中科大光学习题解答Word文档下载推荐.doc
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而由折射定律,,微分,得到
,,即,只有才能成立。
即,而。
所以
(3)如果顶角很小,,可得
【2.7】顶角为500的棱镜的,如果浸入水中,最小偏向角等于多少?
水的折射率为1.33。
可得棱镜的折射率。
浸入水中时,入射角为,而满足最小偏向角时,,则,,
【2.8】附图是一种求折射线方向的追迹作图法。
例如为了求光线通过棱镜的路径,(如图b所示),可如图a以O为中心做二圆弧,其半径正比于折射率。
作OR平行于入射线DE,作RP平行于棱镜第一界面的法线N1N1,则OP的方向即为第一次折射后光线的方向。
再作QP平行于第二界面的法线N2N2,则OQ的方向即为出射线FG的方向,从而即为偏向角,证明此法的依据。
如图所示,从圆心O向棱镜的界面法线做垂线OM、OT,根据作图方法,可知,而,,即,由折射定律,为第一界面的折射角。
即OP为第一界面的折射线。
又,由折射定律,,于是。
【2.9】组和波罗棱镜由两块450角直角棱镜组成,利用两块直角棱镜的四个直角面上产生的全反射,使像倒转于凸透镜成实像的情况一致,试证明之。
如图。
【2.10】极限法测液体折射率的装置如附图所示,ABC是直角棱镜,其折射率已知,将待测液体涂一薄层于其上表面AB,再覆盖一块毛玻璃。
用扩展光源在掠入射的方向上照明。
从棱镜的AC面出射的光线的折射角将有一个下限。
如用望远镜观察,则在视场中出现有明显分界线的半明半暗区。
证明待测液体的折射率可以由下式算出:
用这种方法测量液体的折射率,测量范围受什么限制?
由于液体的折射率,则有,而。
,由于是掠入射,在明暗区的边界,,故有,即。
测量时,要求。
【2.11】光从塑料棒的一端射入,若要保证射入的光总是在棒内全反射传播,其折射率至少是多大?
,要发生全反射,,而可以取到,则,即,。
【2.12】在圆形木塞中心垂直插入一大头针,然后将其倒放浮于水面上,调节大头针露出的长度,使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。
如果测得大头针露出木塞得长度为h,木塞直径为d,求水的折射率。
此时大头针顶发出的光线恰好发生全反射。
即,而,得到
【2.13】如图所示,一束光线以入射角射入折射率为n的球形水滴,求:
(1)此光线在水滴内另一侧球面的入射角,这条光线是被全反射还是部分反射?
(2)偏向角的表示式;
(3)偏向角最小时的入射角。
(1)由反射定律及球面的对称性,,,由于,只有入射光对准球心入射时,才能发生全反射。
(2),取极大值即可。
而等于圆心角,等于入射光线与水平直径间的夹角,对准球心入射时为极大值。
即入射角。
【2.14】水槽中盛水,深20cm,底部有一光源,水面上放一不透光纸片。
要使从水面上任何角度都看不到光源,纸片的形状和面积应怎样?
纸片应该是圆形的。
,而,
所以,
【2.15】一玻璃杯,底部为凸球面,球面下嵌一画,空杯看去,与普通酒杯无异;
注入酒后,则底部呈现美丽画面,请解释。
空杯成实像,注入酒后,相当于有一平凹透镜,画面经折射后成一放大虚像。
【2.16】一球面反射镜将平行光会聚在x0=20cm处;
将水(折射率约为4/3)注满球面,光通过一张白纸片上的针孔射向反射镜,如图,距离x为多大时在纸片上成清晰的像?
无水时,球面的焦距为20cm,球面半径为r=2×
20=40cm,注水后,其焦距,此时要成清晰实像,而且物距、像距相等,则有。
光的波动性
【3.1】将一厚度为、折射率为的平板玻璃片,使其法线与平行光线成角地插入光线中,试比较插入前后,光线的相位改变多少?
