固体物理黄昆答案.docx
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固体物理黄昆答案
固体物理黄昆答案
【篇一:
黄昆版固体物理学_答案1】
>黄昆原著韩汝琦改编(陈志远解答,仅供参考)
第一章晶体结构
1.1、
解:
实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此,可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积v所得到的小球总体积nv与晶体原胞体积vc之比,即:
晶体原胞的空间利用率,x?
(1)对于简立方结构:
(见教材p2图1-1)
nv
vc
43
?
r,vc=a3,n=13
4343?
r?
r
?
∴x?
?
?
?
0.526a38r3
a=2r,v=
(2)对于体心立方:
晶胞的体对角线bg=3a?
4r?
a?
n=2,vc=a3
4x3
2?
∴x?
434?
r2?
?
r3
3?
?
?
?
0.688a343
(r)3
(3)对于面心立方:
晶胞面对角线bc=2a?
4r,?
a?
22rn=4,vc=a3
444?
?
r34?
?
r3
233x?
?
?
?
?
0.7433
6a(22r)
(4)对于六角密排:
a=2r晶胞面积:
s=6?
s?
abo?
6?
晶胞的体积:
v=s?
c?
a?
asin60332
=a22
3328
a?
a?
32a3?
242r323
n=1212?
11
?
2?
?
3=6个62
43?
r
23x?
?
?
?
0.743
6242r
6?
(5)对于金刚石结构,晶胞的体对角线bg=3a?
4?
2r?
a?
8rn=8,vc=a3
1
8?
x?
434?
r8?
?
r3
?
33?
?
?
0.346a3833
r33
c81/2
?
()?
1.633a3
证明:
在六角密堆积结构中,第一层硬球a、b、o的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形,第二层硬球n位于球abo所围间隙的正上方并与这三个球相切,于是:
na=nb=no=a=2r.
即图中nabo构成一个正四面体。
…
1.3、证明:
面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子是面心立方。
1.2、试证:
六方密排堆积结构中
?
?
a?
?
?
a1?
2(j?
k)?
?
?
a?
?
证明:
(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):
?
a2?
(i?
k)
2?
?
?
a?
?
?
a3?
2(i?
j)?
?
2?
?
?
由倒格子基矢的定义:
b1?
(a2?
a3)
?
0,
a?
?
?
?
?
?
a1?
(a2?
a3)?
2a,2
a,20,a,2
a?
i,2
aa3a?
?
?
,a2?
a3?
242
a
0,
2
?
j,0,a,2
?
k
aa2?
?
?
?
(?
i?
j?
k)240
?
4a2?
?
?
2?
?
?
?
?
b1?
2?
?
3?
(?
i?
j?
k)?
(?
i?
j?
k)
a4a
?
2?
?
?
?
b2?
(i?
j?
k)
a
同理可得:
即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
?
2?
?
?
?
b3?
(i?
j?
k)
a
所以,面心立方的倒格子是体心立方。
?
?
a?
?
?
?
a1?
2(?
i?
j?
k)?
?
?
a?
?
?
(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):
?
a2?
(i?
j?
k)
2?
?
?
a?
?
?
?
a3?
2(i?
j?
k)?
2
?
2?
?
?
由倒格子基矢的定义:
b1?
(a2?
a3)
?
aaa?
?
?
?
,
i,j,k222
aaaa3?
?
?
aaaa2?
?
?
?
?
?
?
a1?
(a2?
a3)?
?
?
,a2?
a3?
?
?
(j?
k)
22222222aaaaaa,,?
,?
222222?
2a2?
?
2?
?
?
?
b1?
2?
?
3?
(j?
k)?
(j?
k)
a2a
?
2?
?
?
b2?
(i?
k)
a
同理可得:
即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
?
2?
?
?
b3?
(i?
j)
a
所以,体心立方的倒格子是面心立方。
?
?
?
?
1.5、证明倒格子矢量g?
h1b1?
h2b2?
h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。
证明:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?
a?
?
?
?
aa3312
?
cb?
?
,g?
h1b1?
h2b2?
h3b3因为ca?
h1h3h2h3
?
?
?
?
?
gh1h2h3?
ca?
0?
?
利用ai?
bj?
2?
?
ij,容易证明?
?
?
?
?
gh1h2h3?
cb?
0?
?
?
?
所以,倒格子矢量g?
h1b1?
h2b2?
h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系,面间距d满足:
d?
a(h?
k?
l),其中a为立方边长;并说明面指数简单的晶面,其面密度较大,容易解理。
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解:
简单立方晶格:
a1?
a2?
a3,a1?
ai,a2?
aj,a3?
ak
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a2?
a3a3?
a1a1?
a2
由倒格子基矢的定义:
b1?
2?
,b2?
2?
,b3?
2?
a1?
a2?
a3a1?
a2?
a3a1?
a2?
a3
3
?
