高考数学知识模块复习指导学案直线与圆docx.docx
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高考数学知识模块复习指导系列学案
直线与圆
【考点梳理】
一、考试内容
1.有向线段。
两点间的距离。
线段的定比分点。
2.直线的方程。
直线的斜率。
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。
宜线方程的一般式。
3.两条直线平行与垂直的条件。
两条直线所成的角。
两育线交点。
点到直线的距离。
4.圆的标准方程和一般方程。
二、考试要求
1.理解有向线段的概念。
掌握有向线段定比分点处标公式,熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。
2.理解直线斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式。
熟练掌握直线方程的点斜式,掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。
能够根据条件求出直线的方程。
3.掌握两条直线平行与垂直的条件,能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系。
会求两条相交直线的夹角和交点。
掌握点到直线的距离公式。
4.熟练掌握圆的标准方程和一般方程。
能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。
掌握直线和圆的位置关系的判定方法。
三、考点简析
1.有向线段。
有向线段是解析几何的基本概念,可用有向线段的数量来刻划它,而在数轴上有向线段AB的数量AB=xb-xAo
2.两点间的距离公式。
不论A%,yd,B(x2,yd在坐标平面上什么位置,都有d二|AB|二J(兀1一尤2)2+()'1—儿)2,特别地,与处标轴平行的线段的长|AB|=|x2-Xi|或
|AB|=|y2-yi|o
3.定比分点公式。
定比分点公式是解决共线三点A(xnyi),B(X2,丫2),P(x,y)之间数量关系的一个公式,其中入的值是起点到分点,分点到终点的有向线段的数量Z比。
这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后入的值也就随Z确定了。
若以A为起点,B
x=为终点,P为分点,则定比分点公式是<
)'=
X=
中点公式是<
4•直线的倾斜角和斜率的关系
(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率。
(2)斜率存在的直线,其斜率k与倾斜角aZ间的关系是k=tan□0
5.确定青线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y=kx+b
k——斜率b——纵截距
倾斜角为90°的直线不
能用此式
点斜式
y-y0=k(x-x0)
(X。
,Yo)直线上
已知点,k——斜率
倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式
)'一升_兀一坷
(Xl,Yl),(X2,丫2)是直线上
两个匕知点
与两坐标轴平行的直线不能用此式
V:
Vi心-\
截距式
xy-+—=1ah
a——育■线的横截距b——虫线的纵截距
过(0,0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
Ax+By+C=0
ACC八口[业
一一,一一,一一分别为
BAB
斜率、横截距利纵截距
A、B不能同吋为零
6.平面上直线与二元一次方程是一一对应的。
7.两条育线的夹角。
当两育线的斜率灯k2都存在且灯・1<2工J时,tan4爲—何,
1+k}k2当直线的斜率不存在时,可结合图形判断。
另外还应注意到:
“到角”公式与“夹角”公式的区别。
&怎么判断两育线是否平行或垂直?
判断两直线是否平行或垂直时,若两丸线的斜率都存在,可以用斜率的关系來判断;若立线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件來判断。
(1)斜率存在且不重合的两条直线/「尸kiX+6,l2:
y=k2x+b2f有以下结论:
®/i〃心Oki=k2
②k丄boki・k2=-1
(2)对于直线/「Aix+Bp+Ci二0,/2:
A2x+B2y+C2=0,当A2,BnB?
都不为零时,有以
下结论:
1/〃2O△■且工2
A2B2C2
2/1丄/2<=>A!
