命题定理证明.docx
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命题定理证明.docx
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命题定理证明
学大个性化辅导教案
课题
命题、定理、证明
学生姓名
学生年级
七年级
学科
数学
教师姓名
学管师姓名
咨询师姓名
上课时间
教案1()教案2()
教学目标
通过学生学习的一些命题和证明的定理,向学生介绍一些简单的逻辑知识,逻辑的概念和术语,结合学生学过的图形的性质和判定,用具体的例子说明什么是命题,命题的组成和命题的真假
教学重点/难点
重点:
注重培养学生的逻辑思维能力,对证明步骤,格式,要让学生抄写,模仿,熟悉证明的步骤与格式。
难点:
掌握一个命题,一定要分清它的题设和结论,可以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题。
教学过程
教师活动
学生活动
一、对于学生上节课的作业完成情况与完成质量进行检查,通过学生的作业了解学生在哪些方面还存在一定的欠缺,与时的进行再次讲解,让学生在知识的掌握方面无死角。
二、对于本节课的知识点进行讲解,本节课的知识点为命题、定理和证明的相关知识,主要是让学生掌握什么是命题以与命题的真假性,以与一般证明题的书写步骤,让学生先进行填空的练习,然后逐渐锻炼自己独立的进行书写。
三、对于本节课的习题进行讲解,在讲解的时候注意重点类型题的分类讲解,让学生能够掌握解决这些问题的思路和方法,这是最重要的,提高学生的分析问题和解决问题的能力。
四、对于本节课作业进行布置。
一、对于上节课的知识点和典型习题的解题方法进行与时的回顾,看看学生在哪些方面存在一定的欠缺,与时的进行讲解,让学生能够良好的进行掌握。
二、对于本节课的知识点进行理解,在理解知识点的时候一定要注意与习题的实际结合,同时对于本节课的典型例题进行练习,认真的听取老师进行讲解,与时的完善课堂笔记。
知识点总结
1、判断一件事情的句子,叫命题。
2、每个命题都是由题设,结论两部分组成的。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的未知事项。
3、如果一个命题叙述的事情是真的,那么称它是真命题;
如果一个命题叙述的事情是假的,那么称它是假命题。
4、从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理),得出它的结论成立,这个过程叫作证明
例题/课上习题
例1.判断下列语句是不是命题:
(1)线段的中点到线段两端点的距离相等;
(2)相等的两个角是对顶角;
(3)过已知直线外的任一点画已知直线的垂线;
(4)凡直角都相等;
(5)不相等的两个角不是对顶角;
(6)与两平行线中的一条相交的直线,也必与另一条相交。
思考:
1.你知道什么叫命题吗?
2.怎样判定一个句子是命题?
思路分析:
判断一件事情的句子,叫做命题。
由此可知,判定一件事情的句是否是命题,则它应该对一件事情有所肯定或否定,作出明确判断,否则,它就不是命题,根据这一分析,思路自然清晰。
解:
根据命题的定义可知:
1,2,4,5,6是命题;3不是命题。
例2.将下列各句改写成“如果……,那么……”的形式。
1.对顶角相等;
2.等角的余角相等;
3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
4.同旁内角互补,两直线平行;
5.同圆的半径相等。
思考:
1.如何把省略掉的词语重新补上?
2.根据命题你能画出图形吗?
根据图形,能
写出“如果……,那么……”的命题吗?
3.对省去“如果”、“那么”的命题如何进行分析?
思路分析:
省略掉词语的命题通常采取仔细分析,把省略掉的词语重新补上,或根据
命题画出准确图形,再根据图形,把命题完整写出来,根据这些方法研究,我们便可着手改写了。
解:
1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
2.如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等;
3.如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行;
4.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
5.如果两条半径是同圆的两条半径,那么这两条半径相等。
例3.指出下列命题的题设部分和结论部分
1.直角都相等;
2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;
3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;
4.锐角大于它的补角;
5.大于90°而小于180°的角是钝角;
6.两个角的和等于平角时,这两个角互为补角。
思考:
1.每个命题都由哪两部分组成?
