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三角函数
第一教时
教材:
角的概念的推广
目的:
要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角”“负角”“象
限角”“终边相同的角”的含义。
过程:
一、提出课题:
“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值
来定义的。
相对于现在,我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”,它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用,并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1.回忆:
初中是任何定义角的?
(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”
2.讲解:
“旋转”形成角(P4)
突出“旋转”注意:
“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于x轴正半轴
3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法:
角或可以简记成
4.由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。
1角有正负之分
如:
=210
=150
=660
2角可以任意大
实例:
体操动作:
旋转2周(360×2=720)3周(360×
3=1080)
3还有零角一条射线,没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x轴的正半轴,这样一来,
角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在
坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)
例如:
30390330是第Ⅰ象限角30060是第
Ⅳ象限角
5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1.观察:
390,330角,它们的终边都与30角的终边相同
2.终边相同的角都可以表示成一个
0
到360的角与k(k
Z)个周角的和
390=30
+360
(k
1)
330=30
360
(k1)
30=30+0×360
(k
0)
1470=30
+4×360
(k
4)
1770=30
5×360
(k
5)
3.所有与
终边相同的角连同
在内可以构成一个集合
S
|
k360,k
Z
即:
任何一个与角
终边相同的角,都可以表示成角
与整数个周角的
和
4.例一(P5略)
五、小结:
1角的概念的推广
用“旋转”定义角角的范围的扩大
2“象限角”与“终边相同的角”
第二教时
教材:
弧度制
目的:
要求学生掌握弧度制的定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的
集合与实数集R一一对应关系的概念。
过程:
一、回忆(复习)度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题:
弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad读作弧度
B
C
l=2
r
2ra
定义:
长度等于半径长的弧所对的圆心
1raA
r
A
o
o
角称为1弧度的角。
如图:
AOB=1rad
AOC=2rad
周角=2rad
1.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
2.角的弧度数的绝对值l(l为弧长,r为半径)
r
3.用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0)
用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住:
360=2rad∴180=rad
∴1=rad0.01745rad
180
1rad
180
57.305718'
例一
把67
30'化成弧度
解:
6730'
1
∴6730'
rad
1
3
67
67
rad
2
180
2
8
例二
把3
rad化成度
5
解:
3
rad
3
180108
5
5
注意几点:
1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进
行;
2
.今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad”可以省
略如:
3表示3radsin
表示rad角的正弦
3
.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住(见课本P9
表)
4
.应确立如下的概念:
角的概念推广之后,无论用角度制还是
弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应
的关系。
例三
用弧度制表示:
1终边在x轴上的角的集合2
终边在y
轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合
解:
1终边在x轴上的角的集合S1|k,kZ
2终边在y轴上的角的集合S2|k,kZ
2
k
3终边在坐标轴上的角的集合S3|,kZ
2
第三教时
教材:
弧度制(续)
目的:
加深学生对弧度制的理解,逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的
问题。
过程:
一、复习:
弧度制的定义,它与角度制互化的方法。
口答《教学与测试》
P101-102练习题1—5
并注意紧
扣,巩固弧度制的概念,然后再讲
P101例二
二、由公式:
l
lr
比相应的公式l
nr简单
r
180
弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积
例一(课本
P10例三)利用弧度制证明扇形面积公式
S
1lR其中l是扇
2
形弧长,R是圆的半径。
证:
如图:
圆心角为1rad的扇形面积为:
1
R2
弧长为l的扇形圆心角为l
2
R
rad
o
S
l
R
l
1
R2
1lR
∴S
R
2
2
比较这与扇形面积公式
S扇
nR
2
要简单
360
例二
《教学与测试》P101例一
直径为20cm的圆中,求下列各圆心所对
的弧长
⑴4
⑵
165
3
4
40
解:
r
10cm⑴:
l
r
10
(cm)
3
3
11
⑵:
165
180
165(rad)
rad∴
11
55
12
l
(cm)
12
10
6
例三
如图,已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形
A
B
的中心角是
1弧度,求该扇形的面积。
解:
设扇形的半径为r,弧长为l,则有
o
2r
l
6
r
2
1rl
l
1
∴扇形的面积S
2(cm)2
l
2
r
2
例四
计算sin
tan1.5
4
解:
∵
45
∴sin
sin45
2
2
4
4
1.5rad57.30?
