分别除以3、5、7再乘以相应的整数2、1、1得到的。
而70、21、15分别除以3、5、7,余数都是1。
在明朝时,数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝,
七子团圆正月半(15),除百零五(105)便得知。
在公务员的考试中,也有类似的试题出现。
除了使用这种基本方法外,有些题目也有自己的性质,可以采取一些特别的方法。
例1:
某数除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么这个数的最小可能值是( )
A.140 B.569 C.712 D.998
解析:
这道题的三个数分别相乘的结果比较大,都大于100;而三个数的公倍数则超过2000千,因此,用《孙子算经》来解计算量是很大的。
11-8=3,13-10=3,则要求的这个数加上3后,可以被11和13整除,则它加上3后是11和13的最小公倍数11×13=143的倍数,检验四个选项,发现四个选项都符合该条件。
另外一个已知条件就是,这个数应该加上17-12=5后被17整除,只有D项的998满足答案。
据此,可排除A、B、C。
正确答案:
D
例2:
1个数除5余3,除6余4,除7余1,这样的3位数有几个?
解答:
5、6、7的最小公倍数是5×6×7=210,且1000÷210=4……160,则满足题意的3位数有4个或5个。
当满足条件的最小的数是一个三位数且它小于160时,答案就是5;否则,答案就是4。
即当一个数a满足题意时,a+210n(n=0,1,2,……)也满足题意。
证明如下:
(a+210n)÷5=a÷5+42,则该余数与a除以5的余数相同。
同理可得a+210n除以6、7的余数分别与a除以6、7的余数相同。
则a+210n和a除以5、6、7的余数都是相同的。
由于5-3=2,6-4=2,则这个数加上2以后,可以被5、6整除,即可以被5、6的最小公倍数30整除,即该数=30n+28(n=1,2,3,……)。
又因为该数除以7余1,而28是7的4倍,则30n应该除以7余1,而30÷7=4……2,且2×4=8=7+1,则(30×4)÷7=17……1,则最小的满足条件的数就是30×4+28=148,是一个三位数。
(a+210n)÷5=a÷5+42,则该余数与a除以5的余数相同。
同理可得a+210n除以6、7的余数分别与a除以6、7的余数相同。
则a+210n和a除以5、6、7的余数都是相同的。
这样,满足题意的三位数就是148,148+210=358,148+2×210=568,148+3×210=568=778,148+4×210=988,一共有5个。
例3:
篮子里装有不多于500个苹果,如果每次二个、每次三个、每次四个、每次五个、每次六个地取出,篮子中都剩下一个苹果,而如果每次七个地取出,那么没有苹果剩下,篮子中共有多少个苹果?
A.298 B.299 C.300 D.301
解析:
由题目可知,答案应该能被7整除,四个选项中,只有D符合这个条件。
另外,苹果的总数应该是2、3、4、5、6的公倍数再加1,且能被7整除。
2、3、4、5、6的最小公倍数是60,则苹果总数就是60n+1(n=1,2,3,……)。
60n+1应该是7的整数倍,60÷7=8……4,则60n+1=7×8×n+4n+1,即4n+1是7的倍数,用7的1、2、3……倍试算,当4n+1=7×3=21时,n=5时满足条件的最小值,则60n+1=301。
满足条件的数就是301。
正确答案:
D
例4:
一支队伍不超过6000人,列队时,2人一排,3人一排,4个一排……直至10人一排,最后一排都缺一个人。
改为11人一排,最后一排只有1个人。
问这一队伍有多少人?
A.4926人 B.5039人 C.5312人 D.5496人
解析:
由10人一排时最后一排缺一人,可知队伍人数的尾数一定为9,在四个选项中,只有B项是满足要求的。
另外,所求人数加上1后是2、3、4、5、6、7、8、9、10的公倍数,而6、7、8、9、10的最小公倍数是2520,则所求人数就是2520n-1。
2520÷11=229……1,则2520-1是可以被11整除,则满足条件的数就是2520+2520-1=5039。
正确答案:
B
十字交叉法的运用推广
对于数学运算部分中的浓度问题以及涉及到平均的问题,虽然能用方程法进行求解,但是较复杂,不利于迅速作答,特别是浓度问题中的三者及以上的溶液混合时的问题就更繁杂了。
鉴于此,特为各位考生推荐十字交叉法的推广应用,可以很好地克服上述问题。
1、十字交叉法的实质
很多朋友由于对该方法的实质不是很清楚,所以往往不能熟练运用,甚至还容易出错。
其实,涉及到几者的平均数问题,那么对平均数而言,几者中一定有些多,有些少,多出的量和少的量一定是相等的。
如,考试中有10人得80分,10人得60分,他们的平均分是70分。
这是因为80分的比平均分多10×10=100,而60分的比平均分少(70-60)×10=100,多的100刚好弥补不足的100。
2、涉及两者的十字交叉法
这是该方法运用最多的情况。
注意两者中必有一大一小。
●某车间进行季度考核,整个车间平均分是85分,其中2/3的人得80分以上(含80分),他们的平均分是90分,则低于80分的人的平均分是多少?