2?
?
?
2?
?
?
2?
?
倒格子基矢:
b1?
i,b2?
j,b3?
k
aaa?
?
?
?
?
2?
?
2?
?
2?
?
倒格子矢量:
g?
hb1?
kb2?
lb3,g?
hi?
kj?
lk
aaa
晶面族(hkl)的面间距:
d?
?
2?
g
1
hkl()2?
()2?
()2aaa
a2
d?
2
(h?
k2?
l2)
2
面指数越简单的晶面,其晶面的间距越大,晶面上格点的密度越大,单位表面的能量越小,这样的晶面越容易解理。
1.9、画出立方晶格(111)面、(100)面、(110)面,并指出(111)面与(100)面、(111)面与(110)面的交线的晶向。
解:
(111)
?
?
?
1、(111)面与(100)面的交线的ab,ab平移,a与o点重合,b点位矢:
rb?
?
aj?
ak,?
?
?
?
?
?
(111)面与(100)面的交线的晶向ab?
?
aj?
ak,晶向指数[0。
(111)
2、(111)面与(110)面的交线的ab,将ab平移,a与原点o重合,b点位矢:
rb?
?
ai?
aj,(111)面
?
?
?
?
?
?
?
?
?
与(110)面的交线的晶向ab?
?
ai?
aj,晶向指数。
4
第二章固体结合
2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数(?
?
2ln2)和库仑相互作用能,设离子的总数为2n。
<解>设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键,取任一负离子作参考离子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取,即遇正离子取正号,遇负离子取负号),用r表示相邻离子间的距离,于是有
?
r
?
?
?
j
(?
1)1111
?
2?
?
?
?
...]rijr2r3r4r
前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子,一个在参考离子左面,一个在其右面,故对一边求和后要乘2,马德隆常数为111
?
?
2[1?
?
?
?
...]2342
xx3x4
?
?
n(1?
x)?
x?
?
?
?
...
x34
当x=1时,有1?
111
?
?
?
...?
?
n2?
?
?
?
n234
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为u(r)?
?
?
rm
?
?
rn
试求:
(1)平衡间距r0;
(2)结合能w(单个原子的);
(3)体弹性模量;
5
【篇二:
黄昆着固体物理习题解答】
ss=txt>12
?
?
,使用德拜模型求晶体的零点振动能。
证明:
根据量子力学零点能是谐振子所固有的,与温度无关,故t=0k时振动能e0就是各振动模零点能之和。
e0?
?
98
?
m0
e0?
?
?
g?
?
?
d?
将e0?
?
?
?
12
?
?
和g?
?
?
?
3v2?
s
2
3
2
?
代入积分有
e0?
3v16?
s
2
3
?
m?
4
?
n?
m,由于?
?
m?
kb?
d得e0?
98
nkb?
d
一股晶体德拜温度为~102k,可见零点振动能是相当大的,其量值可与温升数XX所需热能相比拟.2,根据k?
?
?
a
状态简并微扰结果,求出与e?
及e?
相应的波函数?
?
及?
?
?
,并说明它们
2
的特性.说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布<解>令k?
?
?
a
说明能隙的来源(假设vn=vn*)。
,k?
?
?
?
a
00
,简并微扰波函数为?
?
a?
k(x)?
b?
k(x)
?
e0(k)?
e?
a?
vn*b?
0?
?
0vna?
?
取e?
e?
e?
k?
?
?
e?
?
?
b?
0
带入上式,其中e?
?
e0(k)?
vn
v(x)0,vn?
0,从上式得到b=-a,于是
?
?
n?
n?
?
ix?
?
iaxn?
a
?
?
?
a?
?
(x)?
?
(x)e?
e=x?
?
?
a?
k
0k?
取e?
e?
,e?
?
e0(k)?
nvna?
?
vnb,得到
a?
b
?
?
n?
n?
?
ix?
?
iaxn?
a
?
?
?
a?
?
(x)?
?
(x)e?
e=x?
?
?
a?
k
0k?
由教材可知,?
?
及?
?
均为驻波.在驻波状态下,电子的平均速度?
(k)为零.产生驻波因为电子波矢k?
n?
a
时,电子波的波长?
?
2?
k
?
2an
,恰好满足布拉格发射条件,这
时电子波发生全反射,并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同,所以对应不同代入能量。
3,马德隆常数的计算
<解>设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键,取任一负离子作参考离子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取,即遇正离子取正号,遇负离子取负号),用r表示相邻离子间的距离,于是有
?
r
?
?
j
1111?
(?
1)
?
2?
?
?
?
...]rijr2r3r4r
前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子,一个在参考离子左面,一个在其右面,故对一边求和后要乘2,马德隆常数为
111
?
?
2[1?
?
?
?
...]
2
3
4
?
