新教材人教A版数学精品第九章 922 总体百分位数的估计.docx
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新教材人教A版数学精品第九章922总体百分位数的估计
9.2.2 总体百分位数的估计
学习目标
1.结合实例,能用样本估计百分位数.2.理解百分位数的统计含义.
知识点 百分位数
1.第p百分位数的定义:
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
2.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下:
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=n×p%.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
3.四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数,其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
1.若一组样本数据各不相等,则其75%分位数大于25%分位数.( √ )
2.若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23.( × )
3.若一组样本数据的24%分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.
( √ )
4.某次数学测试成绩的第70百分位数是85分,则有70%的同学测试成绩小于或等于85分.
( √ )
一、百分位数的计算
例1 从某公司生产的产品中,任意抽取12件,得到它们的质量(单位:
kg)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,
分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数.
解 将所有数据从小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因为共有12个数据,
所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
则25%分位数是
=8.15,
75%分位数是
=8.75,
95%分位数是第12个数据为9.9.
反思感悟 计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
第1步:
按照从小到大排列原始数据.
第2步:
计算i=n×p%.
第3步:
若i不是整数,大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项和第(i+1)项数据的平均数.
跟踪训练1 某歌手电视大奖赛中,七位评委对某选手打出如下分数:
7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9,则其50%分位数为________.
答案 8.5
解析 ∵7×50%=3.5,
∴其50%分位数是第4个数据为8.5.
二、百分位数的综合应用
例2 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组(第一组:
[20,25),第二组:
[25,30),第三组:
[30,35),第四组:
[35,40),第五组:
[40,45]),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有5人.
(1)求x;
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数);
(3)以下是参赛的10人的成绩:
90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求这10人成绩的20%分位数和平均数,以这两个数据为依据,评价参赛人员对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想.
解
(1)第一组频率为0.01×5=0.05,
所以x=
=100.
(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%,年龄低于35岁的所占比例为70%,所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内,由30+5×
=
≈32,所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列:
88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,
计算10×20%=2,所以这10人成绩的20%分位数为
=91,这10人成绩的平均数为
×(88+90+92+92+95+96+96+97+98+99)=94.3.
评价:
从第20百分位数和平均数来看,参赛人员的认知程度很高.
感想:
结合本题和实际,符合社会主义核心价值观即可.
反思感悟 由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积,就是数据落在该组的频率.
(2)一般采用方程的思想,设出第p百分位数,根据其意义列出方程并求解即可.
跟踪训练2 为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:
cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?
解 由题意知分别落在各区间上的频数
在[80,90)上为60×0.15=9,
在[90,100)上为60×0.25=15,
在[100,110)上为60×0.3=18,
在[110,120)上为60×0.2=12,
在[120,130]上为60×0.1=6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,
由100+10×
=100+
≈103.3;
第75百分位数一定落在区间[110,120)上,
由110+10×
=110+
=112.5.
综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3cm,112.5cm.
1.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法不正确的是( )
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
答案 ABD
解析 因为100×75%=75为整数,所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数,是9.3,则C正确,其它选项均不对,故选ABD.
2.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为( )
A.8.4B.8.5C.8.6D.8.3
答案 A
解析 因为8×30%=2.4,故30%分位数是第三项数据8.4.
3.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是( )
A.14B.17C.19D.23
答案 D
解析 因为8×70%=5.6,故第70百分位数是第六项数据23.
4.下列一组数据的第25百分位数是( )
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5
答案 A
解析 把该组数据按照由小到大排列,可得:
2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,
由i=10×25%=2.5,不是整数,则第3个数据3.2是第25百分位数.
5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,试估计此样本数据的第50百分位数为________.
答案
解析 样本数据低于10的比例为(0.08+0.02)×4=0.40,样本数据低于14的比例为0.40+0.09×4=0.76,所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内,估计此样本数据的第50百分位数为10+
×4=
.
1.知识清单:
(1)第p百分位数.
(2)四分位数.
2.方法归纳:
数据分析、数形结合.
3.常见误区:
求第p百分位数时,应先将数据从小到大排列.
1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:
分):
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是( )
A.90B.90.5C.91D.91.5
答案 B
解析 把成绩按从小到大的顺序排列为
56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,
因为15×80%=12,所以这15人成绩的第80百分位数是
=90.5.
2.一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,则这组数据的一个四分位数是15,则它是( )
A.15%分位数B.25%分位数
C.50%分位数D.75%分位数
答案 B
解析 将数据由小到大排列:
6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,一共11项.由11×25%=2.75,故25%分位数是15.