A2+B1B2=O
AR
3/1与/2相交O二工」
儿B,
JJ
9.点到直线的距离公式。
(1)己知一点P(Xo,yo)及一条直线/:
Ax+By+C=0,则点P到直线/的距离
I+By。
+CI
\C-CI
(2)两平行直线/i:
Ax+By+Ci=0,/2:
Ax+By+C2=0之间的距离d=17a2+B2
10.确定恻方程需要有三个互相独立的条件。
恻的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围。
(1)圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径;
nE
(2)圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心朋标为(•一,・一),半径为
22
Vo2+£2-4F
r=
2
11.直线与圆的位置关系的判定方法。
(1)法一:
直线:
Ax+By+C=0;圆:
x2+y2+Dx+Ey+F=0o
Ax+By+C=0
x2+y2+Dx+Ey+F=0
A>0O和交消元>一元二次方程刿别式》」△=0o相切
△=7,-4acA<0o相离
(2)法二:
直线:
Ax+By+C=0;圆:
(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到直线的距离为
\Aa+Bb+C\
Va2+B2
d〉厂o相离
> dv厂o相交 12.两圆的位置关系的判定方法。 设两I员1圆心分别为6、02,半径分别为rnr2,|0】。 2|为圆心距,则两圆位置关系如下: 10102|>rx+r2O两圆外离; 101021=ri+r2<»两圆外切; Irrr21<10i021 I0i02|=|rrr21O两圆内切; 0<|0i02|<|rrr21<=>两圆内含。 四、思想方法 1.公式法。 求宜线和圆的方稈要止确运用公式解题。 各种位置关系的判断要灵活使用各种结论。 2.数形结合思想。 解题时重视方程的儿何意义和图形的辅助作川是非常必要的。 即: 将对几何图形的研究,转化为对代数式的研究,同时又要理解代数问题的几何意义。 【例题解析】 例1己知I员l(x+4)%2=25的圆心为圆(x・4)2+y2“的圆心为g,—动圆与这两个圆都外切。 (1)求动圆圆心P的轨迹方程; (2)若过点M2的直线与 (1)中所求轨迹有两个交点A、B,求|AMJ・IBMJ的取值范围。 解 (1)V|PM1|-5=|PM2|-1,AIPMJ・|PM2|=4 ・••动I员II员1心P的轨迹是以Mi、M2为焦点的双曲线的右支。 c=4,a=2,b2=12, 故所求轨迹方程为匸一二二1(x$2)。 412 TT (2)当过“2的直线倾斜角不等于一时,设其斜率为k, 2 直线方程为y二k(x・4) 与双曲线3x2-y2-12=0联立,消去y化简得 (3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 乂设A(Xi,yj,B(X2,丫2),Xi>0,x2>0 如 心2二口〉° 111 16宀12门 x.x9=——>0 1-k2-3 △二64k4+16(3")(4/+3)>0 解得k2>3o 山双曲线左准线方程且e=2,有 |AMi|・|BMi|=e|xi+l|・e|x2+l| =4[x1x2+(xi+x2)+l]16jt2+12Sk2、 =4+———+1 k2-31_3 336 =100+—— —3 Vk2-3>0,A|AM1|X|BMi|>100 TT 又当直线倾斜角等于一时,A(4,%),B(4,y2), 2 |AM1|=|BMi|=e(4+l)=10 IAMJ・|BMi|=100 故|AMi|・IBMJ^lOOo 例2如图9」已知恻C: (x+4)2+y2=4o圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。 圆D与y轴交于A、B两点,点P为(・3,0)o (1)若点[)朋标为(0,3),求ZAPB的正切值; (2)当点D在y轴上运动时,求ZAPB的瑕大值; (3) 在x轴上是否存在定点Q,当圆D在y轴上运动时,ZAQB是定值? 如果存在,求出点Q坐标;如果不存在,说明理由。 图9-1 图9・2 解 (1)V|CD|=^|CO|2+|OD|2=5,(0为原点)且E1D与圜C外切, ・••圆D半径r=5-2=3, 此吋,A、B坐标分别为(0,0)、(0,6), ・・・PA在x轴上,且BP的斜率k=2, .*.tanZAPB=2o (2)如图9-2,设D的处标为(0,a),圆D的半径为r,贝lj(r+2)2=16+a2o① 设PA、PB的斜率为灯、k2,乂A、B的坐标分别为(0,a・r)、(0,a+r)。 贝U a-rd+r k]二9k? 二9 33 a+ra-r oo6r •••tanZAPB=—一=———-——② ]IQ+厂Q-厂茁—厂+9 "33_ XQQ 由①解出『代入②,得tanZAPB=—=-+,而8「6为单调增函数,rE[2,+ 4r-328r-6 312 •••tanZAPBe(-,—1 25 12 ZAPB的最人值为arttan一。 