在这种情况下,只需要比较一下空间的同一波面在插入前后的相位差即可。
插入前,波面CD与AB间的光程差为BD,插入后,,两波面间光程差为,而,插入前后的光程差改变为
插入后CD波面位相的改变为,比插入前滞后。
【3.2】设有两个一维简谐平面波的波函数为
,
式中位移以cm为单位,时间以s为单位,距离以m为单位,试分别求它们的
(1)振幅;
(2)频率;
(3)周期;
(4)波长;
(5)相速度;
(6)传播方向。
波的表达式为
(1)
(2)(3)(4)(5)(6)
【3.3】频率为6×
1014Hz,相速度为3×
108m/s的光波,在传播方向上相位差为600的任意两点之间的最短距离是多少?
【3.4】在玻璃中z方向上传播的单色平面波的波函数为
式中c为真空中的光速,时间以s为单位,电场强度以V/m为单位,距离以m为单位,试求:
(1)光波的振幅和时间频率;
(2)玻璃的折射率;
(3)z方向的空间频率;
(4)在xz平面内与x轴成450角方向上的空间频率。
(1),
(2)(3)(4)
【3.5】一平面波的波函数为,式中x,y,z的单位为m,t的单位为s。
试求:
(1)时间频率;
(2)波长;
(3)空间频率矢量的大小和方向,
(1)
(2)(3),方向
【3.6】一平面波函数的复振幅为,试求波的方向。
方向
【3.7】一台3kW的CO2激光器发出的光束被聚焦成直径为10μm的光斑,求在焦点处的光强I以及光场的振幅值A(假设n=1,不计光束的损失)。
光强
由,得,
【3.8】平面波函数的复振幅为,试证:
(1)当相位改变2π时,保持不变;
(2)用乘波函数,等效于它的相位改变。
,,
【3.9】如附图,一平面简谐波沿x方向传播,波长为λ,设x=0的点的相位。
(1)写出沿x轴波的相位分布;
(2)写出沿y轴波的相位分布;
(3)写出沿r方向波的相位分布。
(1)
(2)
(3)
【3.10】如附图,一平面简谐波沿r方向传播,波长为λ,设r=0的点的相位为,
(1)写出沿r方向波的相位分布;
(2)写出沿x轴波的相位分布;
(3)写出沿y轴波的相位分布。
,,,
【3.11】如图所示,在一薄透镜的物方焦平面上有三个点光源O、A、B,试分别写出由它们发出的光波经透镜折射后,在像方焦平面上产生的复振幅分布函数(设三列波的波长均为λ)。
三点发出的球面波经过透镜后变为平面波。
平面波的复振幅表达式为,其中波矢,为平面波的方向,即平面波的波矢与YOZ平面间的夹角,,。
而位于屏上的位矢。
则有,
或者另解:
三点的坐标取定为,,。
其中A、B为轴外物点,O为轴上物点。
在物方焦平面上位相为零。
三点发出的球面波经透镜后变为平面波,波矢与XOZ平面平行,方向角分别为,,。
忽略透镜对光的吸收和透镜厚度所引起的附加光程,各列球面波传播到光心处时,振幅为,,
将像方坐标系取在透镜平面处,像方焦平面的坐标为,则
【3.12】如图所示的杨氏实验装置中,若单色光源的波长λ=5000Å
,d=S1S2=0.33cm,r0=3m,试求:
(1)条纹间隔;
(2)若在S2后面置一厚度h=0.01mm的平行平面玻璃片,若在S2后面置一厚度h=0.01mm的平行平面玻璃片,试确定条纹移动方向和计算位移的公式;
假设一直条纹的位移为4.73mm,试计算玻璃的折射率。
(2)插入玻璃片后从S2到P点的光程为,由于光程增大,j=0级条纹向下移动,所有条纹亦将同样移动。
由于P点处的光程差为,j级亮纹对0级条纹,
【3.13】用很薄的云母片(n=1.58)覆盖在双缝装置中的一条缝上,这时,光屏上的中心为原来的第七级亮纹所占据,若λ=5500Å
,则云母片有多厚?