解析:
90 10 2/3
85
?
=85-10=75 90-85=5 1/3
●甲容器中有浓度为4%的盐水150克,乙容器中有某种浓度的盐水若干,从乙中取出450克盐水,放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水,那么乙容器中的浓度是多少?
解析:
4% 1.4% 150
8.2%
?
=9.6% 4.2% 450
3、涉及三者的运用
根据所有多出量之和等于所有少的量之和。
●把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起,得到浓度为36%的溶液50升。
已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍,浓度为30%的溶液的用量是多少升?
十字交叉法
十字交叉法可适用于解两种整体的混合的相关试题,基本原理如下:
混合前
整体一,数量x,指标量a
整体二,数量y,指标量b(a>b)
混合后
整体,数量(x+y),指标量c
可得到如下关系式:
x×a+y×b=(x+y)c
推出:
x×(a-c)=y×(c-b)
得到公式:
(a-c):
(c-b)=y:
x
则任意知道x、y、a、b、c中的四个,可以求出未知量。
不过,求c的话,直接计算更为简单。
当知道x+y时,x或y任意知道一个也可采用此法;知道x:
y也可以。
相关的指标量可以是平均值、浓度等等。
举例如下:
1.求指标量a、b之一
例1.甲容器中有浓度为4%的盐水150克,乙容器中有某种浓度的盐水若干,从乙中取出450克盐水放入甲中混成浓度为8.2%的盐水,问乙容器中盐水的浓度是多少?
A.9.6% B.9.8% C.9.9% D.10%
解析:
已知从乙容器中取出的盐水量x=450,甲容器中原有盐水量y=150,甲容器中原有盐水浓度b=4%,混合后盐水浓度c=8.2%,可得到(a-8.2%):
(8.2%-4%)=150:
450,则b-8.2%=4.2%÷3=1.4%,即乙容器中盐水浓度b=9.6%
正确答案:
A
例2.某车间进行季度考核,整个车间平均分是85分,其中2/3的人得80分以上(含80分),他们的平均分是90分,则低于80分的人的平均分是多少?
A.68 B.70 C.75 D.78
解析:
已知得80分以上(含80分)的人的平均分a=90,总平均分c=85,得80分以上(含80分)的人数与低于80分的人数比例x:
y=(2/3):
(1-2/3)=2:
1,(90-85):
(85-b)=2:
1,则85-b=10÷2=5,即低于80分的人数为b=80。
正确答案:
C
2.求数量x、y之一
例1.车间共40人,某次技术操作考核的平均成绩为80分,其中男工平均成绩是83分,女工平均成绩为78分,该车间有女工多少人?
A.16人 B.18人 C.20人 D.24人
解析:
已知男工平均成绩a=83,女工平均成绩b=78,总平均成绩c=80,车间总人数x+y=40,则y:
x=(83-80):
(80-78)=3:
2,则女工人数y=40×3÷(3+2)=24人。
正确答案:
D
例2.有浓度为4%的盐水若干克,蒸发了一些水分后浓度变成10%,再加入300克4%的盐水后,浓度变为6.4%的盐水,问最初的盐水多少克?
A.200克 B.300克 C.400克 D.500克
解析:
已知原有盐水蒸发后浓度a=10%,加入的盐水浓度为b=4%,重量为y=300克,混合后盐水浓度c=6.4%,则y:
x=(10%-6.4%):
(6.4%-4%)=3:
2,则原有盐水蒸发后为300÷3×2=200克,最初盐水为200×10%÷4%=500克。
正确答案:
D
时钟问题
时钟问题是基于时针、分针等在钟面以不同的速度运动彼此不断重合、分离、重合、……的关系而出现的一类试题。
从运动的角度来看,时钟问题可以视为行程问题的变形,同时因为时钟特有的性质,在该类题目的运算中也有自己的特点。
时钟问题的一般类型就是时针和分针重合、成一直线或直角问题,实际上相当于时针和分针的追及问题或相遇问题。
也会有一些其他体型,如牵涉到弧度的问题,以及时钟快慢的问题等。
时针和分针间的距离一般用角度即两者的夹角来表示,如重合时距离为0,成一直线时距离为180度,成直角时距离为90度。
各自的速度也用角度来表示:
时针每十二个小时绕钟面转一圈,每分钟走360÷12÷60=0.5度
分针每小时绕钟面转一圈,每分钟走360÷60=6度
速度差为6-5.5=5.5度/分钟
速度和为6+5.5=6.5度/分钟
例1:
钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合?