?
n(1?
x)?
x?
当x=1时,有1?
x
2
x
12?
?
13
x
3
3
?
14
?
x
4
4
?
...
?
...?
?
n2?
?
?
?
n
4,电子在周期场中的势能.
1
22
m?
?
b?
(x?
?
2
2
n)a?
当na?
b?
x?
na?
b?
v(x)?
0,当(n-1)a+b?
x?
na?
b
其中d=4b,?
是常数.试画出此势能曲线,求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度.
<解>(i)题设势能曲线如下图所示.
(2)势能的平均值:
由图可见,v(x)是个以a为周期的周期函数,所以
v(x)?
1l
?
l
v(x)?
1a
?
ab
v(x)dx?
1a
?
a?
b?
b
v(x)dx
题设a?
4b,故积分上限应为a?
b?
3b,但由于在?
b,3b?
区间内v(x)?
0,故只需在
?
?
b,b?
区间内积分.这时,n?
0,于是
m?
?
2
v?
?
v(x)dx?
(b?
x)dx?
?
bx?
a?
b2a?
b2a?
1
b
b
2
2
m?
22
b
?
b
?
13
x
3
b?
b
?
12
?
?
m?
b。
?
6
(3),势能在[-2b,2b]区间是个偶函数,可以展开成傅立叶级数
?
v(x)?
v0?
?
m?
?
?
?
m?
2
vmcosx,vm?
2b2b
?
2b0
v(x)cos
m?
2b
xdx?
1b
?
2
b0
v(x)cos
m?
2b
xdx
第一个禁带宽度eg1?
2v1,以m?
1代入上式,eg1?
m?
b
2
?
b0
(b?
x)cos
2
2
?
x2b
dx
利用积分公式?
ucosmudu?
eg1?
16m?
2
2
2
um
2
?
?
?
musinmu?
2cosmu?
?
?
?
m
3
sinmu得
?
m?
b
3
b第二个禁带宽度eg2?
22,以m?
2代入上式,代入上式
2
eg2?
?
b0
(b?
x)cos
22
?
xb
dx再次利用积分公式有eg2?
2m?
2
?
2
b
2
5,考虑一双原子链的晶格振动,链上最近邻原子间力常数交替为c和10c.令两种原子质量
a?
相同,且最近邻间距为.求在vs?
1和k?
处的?
(k).大略地画出色散关系.此问题模拟
2
a
如
h
c10c
?
?
?
?
us?
1vs?
1usvsus?
1vs?
1
m
dusdt
22
2
?
c?
vs?
1?
us?
?
10c?
vs?
us?
,
m
dvsdt
2
?
10c?
us?
vs?
?
c?
us?
1?
vs?
将us
?
ue
2
iska
?
e
?
i?
t
vs?
ve
iska
?
e
?
i?
t
.代入上式有
?
m?
u?
c?
10?
e?
m?
v?
c?
e
2
ika?
v?
11cu,
?
10?
u?
11cv,
?
ika
是u,v的线性齐次方程组,存在非零解的条件为
m?
?
11c,c(10?
ec(e
2
ika
2
2?
ika
)
?
10),m?
?
11c
4
2
=0,解出
2
m?
?
22mc?
?
20c(1?
conka)?
0c?
?
?
?
11?
.
m?
2
?
当k=0时,当k=?
/a时
?
?
?
22c/m,?
?
0,
2?
2
?
?
?
20c/m
2
?
?
2c/m,
2?
2
?
与k的关系如下图所示.这是一个双原子(例如h2)晶体
6,bcc和fccne的结合能,用林纳德—琼斯(lennard—jones)势计算ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值.
?
?
1?
?
?
?
?
?
<解>u(r)?
4?
()12?
()6,u(r)?
n(4?
)an()12?
al()6
?
r?
r?
2rr?
?
?
?
?
a12?
du(r)?
6
?
0?
r?
2?
0?
?
a6?
r?
r
6
?
u0?
?
12
n?
a6
2
a12
?
bcc?
fcc
?
u(r0)bccu(r0)fcc
?
(
a6
2
a12
)/(
?
a6?
a12
)?
12.25/9.1114.45/12.13
2
2
?
0.957
7.对于h2,从气体的测量得到lennard—jones参数为?
?
50?
10
?
6
?
j,?
?
2.96a.计
算fcc结构的h2的结合能[以kj/mol单位),每个氢分子可当做球形来处理.结合能的实验值为0.751kj/mo1,试与计算值比较.
<解>以h2为基团,组成fcc结构的晶体,如略去动能,分子间按lennard—jones势相互作用,则晶体的总相互作用能为:
126
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12?
6
u?
2n?
?
?
?
pij?
?
?
?
?
pij?
?
?
.
?
r?
?
r?
?
j?
i?
?
?
j
?
p
?
6
ij
?
