把有理函数分解成部分分式解读.docx
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把有理函数分解成部分分式解读
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SchoolofMathematicsandStatistics,Yunnan
UniverstiySchool
ofMathematicsandStatistics,YunnanUniverstiySchoolofMathematicsandStatistics,YunnanUniverstiySchoolofMathematic
sandStatistics,YunnanUniverstiySchoolofMathematicsandStatistics,YunnanUniverstiySchoolofMathematicsandStatistics,Yunn
anUniverstiy
AvecYuanhongZhi有理函数的部分分式分解
YuanhongZhi
DepartmentofMathematics,YNU
October22,2012
所谓有理函数,对一元实变量(不妨记为x函数而言,就是指能够写成
f(x=
p(xq(x
(1
的形式的函数,这里p(x,q(x均是关于x的多项式.
由于有理函数的不定积
分和定积分(以下简称积分都涉及到进行部分分式分解,所以这里给出部分分式分解的一般结论.感兴趣的同学可以参阅网址:
http:
//en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction
由于积分的线性,我们总可以把(1中的分母的最高次系数化为1.然后根据代数
基本定理,分母总可以进行如下的分解因式:
q(x=(x−a1j1···(x−amjm(x2+b1x+c1k1···(x2+bnx+cnkn
其中这里的a1,...,am,b1,...,bn,c1,...,cn都是实数,并且b2i−4ci<0,j1,...,jm,k1,...,kn
都是正整数.
于是f(x有如下的部分分式分解定理(partialfractiondecomposition:
f(x=p(xq(x=P(x+m∑i=1ji∑r=1Air(x−air+n∑i=1
k
i∑r=1Birx+Cir
(x2+bix+cir其中上式右端的P(x是根据比如多项式的长除法得出的一个(可能是零多项式,
剩下的部分就是把f(x表示成P(x加上一个真分式后对该真分式做的部分分式分
解.这里的系数Air,Bir,Cir是唯一确定的,一般在中学都学过可以使用待定系数法来确定这些系数.
下面给出一些实例来说明如何应用上面提到的分解方法,同时介绍一种比较简单
的确定系数的方法,请大家仔细研究:
(12
x2+5x+5
(x−1(x+1(x+2=Ax−1+Bx+1+Cx+2
其中待定系数A,B,C可以这样来确定:
比如想确定A,可以这样做:
首先在等式两边同乘以x−1,然后再令x=1以使得x−1=0,此时右边只剩下A,左边的分母中的(x−1已经约去了,剩下的就是
2·12+5·1+5
(1+1(1+2
=2=A,按照同样的方法就可以得到其它两个系数,最后分解的结果应
该是:
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SchoolofMathematicsandStatistics,Yunnan
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AvecYuanhongZhi2
−1x+1+
1
x+2
+
2x−1
(2
x+1
这里需要首先把分母分解因式,成为
x+1=
A+
B,按照上面提到的方法,那么A=3+13−1
=2,B=
1+1
1−3
于是最后的分解结果为:
2
x−3
−
1x−1
(3
x
这个有理函数同(2情形,先要把分母分解因式为(2x+1(x−2,
于是原式成为
x
=
A+
B,于是A=
−12
−1
2
−2,B=
2
2·2+1
于是最后结果是:
15(2x+1+
25(x−2
(4
2x2+1
这个函数分母有3个一次多项式因子,故部分分式应该有3项,即2=++,于是各系数计算过程如下:
A=2(−32+1(−3−1(−3−4,B=2·12+1(1+3(1−4,C=2·42+1
(4+3(4−1
于是得到:
−14(x−1+19
28(x+3
+
117(x−4
(51,先把分母分解因式,于是1
=1
=
A+
B+
C,同(4的计算系数方法,最后得到:
−42x+1+1
x
+
1x+1
(62
x+5x+8x+4x,把分母分解因式后得到2
x+5x+8x+4=
2
(1+x(2+x=
1+x+2+x+(2+xx
xABC,这里以多项式(2+x为底数的幂函数的次数是2,故展开后有两项.对于这种情形,计算时一般先计算A,于是A=
12
(2+(−12
再计算底数为(2+x的项中指数为2的
项的系数C.计算方法本质上同上,即:
先在两边同乘以(2+x2,然后令x=−2,于是C=
(−22
现在怎么计算B呢?