请你说出来。
2.题设表示什么意思?
结论
表示什么意思?
3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢?
能否改写成“如果……那么……”形式呢?
4.命题的题设与结论不好用文字叙述时,可否用符号写出题设与结论呢?
又如何表示?
思路分析:
解答这类问题,必须弄清命题由哪两部分组成,进一步弄明白题设与结论所表示的意思。
便可找出题设与结论。
对省略掉词语的命题应先设法补上,再着手找题设与结论。
命题的题设与结论不好用文字叙述时,要用符号写出题设和结论,但必须说明符号所表示的意义。
根据上述分析,便可找出1~6题的题设部分和结论部分。
解:
1.题设:
两个角都是直角;
结论:
这两个角相等。
2.题设:
互为邻补角的两个角的两条平分线;
结论:
这两个角平分线互相垂直。
3.题设:
直线外一点与直线上各点连结的所有线段;
结论:
垂线段最短。
4.题设:
∠
是∠
的补角,且90°<∠
<180°;
结论:
∠
>∠
。
5.题设:
90°<∠
<180°;
结论:
∠
是钝角。
6.题设:
两个角的和等于平角;
结论:
这两个角互补。
例4.判断下列命题的真假,如果是假命题,请说明理由。
1.两点之间,线段最短。
2.如果一个数的平方是9,那么这个数是3。
3.同旁内角互补。
4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行。
5.如果a+b=0,那么a=0,b=0。
6.两个锐角的和是锐角。
思考:
1.什么叫命题?
2.什么叫真命题?
3.什么叫做假命题?
4.判别假命题的方法是
什么?
请你叙述。
思路分析:
要判定一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例)即可。
于是以上各
题真假便眉目分明了。
解:
1.真命题,这是关于线段的一个公理。
2.假命题,因为一个数的平方是9,这个数也可能是-3。
3.假命题,任意二条直线被第三条直线所截,都有同旁内角产生,只有两条平行线被第三直线所截,才有同旁内角互补的结论。
4.假命题,如果这个点在已知直线上,就无法作出一条直线与已知直线平行。
5.假命题,如果a=2,b=-2,2+(-2)=0,但a=2≠0,b=-2≠0。
6.假命题,如60°和50°的角都是锐角,但它们的和是钝角。
例5.区分下列语句中,哪些是定义,哪些是公理,哪些是定理:
1.经过两点有一条直线,并且只有一条直线;
2.两点之间,线段最短;
3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;
4.对顶角相等;
5.垂线段最短。
思考:
1.定义,公理,定理的内容你知道吗?
2.定义,公理,定理有何区别?