插入前,插入后,中心处的光程差,
【3.14】在双缝的情况下,证明
(1)屏幕上的光强为;
(2)第一极小出现在。
(2)第一极小值出现在,即,近轴条件下,。
【3.15】设菲涅耳双面镜的夹角ε=10-3rad,有一单色狭缝光源S与两镜相交处C的距离r为0.5m,单色波的波长λ=5000Å
在距两镜相交处的距离为L=1.5m的屏幕Σ上出现明暗干涉条纹,如图所示。
(1)求屏幕Σ上两相邻明条纹之间的距离;
(2)问在屏幕Σ上最多可以看到多少明条纹?
两像光源对反射镜交线的张角为,则两者间距,
(2)由于两光源的重叠照射区域,,如果仅考虑屏幕上部,则包括0级,可以看见4条,下半部分也应该有一些,但考虑到反射镜的遮挡,会少一些。
【3.16】如附图(a)和(b)所示,将一焦距为50cm的会聚透镜的中央部分截取6mm,把余下的上下两部分再粘合在一起,成为一块透镜L。
在透镜L的对称轴上,左边300cm处有一波长λ=5000Å
的单色点光源S,右边450cm处置一光屏DD。
试分析并计算:
(1)S发出的光经过透镜L后的成像情况,如所成之像不止一个,计算各像之间的距离;
(2)在光屏DD上能否观察到干涉条纹?
如能观察到干涉条纹,相邻明条纹的间距是多少?
如此处理后的透镜等效于具有两个光轴的透镜,光轴偏移现在的中心轴y=3mm。
(1),像高
像光源间距
由图可见,两像光源发出的光在屏幕上并不相交,故没有干涉。
【3.17】设有两个点光源S1、S2,相距为t,接收屏垂直于S1S2连线放置,垂足为接收屏上的原点,接收屏至S1、S2中点的距离为D,且D>
>
t、x。
问在接收屏上生成的干涉图像是什么形状?
并证明第k级亮纹至屏原点的距离为
对于接收屏上任一点(x,y),
,为接收屏上任一点到中心线的距离,可见条纹为同心圆环。
【3.18】波长为λ的平行单色光以小倾角θ斜入射到间距为t的双缝上,设接收屏到双缝距离为D。
(1)求零级主极大的位置;
(2)假设在屏上到双缝距离都相等的地方恰好出现暗条纹,倾角θ必须满足什么条件?
光程差中应包括双缝前的部分,
(1)j=0级,,在入射方向上。
(2)暗条纹,,,由于j可以取任义整数,同时又是以小角度入射,
【3.19】考虑如图所示的三缝干涉,假设三狭缝的宽度相同()。
(1)第一主极大的θ角是多少?
(即从三狭缝出来的子波同相位);
(2)把
(1)的结果写为θ1,在零级主极大(θ=0)方向的能流可写为F0。
在方向上的能流是多少?
(以F0为单位,设)。
幕上x处,是三列波的叠加,相邻两列间光程差为,位相差,,叠加后,光强为
(1)三列波同相,即光程差同时是波长的整倍数。
,,最小的取值为,方向
,,,此时,,,
【3.20】波长λ为0.5μm的平行单色光垂直入射到双缝平面上,已知双缝间距d为0.5mm,在双缝另一侧5cm远处,正放置一枚像方焦距为10cm的理想透镜L,在L右侧12cm远处放置一屏幕。
问屏幕上有无干涉条纹?
若有,则条纹间距是多少?