其实只要把已经算出了系数的两项移到左边
整理后,再使用前面的方法确定B即可.实际上移项的同时可以进行合并,且只需对分子整理如下:
x2−A(2+x2−C(1+x=x2−(2+x2+4(1+x=0,由此可知
B=0.从而得到:
1x+1
−
4(x+22
(7,此式的分母是以多项式(x−2为底,指数为3的幂函数,故展开后应该有3项,从而4x+3=A+B+C
计算时先计算分母的指数最大的那一项,即先确定C=4·2+3,然后把该项移到左边并整理分子成为4x+3−C=
4x−8=4(x−2,于是化简左边后得到4
(x−22
=
Ax−2+B
(x−22
此时可知B=4,A=0,
于是最终结果为:
11
(x−23
+
4(x−22
Sc
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SchoolofMathematicsandStatistics,Yunnan
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AvecYuanhongZhi3
(8x2
此式分母是两个幂函数因式的乘积,且指数都是2,所以分解为部分分式后,分母的底为(x+2的应该有2项,分母的底为(x+4的也应该
有2项,即是x2=A+B+C+D
确定系数时,也是先分别确定以(x+2和(x+4为底的项中指数最高的项的系数,也即先确定B,D,即
B=
(−22
(−2+42
D=
(−42(−4+22
然后把这两项移到左边并整理左边的分子成为x2−B(x+
42−D(x+22=−4(x+2(x+4,于是化简左边后得到
−4
(x+2(x+4
=
Ax+2
+
Cx+4
再
由前面的方法便可以确定A,C了,于是最后得到:
1(x+22
+
2x+4
+
4(x+42
−
2x+2
下面的(9(12请大家根据上面给出的方法来自己分解一下:
(9(x+1(2
x+18x3
+7
−6(2x+12+12
(2x+13
+
1x+1
(101
2
−
1(x+22
−
178(x+3
−
54(x+32
−
12(x+33
+
18(x+1
(11x4
+1
−1
x2−1
2(x+1
−
1(x+12
+
1x
+
12(x−1
(12
x3+11+
2(x−13
−
1x
+
2x−1
(131,此式分母中的两个幂函数中,一个的底为一次多项式x,对应的
指数为4,所以相应分解出分母的底为x的项应该有4项,而以(x2+1为底的
幂函数的指数是1,故分解出分母的底为(x2+1的项只有一项,并且对应的分子
应该是一个一次多项式,即是:
1=A+B+C+D+Ex+F
现在确定系数:
我们最后确定分母底为2次多项式的项的系数.先确定D=
1
02+1
=1,然后把该
项移到左边,并整理左边的分子后得到1−(x2+1=−x2,然后化简左边后得到
−1
x2(x2+1
=
Ax
+
Bx2
+
Cx3
+
Ex+Fx2+1
然后根据部分分式分解的结论知道,C=0,于是接
着就可以确定系数B了,B=−102+1
=−1,然后把这一项移到左边并整理分子得到
−1+(x2+1=x2,于是化简左边后得到
1x2+1
=
Ax+Ex+Fx2+1
于是A=0,E=0,F=1,
从而最后为:
1
x4
−
1x2
+
1x2+1
Sc
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AvecYuanhongZhi4
(14x
5−x4+x3−3x2−2x
(x−12(x2
+1
2,此式分解后得到待定系数形式如下:
x5−x4+x3−3x2−2x(x−12(x2+1
2=A
x−1+B(x−12+Cx+Dx2+1+Ex+F(x2+12
同上,我们先来确定分母底为多项式x−1的项的系数,最后才确定分母底为二
次多项式的项的系数.先确定B=
15−14+13−3·12−2·1
(12+12
=−1,然后把该项移到左边并整理左边的分子后得到x4+x3+2x2+x−1(x−1(x2+12=Ax−1+Cx+Dx2+1+Ex+F
(x2+12
然后确定A=1,再把该项移到左边并整理后得到x2+x+2(x2+12=Cx+Dx2+1+Ex+F
(x2+12
.此时本来按照常规方法需要把右边通分在比较分子的系数就可以确定余下的系数了,但是其实把左边分子分出一个x2+1再比较两边便得到C=0,D=1,E=1,F=1,于是最后有:
x+1
(x2+12
+
1x2+1
+
1x−1
−
1(x−12
(15x32x+x+3x+3,先把分母分解因式后得到部分分式分解:
x
2=
A+Bx+C
2(x+1(x+3x+1x+3,
于是A=−1
(−12+3
=
−1
4
然后左移此项并整理左边得到
1
4
(x+3x2+3
=
Bx+Cx2+3
于是最后的
结果为:
x+34(x2+3
−
14(x+1
(16
13x+1
把分母分解因式后得到如下部分分式分解:
1
2=
A+Bx+C
2(x+1(x−x+1
x+1
x−x+1,
然后先确定A,再来确定B,C,从而A=1
(−12−(−1+1
=13
然后左移此项并整理左边后得到
1
3
(−x+2x2−x+1
=
Bx+C
x2−x+1
于是得到:
2−x
3(x2−x+1
+
13(x+1
(17
1
x(x2+12
此式的部分分式分解为:
1
x(x2+12
=
Ax+Bx+Cx+1+Dx+E
(x+1222
于是A=
122
=1,左移此项后整理左边得到
−x(x2+222
=
Bx+C2+
Dx+E
22
然后把左边的
分子分解成−x(x2+1−x,最后就得到:
−xx2+1
−x
(x2+12
+
1
x
至此,大家应该对部分分式分解有比较全面的了解了吧.需要注意的是,上面
提到的确定系数的方法其实主要是对分母含有底是一次多项式的幂函数的因式(即
(ax+bn的因式时有效.对于如下的两例,还是得用经典的比较系数法来确定.
1x4+1
=1(x2+√2x+1(x2−√2x+1=x−√22√2(−x2+√2x+1+x+√22√2(x2+√2x+1
4=
(x2+√2x+1(x2−√
2x+1
=
2x2−2
√
2x+2+2x2+2√2x+2
x2+1x2+111
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