椭圆经典例题讲解.docx
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椭圆经典例题讲解
椭圆
基础过关
1椭圆的两种定义
(1)平面内与两定点Fi,F2的距离的和等于常数(大于FiF^)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的,之间的距离叫做焦距.
注:
①当2a=|FiF2|时,P点的轨迹是.
②当2av|FiF2|时,P点的轨迹不存在.
⑵椭圆的第二定义:
到的距离与到的距离之比是常数e,
且e的点的轨迹叫椭圆.定点F是椭圆的,定直线I
是,常数e是.
2.椭圆的标准方程
22
(1)焦点在X轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:
彳与1,其中(>>0,且
a2b2
a2)
22
⑵焦点在y轴上,中心在原点的椭圆标准方程是笃耸i,其中a,b满足:
.
ab
(3)焦点在哪个轴上如何判断
22
3.椭圆的几何性质(对笃笃i,a>b>0进行讨论)
a2b2
(1)范围:
wxw,wyw
(2)对称性:
对称轴方程为;对称中心为.
(3)顶点坐标:
,焦点坐标:
,长半轴长:
,短半轴长:
;
准线方程:
.
(4)离心率:
e__(与的比),e,e越接近i,椭圆越;
e越接近0,椭圆越接近于.
⑸焦半径公式:
设Fi,F2分别为椭圆的左、右焦点,P(xo,yo)是椭圆上一点,则
PFi,PF22aPFi=。
4•焦点三角形应注意以下关系(老师补充画出图形):
(1)定义:
ri+「2=2a
(2)余弦定理:
rj+匕2—2ri「2cos=(2C)2
⑶面积:
Spf1f2=十心sin=1・2c|y。
|(其中卩仏』。
)为椭圆上一点,|PFi|=ri,
|PF2|=「2,/FiPF>=)
典型例题
求证:
以PF为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切
证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.
•••Fi、F2为焦点,所以由椭圆定义知|PF|+|PF2|=2a,|PF2|=2r
•••IPF|+2r=2a,即|PF|=2(a-r)连结OA由三角形中位线定理,知
11
I°A=|PFi|2(ar)ar.
22
故以PR为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切
评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证。
2
例3.如图,椭圆的中心在原点,其左焦点Fi与抛物线y4x的焦点重合,过Fi的直线
|CD|厂
l与椭圆交于AB两点,与抛物线交于CD两点•当直线I与x轴垂直时,_2丁2.
AB
(1)求椭圆的方程;
(2)求过点OF1,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
UJLUUULU
(3)求F2AF2B的最大值和最小值.
解:
(1)由抛物线方程,得焦点F1(1,0).
设椭圆的方程:
2x
2a
2
y21(a
b2
b
0).
2
解方程组y
4x
得C(-1,
2),
D(1,-2)
x
1
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,
...虫Q2「2
|FiA||AB|'
|FiA|
1
~~2
a
因此,
12
21又a
2b
11
22
b212b2
b2c2
1,解得b2
1并推得a22.
y21•
2
故椭圆的方程为—
2
(2)Qa,2,b
1,c1,
Q圆过点OF,,
设M(1,t),则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切,
2
由OM
3,解得t
2
所求圆的方程为(x1)2
2
(y2)2
(3)由点F,(1,0),F2(1,0)
1,
①若AB垂直于x轴,则A(1,上Z),B(
2
uuiu、2uurn
F2A(⑴心(2,
uuuruuuu
F2AF2B4
②若AB与x轴不垂直,设直线
AB的斜率为k,则直线AB的方程为
yk(x
1)
由yk(xx22y2
21)0得
(12k2)x24k2x2(k21)0
8k28
0,方程有两个不等的实数根.
设A(X1,yJ,B(X2,y2).
4k2
x1x2
12k
X2
2
2(k1)
12k2
F2A(X11,y1),F2B
(X21,y2)
F2AF2B(x1
1)(x21)ym(xi1)(x2
i)
2
k区1)(x21)
(i
k2)x.|x2(k21)(x1x2)1
k2
(i
k2)
2(k21)2
(泰2(k1)(
7k2
4k2
k2
1
12k2
9
2(12k2)
22
k0,12k1,0
f2af2b[1,—],所以当直线I垂于
2
当直线I与x轴重合时,F2AF2B取得最小值1
变式训练3:
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:
△ABC的周长为2+22记动点C的轨迹为曲线W
(1)求W的方程;
⑵经过点(0,,2)且斜率为k的直线I与曲线W有两个不同的交点P和Q
求k的取值范围;
(3)已知点M(2,0),N(0,1),在(II)的条件下,是否存在常数k,使得向量OPOQ与MT?