两光源成虚像,可以算得,
像高,则两像光源,,有干涉条纹,
3.21波长λ为0.5μm的平行单色光垂直入射到双孔平面上,已知双孔间距t为0.5mm,在双孔屏另一侧5cm远处,正放置一枚像方焦距为5cm的理想薄透镜L,并在L的像方焦平面处放置接收屏。
求:
(1)干涉条纹的间距等于多少?
(2)将透镜往左移近双孔2cm,接收屏上干涉条纹的间距又等于多少?
,变为平面光。
与光轴夹角,
在接收屏上,取z=0
,,间距
左移2cm,虚像,像高,则两像光源,,
3.22在杨氏双缝实验中,除了原有的光源缝S外,再在S的正上方开一狭缝,如图。
(1)若使,试求单独打开S或以及同时打开它们时屏上的光强分布。
(2)若,S和同时打开时,屏上的光强分布如何?
单独打开中央缝,
单独打开旁边缝,则计入双缝前的光程差,总位相差,
两缝同时打开
(1),
(2),
3.23在杨氏双缝实验中,双缝间距为0.5mm,接收屏距双缝1m,点光源距双缝30cm,它发射波长λ=5000Å
的单色。
(1)屏上干涉条纹间距:
(2)若点光源由轴上向下平移2mm,屏上干涉条纹向什么方向移动?
移动多少距离?
(3)如点光源发出的光波为(500.0±
2.5nm)范围内的准单色光,求屏上能看到的干涉极大的最高级次;
(4)若光源具有一定的宽度,屏上干涉条纹消失时,它的临界宽度是多少?
(2),0级条纹位置,上移
(4)
3.24附图所示为一种利用干涉现象测定气体折射率的原理性装置,在后面放置一长度为l的透明容器,当待测气体注入容器而将空气排出的过程中幕上的干涉条纹聚会移动,由移过条纹的根数即可推知气体的折射率。
(1)设待测气体的折射率大于空气的折射率,干涉条纹如何移动?
(2)设l=2.0cm,条纹移过20根,光波长589.3nm,空气折射率为1.000276,求待测气体(氯气)的折射率。
(1)充气过程中,上光源的光程逐渐增大,条文上移。
(2)光程差改变,
3.25瑞利干涉仪的结构和使用原理如下(参见附图):
以钠光灯作为光源置于透镜的前焦面,在透镜的后焦面上观测干涉条纹的变动,在两个透镜之间安置一对完全相同的玻璃管和。
实验开始时,管充以空气,管抽成真空,此时开始观察干涉条纹。
然后逐渐使空气进入管,直到它与管的气压相同位置。
记下这一过程中条纹移过的数目。
射光波长为589.3nm,管长20cm,条纹移过98根,求空气的折射率。
3.26沿着与肥皂膜的法线成350角的方向观察膜呈绿色(λ=5000Å
),设肥皂水的折射率为1.33,求:
(1)薄膜的厚度;
(2)如果垂直注视时,膜呈何种颜色?
反射光干涉相长,,
(2),,
3.27一束白光垂直照射厚度为0.4μm的玻璃片,玻璃的折射率为1.5,在可见光谱范围内(λ=4000Å
到λ=7000Å
),反射光的那些波长成分将被加强?
3.28白光以450角射在肥皂(n=1.33)膜上,试求使反射光呈黄色(λ=6100Å
)的最小膜厚度。
3.29如图所示为一观察干涉条纹的实验装置。
为透镜下表面的曲率半径,为透镜上表面的曲率半径,今用一束波长λ=5893Å
的单色平行钠光垂直照射,由反射光测得第20级暗条纹半径r为2.4cm,又已知,试求:
(1)干涉图样的形状和特性;
(2)透镜下表面的曲率半径是多少?
