导数的求导法则切线计算.docx
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导数的求导法则切线计算
第10讲变化率与导数、导数的计算
诊断-基础知识
知识梳理
1.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=xa(aq)
f'(X)=aX1
f(x)=sinx
f,(x)=cosx
f(x)=cosx
f'(x)=—sinx
f(x)=ax
f,(x)=axlna(a>0)
f(x)=ex
f'(x)^§x
f(x)=logax
f,(x)二|
'丿xlna
f(x)=Inx
’1f,(x)=_
'1x
2.导数的运算法则
⑴[f(X)±(x)]f,(X)±,(x).
⑵[f(x)g(x)],=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
口xMxtK2 二[gx]2(g(x)工0). 3.复合函数的导数设u=v(x)在点x处可导,y=f(u)在点u处可导,则复合函数f[v(x)]在点x处可导,且f'(x)=f'(u)vv(x). [感悟提升] 1•“过某点”与“在某点”的区别 曲线y=f(x)“在点P(xo,yo)处的切线”与“过点P(xo,yo)的切线”的区别: 前者P(xo,yo)为切点,如(6)中点(1,3)为切点,而后者P(xo,yo)不一定为切点. 2.导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点,女口(4). 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式.由外向内逐层求导,其导数为 两层导数之积,如(9). 以例求法举一反三 突破-高频考点 考点一导数的计算 【例1】分别求下列函数的导数: XX (1)y=ecosx; (2)y=x—sinqcos2; ln(2x+1\ ⑶y=——. 1 1—2COSx. xx1_x—? sinx, 解 (1)y'_(ex)'cosx+^(cosx)'_e [In2x+1]'x—x'In2x+1 x 2x+1'2x,o, 2x+1X-2+门2x+1—n2x+门 _2_2 xx _2x—(2x+1)n(2x+1) =2x+1x2. 规律方法(i)本题在解答过程中常见的错误有: ①商的求导中,符号判定错误 2x+1 ②不能正确运用求导公式和求导法则,在第(3)小题中,忘记对内层函数 进行求导. (2)求函数的导数应注意: 1求导之前利用代数或三角变换先进行化简,减少运算量; 2根式形式,先化为分数指数幕,再求导. 3复合函数求导先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元处理. 【训练1】 (1)(2013江西卷改编)设函数f(x)在(0,+x)内可导,且f(ex)=x+ex,则f' (1)=. ⑵若f(x)=^/3^x+e2x,贝Uf'(x)=. 解析 (1)令ex=t,则x=Int, •'f(t)=Int+1,即卩f(x)=Inx+x. 1 因此f'(x)=(Inx+x)'=+1,于是f' (1)=1+1=2. x ⑵若f(x)=a3+2ax—x2,则f'(x)=3a2+2x.(x) (3)(教材习题改编)函数y=xcosx—sinx的导函数是y'=—xsinx.(V) ⑷[f(ax+b)]'=f'(ax+b).(x) 考点二导数的几何意义 【例2】 (1)(2013广东卷)若曲线尸kx+Inx在点(1,k)处的切线平行于x轴, 则k=. ⑵设f(x)=xlnx+1,若f'(xo)=2,贝Uf(x)在点(xo,yo)处的切线方程为 1 解析 (1)函数y=kx+Inx的导函数y'=k+x, 入 由导数y'E仁0,得k+1=0,则k=—1. (2)因为f(x)=xlnx+1, 1 所以f'(x)=Inx+x•=Inx+1. x 因为f'(xo)=2,所以Inxo+1=2,解得xo=e,所以yo=e+1. 由点斜式得,f(x)在点(e,e+1)处的切线方程为y—(e+1)=2(x—e),即2x—y—e +1=o. 答案 (1)—1 (2)2x—y—e+1=o 规律方法 (1)导数f'(xo)的几何意义就是函数y=f(x)在点P(xo,yo)处的切线的斜 率•第 (1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为o,进而构建方程,这是求解的关键,考查了分析问题和解决问题的能力. ⑵在求切线方程时,应先判断已知点Q(a,b)是否为切点,若已知点Q(a,b)不是切点,则应求出切点的坐标,利用切点坐标求出切线斜率,进而用切点坐标表示出切线方程. 【训练2】 (1)(2012新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 (2)若函数f(x)=excosx,则此函数图象在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为()• A•0B•锐角C•直角D•钝角 3 解析 (1)了=x(3lnx+1),.°y'=3lnx+1+xx=3lnx+4,「k=y'|x=1=4,入 所求切线的方程为y—1=4(x-1),即4x-y-3=0. (2)f‘(x)=excosx—exsinx=ex(cosx—sinx), •■f' (1)=e(cos1—sin1). nn ••2>1>4・而由正余弦函数性质可得cos1 •f (1)<0,即卩f(x)在(1,f (1))处的切线的斜率k<0, f•切线的倾斜角是钝角. 答案 (1)4x—y—3=0 (2)D 考点三导数运算与导数几何意义的应用 Inx【例3】(2013北京卷)设I为曲线C: y=业在点(1,0)处的切线. X ⑴求I的方程; (2)试证明: 除切点(1,0)之外,曲线C在直线I的下方. 导数几何意义 审题路线⑴求f' (1)——>点斜式求直线I的方程 转化运用导数 ⑵构建g(x)=x—1—f(x)>g(x)>0对x>0且xm1恒成立>研究函数y =g(x)的性质一获得结论解⑴设f(x)=I: X,则f'(x)=1Fx. 1—In1•••f' (1)=1=1,即切线I的斜率k=1. 由I过点(1,0),得I的方程为y=x—1. ⑵令g(x)=x—1—f(x),贝U除切点之外,曲线C在直线I的下方等价于g(x)>0(? x>0,xm1). 2 x—1+Inxg(x)满足g (1)=0,且g'(x)二1—f'(x)二x2.
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