共线如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解:
(I)设C(x,y),
TAC||BC+AB222,AB2,
二AC||BC2.22,
•••由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为2〔2的椭圆除去与x轴的两个交点•••a.2,c=1.•b2a2c21.
2
•w:
xy21(y0)•…
2
2
⑵设直线I的方程为ykx2,代入椭圆方程,得—(kx2)21•
2
整理,得(丄k2)x22.2kx10.①
2
因为直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
8k24(!
k2)4k220,解得k-或k—•
222
满足条件的k的取值范围为k(
OQ=(X1+X2,yi+y2),
(3)设P(xi,yi),QX2,y2),则OP
又yiy2“人X2)22
因为M(.2,0),N(0,1),所以MN(.2,1).
所以OPOQ与MN共线等价于x1X2=^,2(y1y2).将②③代入上式,解得k2.
2
所以不存在常数k,使得向量OPOq与MIN共线.
圆W的左焦点为F,过左准线与X轴的交点M任作一条斜率不为零的直线I与椭圆W交于
不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C.
(1)求椭圆W的方程;
uuuuuu
(2)求证:
CFFB(R);
(3)求MBC面积S的最大值.
2
每1,由题意可知
b
2
X
解:
(1)设椭圆W的方程为务
a
的方程为yk(x3).
yk(x
3),
2x
2
y
得(13k2)x218k2x27k26
1
6
2
0.
由直线I与椭圆W交于A、B两点,可知
(18k2)24(13k2)(27k26)0,解得k2-.
3
设点A,B的坐标分别为(捲,yj,(x2,y2),
因为F(2,0),C(x1,yj,
uuuUJU
所以FC(X12,yd,FB区2也)・
又因为(X12)y2(X22)(yj
k(54k21290k21236k2)
13k2
mumu
10分
所以CFFB.
a2
解法2:
因为左准线方程为x3,所以点M坐标为(3,0).
c
于是可设直线l的方程为yk(x3),点A,B的坐标分别为(知力),(x2,y2),
n
则点C的坐标为(x1,yj,yk(x-|3),y2k(x23).
由椭圆的第二定义可得
|FB|X23他
|FC|X13|yj'
3
—3|k|
Ik11
当且仅当k2-时“=”成立,
3
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1PF2的最大值和最小值;
(2)是否存在过点A(5,0)的直线I与椭圆交于不同的两点CD,使得IF2CI=IF2D|若存
在,求直线I的方程;若不存在,请说明理由•
解:
(1)易知a,5,b2,c1,F1(1,0),F2(1,0)
设P(x,y),则PF1PF2(1x,y)(1x,y)x2y21
24212
x24x21x23
55
x[,5,5],
当x0,即点P为椭圆短轴端点时,PRPF2有最小值3;
当x,5,即点P为椭圆长轴端点时,PF1PF2有最大值4
(2)假设存在满足条件的直线I易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线I的斜率不存在
时,直线l与椭圆无交点,所在直线
l斜率存在,设为k
直线l的方程为
y
k(x
5)
2x
2
y_
1
得(5k2
4)x250k2x125k2200
由方程组5
4
y
k(x
5)
QQQQ_
•••20k=20k—4,而20k=20k—4不成立,所以不存在直线I,使得|F2C|=|F2D|
综上所述,不存在直线I,使得|F2C|=|F2DI
小结归纳
1•在解题中要充分利用椭圆的两种定义,灵活处理焦半径,熟悉和掌握a、b、c、e关系及
几何意义,能够减少运算量,提高解题速度,达到事半功倍之效.
2.由给定条件求椭圆方程,常用待定系数法.步骤是:
定型确定曲线形状;定位
确定焦点位置;定量一一由条件求a、b、c,当焦点位置不明确时,方程可能有两种形式,
要防止遗漏.
3.解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时,一般要从椭圆的定义入手考虑;椭圆的焦半
径的取值范围是[ac,ac].
4.“设而不求”,“点差法”等方法,是简化解题过程的常用技巧,要认真领会.
5.解析几何与代数向量的结合,是近年来高考的热点,应引起重视.
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