(1)由两球面的反射光相干叠加因为以光轴为对称轴,所以为同心圆环干涉条纹。
半径为的圆环到球面顶点切面的高度为,
,有半波损失,亮条纹满足
即,,
,暗条纹
3.30如图所示的实验装置,在一洁净的玻璃片的上表面上放一滴油,当油滴展开成油膜时,在波长λ=6000Å
的单色光垂直照射下,从反射光中观察到油膜所形成的干涉条纹。
实验中,是由读数显微镜向下观察油膜所形成的干涉条纹。
如果油膜的折射率n=1.20,玻璃的折射率,试求:
(1)当油膜中心的最高点与玻璃片的上表面相距h=12000Å
时,描述所观察到的条纹的形状,即可以观察到几条亮条纹,亮条纹所在处油膜的厚度是多少?
中心点的明暗程度又如何?
(2)当油膜逐渐扩展时,所看到的条纹将如何变化?
油膜上表面和油膜与玻璃的分界面的反射光相干叠加。
无半波损失。
(1)光程差为,:
油膜的折射率,:
油膜厚度。
亮条纹,,。
时,,可见5条亮纹,j=0,1,2,3,4。
而暗条纹
固定点介于明暗之间。
(2)油膜扩展,j减小,看见亮条纹向中心收缩并消失,同时可见油膜新扩展的区域有心条纹出现。
3.31如图所示是Newton环的干涉装置,平凸透镜球面的曲率半径,折射率,平板玻璃由左右两部分组成,折射率分别是和,平凸透镜的顶点在这两部分玻璃的分界处,中间充以折射率的二硫化碳液体,若用单色光垂直照射,在反射光中测得右边j级明条纹的半径,j+5级明条纹的半径,试求:
(1)入射光的波长;
(2)观察到的干涉图样。
左边有半波损失,右边没有。
(1),,可得
(2)左边亮条纹,暗条纹,即同一高度处,两侧条纹正好明暗错开。
3.32如图所示,A为平凸透镜,B为平板玻璃,C为金属柱,D为框架,A、B之间留有气隙,而A被固结在框架的边缘上。
温度变化时,C发生伸缩,而假设A、B、D都没有伸缩。
现用波长为λ=6328Å
的激光垂直照射,试求:
(1)在反射光中观察时,看到Newton环的条文都已向中央,这表明金属柱C的长度是增加还是缩短?
(2)如果观察到有10个明条纹移到中央而消失,C的长度变化了多少毫米?
(1)条纹向中间移,即第j级的半径减小,说明气隙增加,即金属柱C缩短。
3.33一个Michelson干涉仪被调节,当用波长λ=5000Å
扩展光源照明时会出现同心圆环形条纹,若要移动其中一臂而使圆环中心处相继出现1000条条纹,则该臂要移动多少?
若中心是亮的,计算第一个暗环的角半径。
(要求用两臂的路径距离差和波长表示)
是等倾干涉。
中心亮环,,第一暗环,,所以有
3.34在傍轴条件下,等倾条纹的半径与干涉级有什么样的依赖关系?
Newton环的情况又怎样?
能够将二者区别吗?
如何区别?
等倾干涉,其圆环半径
牛顿环
区别:
前者是等倾干涉,后者是等厚干涉。
对于中心条纹而言,前者明暗随即出现,而后者始终是明或暗纹。
当膜厚改变时,圆环的变化方式正好相反。
3.35用钠光(λ=5893Å
)观察Michelson干涉条纹,起初看到干涉场中有16个亮环,且中心是亮的;
移动一个平面镜后,看到中心吞吐了20环,此时干涉场中还剩6个亮环。
(1)移动的距离;
(2)开始时中心亮斑的干涉级;
(3)移动后,最外面亮环的干涉级。
(1)中心条纹,
(2)中心条纹:
开始时,结束时,。
所以有。
最外圈的条纹,开始时,,设中心级数为,,m为视场中可见的环数。
结束时,中心级数为,。
可以得到:
综合两式。
3.36将光滑的平板玻璃覆盖在柱形平凹透镜上,如图,试求:
(1)用单色光垂直照射时,画出反射光中干涉条纹分布的大致情况;
(2)若圆柱面的半径为R,且中央为暗纹,问从中央数第2条暗纹与中央暗纹的距离是多少?