12
?
14.45392;?
?
pij?
12.13188,
i
?
?
50?
10
?
16
?
erg,?
?
2.96a,n?
6.022?
10
23
/mol.
将r0代入u得到平衡时的晶体总能量为u?
2?
6。
022?
10
28
/mol?
50?
10
?
16
126
?
?
2.96?
?
2.96?
?
erg?
?
?
12.13?
?
?
?
?
14.45?
?
?
?
?
?
2.55kj/mol.
3.163.16?
?
?
?
?
?
?
?
因此,计算得到的h2晶体的结合能为2.55kj/mol,远大于实验观察值0.75lkj/mo1.对于h2的晶体,量子修正是很重要的,我们计算中没有考虑零点能的量子修正,这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因.
8,证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍.(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面
心上大多少?
(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7<解>(a)二维简单正方晶格的晶格常数为a,倒格子晶格基矢a?
第一布里渊区如图所示
2?
?
2?
?
i,b?
jaa
区边中点的波矢为ka?
自由电子能量?
?
k?
2m
2
?
?
?
?
?
?
?
?
i,角顶b点的波矢为kb?
?
?
i?
?
?
?
?
j.a
2x
?
a?
?
a?
?
2
?
ky?
kz?
2
2
2
2
2
a点能量?
a?
?
2
2m
?
2
kx?
?
?
?
?
?
?
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?
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a?
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2
b)简单立方晶格的晶格常数为a,倒格子基矢为a?
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第一布里渊区如图7—2所示.
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【篇三:
黄昆版固体物理学课后答案解析答案】
>黄昆原著韩汝琦改编(陈志远解答,仅供参考)
第一章晶体结构
1.1、
解:
实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此,可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积v所得到的小球总体积nv与晶体原胞体积vc之比,即:
晶体原胞的空间利用率,x?
(1)对于简立方结构:
(见教材p2图1-1)
nv
vc
43
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r,vc=a3,n=13
4343?
r?
r
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33∴x?
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0.526a38r3
a=2r,v=
(2)对于体心立方:
晶胞的体对角线bg=a?
4r?
a?
n=2,vc=a3
43
x3
2?
∴x?
434?
r2?
?
r3
333?
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?
0.688a343
(r)3
(3)对于面心立方:
晶胞面对角线bc=2a?
4r,?
a?
22rn=4,vc=a3
444?
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r34?
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r3
x?
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0.7433
6a(22r)
(4)对于六角密排:
a=2r晶胞面积:
s=6?
s?
abo?
6?
晶胞的体积:
v=s?
c?
a?
asin6032
a=22
328
a?
a?
32a3?
242r323
n=1212?
11
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2?
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3=6个62
46?
?
r3
23x?
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?
0.743
6242r
(5)对于金刚石结构,晶胞的体对角线bg=3a?
4?
2r?
a?
8rn=8,vc=a3
1
448?
?
r38?
?
r3
?
33x?
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?
?
0.346a3833
r3
c8
1.2、试证:
六方密排堆积结构中?
()1/2?
1.633
a3
证明:
在六角密堆积结构中,第一层硬球a、b、o的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形,第二层硬球n位于球abo所围间隙的正上方并与这三个球相切,于是:
na=nb=no=a=2r.
即图中nabo构成一个正四面体。
…
1.3、证明:
面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子是面心立方。
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a?
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a1?
2(j?
k)?
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a?
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证明:
(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):
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k)
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a?
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j)?
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a3)由倒格子基矢的定义:
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0,
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a3)?
2a,2
a,20,a,2a?
i,2
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242
a
0,
2
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j,0,a,2
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k
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2?
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即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
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j?
k)
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所以,面心立方的倒格子是体心立方。
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a?
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(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):
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同理可得:
即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
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(i?
j)
a
所以,体心立方的倒格子是面心立方。
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1.5、证明倒格子矢量g?
hb1h2h3)的晶面系。
11?
h2b2?
h3b3垂直于密勒指数为(h
证明:
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hb11?
h2b2?
h3b3
h1h3h2h3
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易证明?
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0?
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所以,倒格子矢量g?
hb1h2h3)的晶面系。
11?
h2b2?
h3b3垂直于密勒指数为(h
1.6、对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系,面间距d满足:
d?
ah?
k?
l),其中a为立方边长;并说明面指数简单的晶面,其面密度较大,容易解理。
2
2
2
2
2
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解:
简单立方晶格:
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a2?
a3,a1?
ai,a2?
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由倒格子基矢的定义:
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2?
,b2?
2?
,b3?
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a2?
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3
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i,b2?
j,b3?
k倒格子基矢:
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2?
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2?
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2?
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i?
kj?
lk倒格子矢量:
g?
hb1?
kb2?
lb3,g?
haaa
晶面族(hkl)的面间距:
d?
?
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