思路分析:
只要理解定义,公理,定理的意义,便可一一区分谁是定义,谁是公理,谁是定理。
解:
(1)、
(2)是公理;(3)是定义;(4)、(5)是定理。
课后习题
一、填空题:
1.命题常写成“如果……,那么……”的形式,在这种形式中,用“”开始的部分
是题设,用“”开始由部分是结论。
2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”
的形式为。
3.已知∠AOB为锐角,直线l1⊥OA,直线l2⊥OB,那么l1
和l2的关系为。
4.如图14所示,直线l∥m,若∠
=70°,则∠
=。
图14
5.如图15所示,a∥b,∠1-2∠2=60°,则∠1=;∠2=。
6.“同位角相等,两直线平行”这个命题中题设是。
7.“过两点有且只有一条直线”是。
8.叫做命题,每个命题都是
由;两部分组成。
图15
9.如果题设成立,那么结论也成立,这样的命题叫做。
10.证明一个命题的步骤是:
①根据题意;
②根据题设、结论、结合图形,写出;。
③经过分析,找出由推出的途径,写出。
二、选择
11.下列语句中,不是命题的是。
A.两点之间,线段最短;
B.对顶角不相等;
C.连结A、B两点;
D.不重合的两条直线有一个交点。
12.给出下列四个命题:
①同角的余角相等;②相等的角是对顶角;③垂直于同一条直线的两条直线平行;④
平行于同一条直线的两条直线垂直。
其中真命题有。
A.1个;B.2个;C.3个;D.4个。
13.如图16,下列推理中正确的是。
A.∵∠1=∠2,∴AB∥CD
B.∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AD∥BC
C.∵AD∥BC,∴∠3=∠4
D.∵∠ABC=∠ADC,∠1=∠2,∴AB∥CD
14.下列命题,正确的是。
图16
A.如果∠
=180°-∠
,则∠
是补角;
B.如果∠
+∠
=90°则∠
是余角;
C.40°角是50°的余角;
D.余角是补角的一半。
15.将命题“对顶角相等”改成“如果……,那么……”的形式正确的是。
A.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;
B.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
C.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;
D.如果两个角不是对顶角,那么这两个角不相等。
16.下列语句是命题的是。
(1)过一点作直线的垂线;
(2)如果a∥b且b∥c,那么a∥c;
(3)∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1=∠3;
(4)同位角互补,两直线平行。
A.
(2);B.
(2)、(3);C.
(2)、(3)、(4);D.
(1)、
(2)、(3)、(4)
17.下列命题,正确的是。
A.两锐角的和是直角;
B.若∠AOB+∠BOC=90°,则∠AOC是直角;
C.若∠
是∠
的邻补角,则∠
与∠
中一定有一个是钝角,一个是锐角;
D.若∠
与∠
互为余角,则∠
、∠
均为锐角。
18.下列命题是假命题的是。
A.垂线段最短;B.对顶角相等;C.同位角相等;
D.一个锐角的补角大于这个锐角。
19.下列命题中,假命题是。
A.没有公共点的两条直线必定平行;
B.同一平面内,l1⊥l2,垂足为A,l2⊥l垂足为B,A、B两点不重合,那么l1⊥l;
C.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;
D.两条平行直线被第三条直线所截,那么同位角的角平分线平行。
20.下列四个命题中,真命题是。
A.如果一个角有补角,则这个角必是钝角;
B.如果一个角有余角,则这个角必是锐角;
C.互补的两个角一定是邻补角;
D.如果∠1+∠2+∠3=180°,那么∠1,∠2,∠3互补。
三、解答题
21.根据下列命题,画出图形,并写出已知和求证:
(1)邻补角的平分线互相垂直;
(2)两直线平行,内错角相等。
22.已知点C,C′分别是AB、
A′B′的中点,AC=A′C′,
求证:
AB=A′B′。
23.已知AC⊥BC,∠ACD=∠CDE,图17
求证:
DE⊥BC。
(如图17所示)图18
24.(如图18所示)已知∠1+∠2=180°,
求证:
∠3+∠4=180°。
25.(如图19所示)AB∥CD,E、F分别与AB、CD交于G、H,MN过点G垂直于AB,GK是∠MGB的平分线,
∠CHG=120°,求∠MGE和∠KGE的度数。
26.已知:
如图20,AB∥DC,AD∥BC,图19图20
∠1=30°,∠2=38°,求∠3的度数。
27.已知:
如图21所示,BE平分∠ABC,
∠CBF=∠CFB=65°,∠EDF=50°,
求证:
BC∥AE。
28.已知:
如图22所示,AC∥DE,DC∥EF,
CD平分∠BCA,求证:
EF平分∠BED。
图21图22
29.图23,已知AD⊥BC于D,EF⊥BC
于F,∠E=∠3,求证:
AD平分∠BAC。
30.已知,如图24,∠COF+∠C=180°,
∠C=∠B,求证:
AB∥EF。
四、同步题库
一、填空题:
图23图24
1.如果,那么;2.如果两个角是等角,那么这两个角相等;3.相交;4.50°;
5.140°,40°;6.同位角相等;7.公理;8.判断某一件事情的句子,题设,结论;9.真命题;10.①画出图形;②已知、求证;③已知,求证,证明的过程。
二、选择题
11.C;12.B;13.D;14.C;15.B;16.C;17.D;18.C;19.A;
20.B。
三、解答题
21.