(3)连续改变入射光的波长,在λ=5000Å
和λ=6000Å
时,中央均为暗纹,求柱面镜的最大深度;
(4)若轻压上玻璃片,条纹如何变化?
(1)是平行于柱面轴线的直条纹。
(2)有半波损失,距离轴线d处的膜厚位H,,,,,暗条纹。
中心暗纹,从中心数第一条暗纹,与中央暗纹间距
(3),即,要求其它波长的光不出现暗纹,,m最大取1。
(4)条纹间距变大,且中心有条纹被吞入。
3.37如果Fabry-Poret干涉仪两反射面间距为1.00cm,用绿光做实验,干涉条纹中心正好是一亮斑,求第10个亮环的角直径。
透射光,,,
角直径0.042
3.38设Fabry-Poret腔(F-P腔)长5cm,用扩展光源做实验,光波波长λ=6000Å
,问:
(1)中心干涉级数是多少?
(2)在倾角为10附近,干涉环的半角宽度是多少?
(设反射率R=0.98)。
(3)如果用该F-P腔分辨谱线,其色分辨本领有多大?
可分辨的最小波长间隔是多少?
(4)如果用其对白光进行选频,透射最强的谱线有几条?
每条的谱线宽度是多少?
(5)由于热胀冷缩所引起的腔长的改变量为10-5(相对值),则谱线的漂移量是多少?
(4),,共118422条
,或
(5),,,
3-39若用钠光灯的双谱线λ=5890Å
和λ=5896Å
照明Michelson干涉仪,首先调整干涉仪,得到清晰的干涉条纹,然后移动,干涉图样为什么会逐渐变得模糊?
问第一次视场中干涉条纹消失时,移动了多少距离?
这是非单色光的时间相干性问题。
非单色波的相干长度、即波列有效长度,
3-40玻璃板上有一层油膜,波长可连续改变的单色光正入射,在λ=6000Å
时,观察到反射光干涉相消,并且在这两波长之间再无其它波长的光相消。
(1)证明油膜的折射率一定小于1.5(玻璃的折射率1.5)。
(2)若油的折射率为1.3,求油膜的厚度。
(1)如果油膜的折射率大于玻璃,则反射光的相干叠加中要计入半波损失。
即干涉相消的条件是,,由于波长的变化是连续的,则式中两整数只能相差1,所以,显然不对。
如果油膜的折射率小于玻璃,则反射光的相干叠加中没有半波损失。
即干涉相消的条件是,,
3-41如图,在一厚玻璃中有一气泡,形状类似球面透镜,用单色光从玻璃的左侧垂直入射
(1)在右侧看到的干涉条纹的特点,即形状、间距、级数和边界处的条文特点;
(2)若均匀用力挤压玻璃的左右两侧,条纹有何变化?
(1)由球面镜的对称性,可知干涉条纹是同心圆环。
透射光中美有半波损失。
可以证明透镜上距离光轴处的厚度为,亮纹,,为说明主要特征,可以令两球面半径相等。
与牛顿环相似。
(2)挤压,使膜变薄,则圆环被吞入中心。
3-42图(a)为检查块规的装置,为标准块规,为上表面待测的块规,以波长为λ的平行单色光垂直入射,测得块规与平晶之间的空气尖劈所形成的干涉条纹如图(b),对应于和的条纹间距分别为和,且,若将转过1800,条纹均比原来密。
(1)作出判断,并在图c中画出规的上端面形貌示意图;
(2)求规左右侧与标准规的高度差。
(1)G转过180度前,由条纹形状可以判断出G比标准块规高,G的上端面为一倾斜平面。
G转过180度后,条文变密,说明尖劈楔角增大,即此时远端要高一些。
如图所示。
(2)对G0,,对G,
G转过1800度前:
G转过1
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