( )
A.22又7/11分 B.21又9/11分
C.19又8/11分 D.20又7/13分
正确答案:
B
解析:
4点整时,分针指向12,时针指向4,时针在前,分针在后;要两针重合,需要分针赶上时针。
分针与时针的速度差为5.5度/分钟,而4点时时针与分针相距120度,则分针需120÷5.5=21又9/11分钟能追上时针,此时两针第一次重合。
例2:
从4时到5时,钟的时针与分针可成直线的机会有多少次?
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
正确答案:
B
解析:
两针成一直线,包括两针重合以及成180角两种情形。
4时整时,时针与分针成120度角;5时整时,时针与分针成150度角。
从4时到5时,时针与分针的角度先从120度减到0度(两针重合),再增加到180度(两针反向成一直线),再减少到150度。
可知,时针与分针有2次成一直线。
例3:
从时钟指向5点整开始,到时针、分针正好第一次成直角,需要经历( )分钟。
A.10 B.10又10/11
C.11 D.11又10/11
正确答案:
B
解析:
分针和时针的“速度”差为:
5.5度/分。
时钟指向5点整时,时针、分针的夹角为150度;时针、分针正好第一次成直角时,夹角减少到90度,即分针和时针所走的角度差为150-90=60度,故所需时间为60÷5.5=10又10/11分,选B。
例4:
时钟指示2点15分,它的时针和分针所成的锐角是多少度?
A.45度 B.30度
C.25度50分 D.22度30分
正确答案:
D
解析:
2点整时,分针指向12,时针指向2,时针在前,分针在后,时针和分针的夹角为60度。
到2点15分时,分针走了15分钟,走了15×6=90度,时针走了15×0.5=7.5度,故此时他们所夹的锐角为90-60-7.5=22.5度。
例5:
从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分,时钟的时针旋转的角度与分针旋转的角度之差为 弧度。
A.10.08 B.7.19
C.12.21 D.9.42
正确答案:
A
解析:
弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度,周角为2π弧度,平角(即180°角)为π弧度。
从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分一共是过了105分钟,时针、分针的速度差为6-5.5=5.5度/分钟,则总的角度差为105×5.5=577.5度,换算成弧度,为577.5÷360×2π=10.08,所以选择A。
(π取3.14)
例6:
小李开了一个多小时会议,会议开始时看了手表,会议结束又看了手表,发现时针与分针恰好互换了位置,问这个会议大约开了1小时多少分?
A.51 B.47
C.45 D.43
正确答案:
A
解析:
经过一个多小时,时针与分针互换位置,那么会议开始时分针一定在时针之前。
则经过一个多小时之后,时针走过一个小角度到达分针的位置,分针走过2圈差一点的角度,到达时针的位置,此时分针与时针在相同的时间内总共走过2圈的角度,相当于一个相遇问题。
时针、分针的速度和为6+5.5=6.5度/分钟,故时针和分针用了720÷(0.5+6)≈111分钟=1小时51分走过2圈的路程。
例7:
1898年4月1日,星期五,三只新时钟被调到相同的时间:
中午12点。
第二天中午,发现A钟的时间完全准确,B钟正好快了1分钟,C钟正好慢了1分钟。
现在假设三个钟都没有被调,它们保持着各自的速度继续走而且没有停。
那么到 ,三只时钟的时针分针会再次都指向12点。
A.1900年3月20日正午12点 B.1900年3月21日正午12点
C.1900年3月22日正午12点 D.1900年3月19日正午12点
正确答案:
A
解析:
由题意:
B钟在1天的时间内快了1分钟,C钟在1天的时间内慢了1分钟,若他们时针、分针都再次指向12点,那么,B钟总共要快了12小时,C钟总共要慢了12小时,那么需要的时间为60×12=720天,由此,此题变成,1898年4月1日的720天后是几月几日?