5 (3)假设存在Q点,设Q(b,0),QA、QB的斜率分别为灯,k2,则k产纟工,k2=-^ -b-b \+k2k}j+a+ra-rb2+a2-r -b-b 将a2=(r+2)2-16代入上式,得 欲使ZAQB大小与r无关,则应有b2=12,即b=±2V3, 此时tanZAQB=V^,ZAQB=60°。 ・•・存在Q点,当圆D变动时,ZAQB为定值60°,这Q点处标为(±2侖,0)。 例3设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0(a<9),C、D点所在直线/的斜率为丄。 (1)求外接圆圆心M点的朋标及正方形对角线AC、BD的斜率; (2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点,以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线/的方程; (3)如果ABCD的外接圆半径为2V5,在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴 的抛物线上,求此抛物线的方程及直线/的方程。 解 (1)rtl(x-3)2+y2=9-a(a<9)»J知圆心M的坐标为(3,0),依题意: 解得1心亍kBD么 (2)设MB、MA的倾斜角分别为()“()2,则tan()讦2,tan02=- 设抛物线方程为y2=2px(p>0),由于A,B两点在抛物线上, (^-r)2=2p(3-|V5r), <二>解出: r=a/5,p=—o (|V5r)2=2/H3+^r)2 、JJ 得抛物线方程为y2=xo 由此可知A点坐标为(1,1),且A点关于M(3,0)的对称点C的坐标是(5,-1), ・•・直线/的方程为丫・(-1)=-(x-5), 3 即x-3y-8=0o (3)将圆方程(x-3)2+y2=(275)2分别与AC、BD的直线方程: y=--(x-3),y=2(x-3)联立,可解得A(-l,2),B(5,4)。 2 设抛物线方程为y2=a(x-m)(*) 将A(-l,2)、B(5,4)的坐标代入(*),得 (4=a(-l-fti) [16=a(5-m) 解得: a=2,m=-3, ・••抛物线的方程为y2=2(x+3)o A(-l,2)点关于M(3,0)的对称点为C(7,・2), 故直线/的方程为y-(-2)=-(x-7),即x-3y-13=0o 例4如图93已知: 射线OA为y=kx(k>0,x>0),射线OB为y=-kx(x>0),动点P(x,y)在ZAOx的内部,PM1OA于M,PN丄0B于N,四边形ONPM的面积恰为k. (1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式; (2)根据k的取值范围,确定y二f(x)的定义域。 解 (1)设M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0)。 kx+y Ti+P 则|OM|=aJl+T,|ON|=bVl+^2o由动点P在ZAOx的内部,得0 |PM|= \kx-y\kx-yJl+k271+P ••S四边形oNPM二Saonp+S^OPM =-(|OM|・|PM|+|ON|・|PN|)2—[a(kx-y)+b(kx+y)] 2 =—[k(a+b)x-(a-b)y]=k 2 k(a+b)x-(a-b)y=2k① n1y-ka,1y+kb 乂由kpM-——二kpN二一=, kx-akx-h 分别解得古半,b二 1+«2屮2 代入①式消a、b,并化简得x2-y2=k2+lo •*y>0»/*y=yX~—k~—\ 当k ・・.(*)Ox>"。 \-k2 ・・・(*)o k2+1k2+1 当k—不等式②得X—r<。 .\(*) 但垂足N必须在射线OB上,否则0、N、P、M四点不能组成四边形,所以还必须满足条件 “将它代入函数解析式’得 综上: 当kJ时,定义域为{x|x>V2}; 例5己知函数f(x)=x2-l(x>l)的图像为G,曲线C2与Ci关于直线y二x对称。 (1)求曲线C2的方程y=g(x); (2)设函数y==g(x)的定义域为M,Xi,x2^M,且XiHx2,求证|g(xi)-g(x2)|<|xi-x2|; (3)设A、B为曲线C2上任意不同两点,证明直线AB与直线y二x必相交。 解 (1)曲线G和C2关于直线y二x对称,贝【Jg(x)为f(x)的反函数。 Vy=x2-1,x2=y+l,乂x>l 则曲线C2的方程为g(x)=Jx+1(x20)。 (2)设Xi,x2^M,且X1HX2。 则Xi*X2^Oo乂X2NO, W<|xi-x2| 2 (3)设A%,%)、B(x2,y2)为曲线C2上任意不同两点。 xnX2^M,且X1HX2, 由 (2)知,|如=|丛二^|=座上丛型 X]—兀? IX)-X2I ・・・直线AB的斜率%1工1,乂直线y=x的斜率为1, ・°・直线AB与真线y二x必相交。 