3.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,第50百分位数为b,则有( )
A.a=13.7,b=15.5B.a=14,b=15
C.a=12,b=15.5D.a=14.7,b=15
答案 D
解析 把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均数a=
×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,因为10×50%=5,所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b=
=15.
4.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是( )
A.29mmB.29.5mm
C.30mmD.30.5mm
答案 A
解析 棉花纤维的长度在30mm以下的比例为(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5=0.85=85%,
在25mm以下的比例为85%-25%=60%,
因此,80%分位数一定位于[25,30)内,
由25+5×
=29,
可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29mm.
5.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):
甲组:
27,28,39,40,m,50;
乙组:
24,n,34,43,48,52.
若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为30%×6=1.8,80%×6=4.8,所以第30百分位数为n=28,第80百分位数为m=48,所以
=
=
.
6.900,920,920,930,930的20%分位数是________.
答案 910
解析 因为5×20%=1,所以该组数据的20%分位数是
=910.
7.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的第________百分位数.
答案 30
解析 因为分数位于[20,40),[40,60)的频率之和为(0.005+0.01)×20=0.3,所以60分为成绩的第30百分位数.
8.如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的第10百分位数为______,日最低气温的第80百分位数为______.
答案 24℃ 16℃
解析 由折线图可知,把日最高气温按照从小到大排序,得24,24.5,24.5,25,26,26,27,因为共有7个数据,所以7×10%=0.7,不是整数,所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据,为24℃.把日最低气温按照从小到大排序,得12,12,13,14,15,16,17,因为共有7个数据,所以7×80%=5.6,不是整数,所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据,为16℃.
9.求下列数据的四分位数.
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20,
解 把12个数据按从小到大的顺序排列可得:
12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31,
计算12×25%=3,12×50%=6,12×75%=9,
所以数据的第25百分位数为
=16.5,
第50百分位数为
=21,
第75百分位数为
=27.5.
10.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额,所得数据如下表:
网购金额(单位:
千元)
人数
频率
[0,1)
16
0.08
[1,2)
24
0.12
[2,3)
x
p
[3,4)
y
q
[4,5)
16
0.08
[5,6]
14
0.07
合计
200
1.00
已知网购金额低于3千元与不低于3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);
(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字).
解
(1)根据题意有
解得
所以p=0.4,q=0.25.
补全频率分布直方图如图所示.
(2)由
(1)可知,网购金额低于2千元的频率为0.08+0.12=0.2,
网购金额低于3千元的频率为0.2+0.4=0.6,
所以网购金额的25%分位数在[2,3)内,
则网购金额的25%分位数估计为2+
×1=2.125≈2.13(千元).
11.如图所示是某市3月1日至3月10日每日最低气温(单位:
℃)的折线统计图,由图可知这10天最低气温的第80百分位数是( )
A.-2B.0C.1D.2
答案 D
解析 由折线图可知,这10天的最低气温按照从小到大的排列为-3,-2,-1,-1,0,0,1,2,2,2,因为共有10个数据,所以10×80%=8,是整数,则这10天最低气温的第80百分位数是
=2.
12.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
答案 BCD
解析 由题图可得,
甲=
=6,
乙=
=6,A项错误,B项正确.
甲的成绩的第80百分位数是
=7.5,乙的成绩的第80百分位数是
=7.5,所以二者相等,C项正确.甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D项正确.
13.已知30个数据的60%分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是________.
答案 8.6
解析 由30×60%=18,设第19个数据为x,则
=8.2,解得x=8.6,即第19个数据是8.6.
14.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组:
[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为________秒.
答案 16.5
解析 设成绩的70%分位数为x,因为
=0.55,
=0.85,所以x∈[16,17),
所以0.55+(x-16)×
=0.70,解得x=16.5.
15.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是( )
A.[4.5,+∞)B.[4.5,6.6)
C.(4.5,+∞)D.(4.5,6.6]
答案 A
解析 因为8×65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5,则x≥4.5,故选A.
16.某市为了鼓励居民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:
元)关于月用电量x(单位:
千瓦时)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中,今年1月份用电费用低于260元的占80%,求a,b的值;
(3)根据
(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.
解
(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;
当200<x≤400时,
y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60;
当x>400时,
y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.
所以y与x之间的函数解析式为
y=
(2)由
(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量低于400千瓦时的占80%,
结合频率分布直方图可知
解得a=0.0015,b=0.0020.
(3)设75%分位数为m,
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001+0.002+0.003)×100=60%,
用电量低于400千瓦时的占80%,
所以75%分位数m在[300,400)内,
所以0.6+(m-300)×0.002=0.75,
解得m=375,即用电量的75%分位数为375千瓦时.
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