1898年4月1日以前有31+28+31=90天,那么4月1日到年底有365-90=275天;1899年全年有365天;而1900年不是闰年,这样1900年第(720-275-365)=80天应该是3月21日,故选B。
年龄问题
解题指南:
1.年龄问题的两种基本类型:
(!
)已知二人年龄,求几年前或几年后的大年龄是小年龄的几倍:
年龄差/(倍数—1)=成倍时的小年龄
城北时的小年龄—小的现年龄=几年后的年数
小的现年龄—成倍时的小年龄=几年前的年数
(2)如果已知二人年龄之和及几年后大的是小的几倍,求现在二人的年龄各是多少:
几年后的二人年龄和/(倍数+1)=几年后的小的年龄
几年后小的年龄—几年后年数=现在小的年龄
二人年龄和—现在小的年龄=现在大的年龄
2.年龄问题的基本供述:
大年龄=(两人年龄和+两人年龄差)/2
小年龄=(两人年龄和—两人年龄差)/2
【例1】甲对乙说当我的岁数是你现在岁数时,你才4岁。
乙对甲说当我的岁数到你现在的岁数时,你将有67岁。
则甲乙现在各有几岁?
A.45岁,26岁 B.46岁,25岁 C.47岁,24岁 D48岁,23岁
解析:
设甲为x岁,乙为y岁,则列方程为y-(x-y)=4,x+(x+y)=67,解得x=46,y=25。
故选B。
【例2】祖父年龄70岁,长孙20岁,次孙13岁,幼孙7岁,问所少年后,三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等?
()
A.10 B12 C15 D20
解析:
长孙,次孙,幼孙现在的年龄和是20+13+7=40,如果设x年后三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等,则祖父的年龄增加了x岁,而三个孙子的年龄和增加了3x岁,故可列方程70+x=40+3x,可解得x=15.故选C。
注:
实际考试中可直接使用代入法。
【例3】5年前甲的年龄是乙的三倍,10年前甲的年龄是丙的一半。
若用y表示丙当前的年龄,下列哪一项能表示乙的当前年龄?
()
A.y/6+5 B.5y/3—10 C.(y-10)/3 D.3y-5
解析:
这是一道有关年龄的题目。
可以设定甲、乙的当前年龄分别为A、B,由题干可知,A—5=3(B—5);A—10=(y-10)/2。
两个式子进行联;立,可得出B=y/6+5.故选A。
[NextPage]
年龄问题是日常生活中一种十分常见的问题,也是公务员考试数学运算部分中的常见题型。
它的主要特点是:
时间发生变化,年龄在增长,但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。
解题时,我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。
解答年龄问题的一般方法:
几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
一、方程法解年龄问题
熟练掌握了年龄关系之后,便可设所求为未知数,利用上述关系列方程求解。
例1:
爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。
当爸爸的年龄是哥哥的3倍时,妹妹是9岁;当哥哥的年龄是妹妹的2倍时,爸爸34岁。
现在爸爸的年龄是多少岁?
A.34 B.39 C.40 D.42
【答案】C。
解析:
解法一:
用代入法逐项代入验证。
解法二,利用“年龄差”是不变的,列方程求解。
设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为:
x、y和z。
那么可得下列三元一次方程:
x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]。
可求得x=40。
例2:
1998年,甲的年龄是乙的年龄的4倍。
2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍。
问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?
A.34岁,12岁 B.32岁,8岁 C.36岁,12岁 D.34岁,10岁
【答案】C。
解析:
抓住年龄问题的关键即年龄差,1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍,则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄,2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍,此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄,根据年龄差不变可得
3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄
3×1998年乙的年龄=2×(1998年乙的年龄+4)
1998年乙的年龄=4岁
则2000年乙的年龄为10岁。
二、巧用年龄差求解
年龄问题中不管涉及的是多少年前还是多少年后的年龄,唯一不变的是年龄差。
所以用年龄差来做运算过程中的基准量便可以大大简化计算过程。
如果能深刻理解年龄差的作用,在面对年龄问题时,更可以瞬间找到切入点。
如下题:
10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍,15年后,吴昊的年龄是他儿子的2倍。
则现在吴昊的年龄是多少岁?
( )
A.45 B.50 C.55 D.60
解析:
由“15年后,吴昊的年龄是他儿子的2倍”可知,15年后,吴昊儿子的年龄即为2人的年龄差。
那么10年前吴昊儿子的年龄为1÷(7-1)=个年龄差,故10+15=25年,即为1-=个年龄差,年龄差为25÷=30年。
所以吴昊今年的年龄为30×2-15=45岁。
在这道题中年龄差成了一个衡量年龄的基
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