例6已知00'过定点A(0,p)(p>0),恻心0’在抛物线x=2py±运动,MN为圆0’截 x轴所得的弦,令|AM|=di,|AN|=d2,ZMAN=0o (1)当O'点运动时,|MN|是否有变化? 并证明你的结论; ⑵求沪牛的最大值,并求取得最大值的呃 图9-4 解⑴设O'(Xo,yo),! 4lJxoJ2pyo(yo20),G>0‘的半径|0'A|=J兀: +(儿-,如的方程(x-xo)2+(y-yo)2=xo2+(yo-p)2<>令y二0,并把x02=2py0代入得x2-2xox+xo2-p2=O,解得xM=x0-p,Xn=Xo+p,AIMN|=|xN-xM|=2p为定值。 (2)VM(x0-p,0),N(x°+p,0)di=p2+(x0-p)2,d2=^p2+(Xo+p)~,则 di^+d22=4p2+2xg2>d]d2=J4p“+X; .,£_d;+d;_4/异+2对_2”2//+坊尸 d\〃2d4V4p+球 当且仅当x02=2p2,即x=±V2p,y。 二p时等号成立,・・・乞+血的最大值为2迈。 d2/ 此时OB|=|MB|=|NB|(B为MN中点),乂0’M=0zN, .••△o'MN为等腰直角三角形,ZM0fN=90°,贝00=-ZM0,N=45°。 2 例7 已知函数y=log2J—(neN)o 解原函数可化为: y=—log(Xo ⑴小寸,可求得吩几即施)气中 ・仙是以舁首项,舁公比的等比数列。 因此AnBn中点C到y轴距离——=H, 22 ・••以C为圆心、AnBn为直径的圆必与定直线y轴相切,这条定直线的方程为x=0。 山点C的纵坐标为0,可知从点C到y轴作垂线的垂足就是原点,即切点,所以切点坐标为(0,0))o 例8自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程。 (2989年全国高考数学试题) 解法一已知圆的标准方程是 (x-2)2+(y-2)2=l,它关于x轴的对称圆的方程是(x・2)2+(y+2)Jl。 设光线L所在的立线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题设知对称圆的圆心L(2,-2)到这条直线的距离等 .丁即昇"整理得i2l? +25k+12=0,解得k=--或1<=•工。 故所求直线方程是 y-3=-—(x+3),或y-3=-—(x+3),即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0□ 33 解法二已知圆的标准方程^(x-2)2+(y-2)2=l,设交线L所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题意知kHO,于是L的反射点的处标是,0),因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L'所在立线的方程为尸・k(x+3(l+")),即 y+kx+3(l+k)=0o这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为1,即d=,+5=lo以J1+T 下同解法一。 例9设圆满足: ①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3: 1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线1: x-2y=0的距离最小的圆的方程。 (1997年全国高考数学试题) 解法一设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分別为|b|,|a|0由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90。 ・••圆P截x轴所得的弦长为V2r,i'^r2=2b2o又圆P截y轴所得的的弦长为2,所以有r2=a2+loAlO2b2-a2=lo又点P(a,b)到直线x-2y=0 \ci=b[a=1 时,上式等号成立,从而要使d取得最小值,则应有2宀2J解此方程组得匸或 CI o乂由『=2圧知r=5/2o于是,所求圆的方程^(x-l)2+(y-l)2=2或(x+lf+W+l)~2。 b=-1 将a2=2b2-l代入①式,整理得2b2±4V5bd+5d2+l=0②把它看作b的二次方程,由于 方程有实根,故判别式非负,即厶=8(5d2-l)^0,得5d2>lo所以5d? 有最小值1,从而d有 最小值一亠。 将其代入②式得2b'±4b+2=0,解了b=±lo将b=±1代入r2=2b2得r2=2,由r2=a2+l5 得a=±l0综上a=±l,b=±l,r2=2o山|a-2b|=l知a,b同号。 于是,所求圆的方程^(x-l)2+(y-l)2=2或(x+l)2+(y+l)2=2o
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