(1)已知如图25,∠AOC与∠BOC为邻补角,OD为∠AOC平分
线,OE为∠BOC平分线,求证:
OD⊥OE。
图25
(2)已知如图26,直线a∥b,求证:
∠1=∠2。
22.证明:
∵C为AB中点(已知)
∴AC=
AB(中点定义)
∵C′为A′B′中点(已知)
∴A′C′=
A′B′(中点定义)图26
∵AC=A′C′(已知)
∴
AB=
A′B′(等量代换)
∴AB=A′B′(等式性质)
23.证明:
∵∠ACD=∠CDB(已知)
∴AC∥DE(内错角相等,两直线平行)
∴∠DEB=∠ACB(两直线平行,同位角相等)
∵AC⊥BC(已知)
∴∠ACB=90°(垂直定义)
∴∠DEB=90°(等量代换)
DE⊥BC(垂直定义)
24.证明:
∵∠2+∠5=180°(邻补角定义)
∠1+∠2=180°(已知)
∴∠1=∠5(等角的补角相等)
∴a∥b(同位角相等、两直线平行)
∴∠3=∠6(两直线平行,同位角相等)
∵∠6+∠4=180°(邻补角定义)
∴∠3+∠4=180°(等量代换)
25.解:
∵MN⊥AB(已知)
∴∠MGB=90°=∠AGM(垂直定义)
∵GK平分∠MGB(已知)
∴∠MGK=
∠MGB=45°(角平分线定义)
∵AB∥DC(已知)
∴∠AGE=∠CHG=120°(两直线平行,同位角相等)
∴∠MGE=∠AGE-∠AGM=30°
∴∠KGE=∠KGM-∠MGE
=45°-30°=15°
26.解:
∵AB∥DC(已知)
∴∠2=∠4=38°(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=30°(已知)
∴∠1+∠4=68°=∠A
∵AD∥BC(已知)
∴∠3=∠A=68°(两直线平行,同位角相等)
27.证明:
∵BE平分∠ABC(已知)
∴∠ABE=∠EBC
∠ABC=2∠ABE(角平分线定义)
∵∠CBF=∠CFB=65°(已知)
∴∠FBA=∠CFB=65°
∴AB∥DC(内错角相等,两直线平行)
∴∠EDF=∠A(两直线平行,同位角相等)
∵∠EDF=50°(已知)
∴∠A=50°(等量代换)
∴∠A+∠ABC=50°+130°=180°
∴BC∥AE(同旁内角互补,两直线平行)
28.证明:
∵AC∥DE(已知)
∴∠ACD=∠EDC(两直线平行,内错角相等)
∵DC∥EF(已知)
∴∠DCE=∠BEF(两直线平行,同位角相等)
∠EDC=∠FED(两直线平行,内错角相等)
∵DC平分∠BCA(已知)
∴∠ACD=∠DCB(角平分线定义)
∴∠FED=∠BEF(等量代换)
∴EF平分∠BED(角平分线定义)
29.证明:
∵EF⊥BC,AD⊥BC(已知)
∴EF∥AD(垂直于同一条直线的两条直线平行)
∴∠1=∠E(两直线平行,同位角相等)
∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵∠E=∠3(已知)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴AD平分∠BAC(角平分线定义)
30.证明:
∵∠EOF=∠C=180°(已知)
∴EF∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
∵∠C=∠B(已知)
∴AB∥DC(内错角相等,两直线平行)
∴AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)
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