1.5
85.95
8557'
∴tan1.5
tan8557'14.12
例五
将下列各角化成0到2
的角加上
2k
(k
Z)的形式
⑴
19
⑵
315
3
解:
19
6
3
3
315
45
360
2
4
例六
求图中公路弯道处弧AB的长l(精确到1m)
图中长度单位为:
m
60
R=45
解:
∵
60
3
∴l
R
453.141547(m)
3
三、练习:
P11
6、7《教学与测试》P102练习6
四、作业:
课本P11-12
练习8、9、10
P12-13
习题5—14
《教学与测试》P1027、8及思考题
第四教时
教材:
任意角的三角函数(定义)
目的:
要求学生掌握任意角的三角函数的定义,继而理解角与=2k+(kZ)
的同名三角函数值相等的道理。
过程:
一、提出课题:
讲解定义:
1.设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)
则P与原点的距离rx
2
2
x2
y
2
0(图示见P13略)
y
2.比值y叫做的正弦
记作:
sin
y
r
r
比值x叫做
的余弦
记作:
cos
x
r
r
比值y叫做
的正切
记作:
tan
y
x
x
比值x叫做
的余切
记作:
cot
x
y
y
比值r叫做的正割
记作:
sec
r
x
x
比值r叫做
的余割
记作:
csc
r
y
y
注意突出几个问题:
①角是“任意角”,当=2k+(kZ)时,与
的同名三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值
相等。
②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用。
(下
面有例子说明)
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④r0,而x,y的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确定(今后将专题研究)
⑤定义域:
y
sin
R
y
cot
y
cos
R
y
sec
y
tan
k
(k
Z)
y
csc
2
k
(k
Z)
k
2
(k
Z)
k
Z)
(k
二、例一已知
的终边经过点P(2,
3),求
的六个三角函数值
y
解:
x2,
y
3,r
22
(3)2
13
o
x
∴sin
=
3
13
cos
=2
13
13
13
tan
=
3
cot
=
2
2
3
P(2,-3)
sec
=
13
csc
=
13
2
3
例二求下列各角的六个三角函数值
⑴0⑵
⑶3
⑷
2
2
解:
⑴⑵⑶的解答见P16-17
⑷当
=
时x
0,yr
2
∴sin=1cos
=0
tan
不存在cot=0
2222
sec
2
不存在
csc
=1
2
例三
《教学与》P103例一求函数
cosx
tanx的域
y
cosx
tanx
解:
定域:
cosx
0∴x的不在x上
又∵tanx
0∴x的不在y上
∴当x是第Ⅰ象限角,
x
0,y
0
cosx=|cosx|
tanx=|tanx|
∴y=2
⋯⋯⋯⋯Ⅱ⋯⋯⋯⋯
x
0,y
0
|cosx|=
cosx|tanx|=
tanx
∴
y=
2
⋯⋯⋯⋯ⅢⅣ⋯⋯⋯
x
0,y
0
|cosx|=
cosx|tanx|=tanx
∴
x
0,y
0
y=0
例四
《教学与》P103例二
⑴已知角
的P(4,
3),求2sin
+cos
的
⑵已知角
的P(4a,
3a),(a
0)求2sin
+cos
的
解:
⑴由定
:
r
5
sin
=
3
cos
=
4
∴
2
5
5
2sin
+cos
=
5
⑵若a
0
r
5a
sin
=
3
cos
=
4
∴
2
5
5
2sin
+cos
=
5
3
4
若a
0
r
5a
sin
=
cos
=
∴
=2
5
5
2sin
+cos
5
三、小:
定及有关注意内容
四、作:
本P19
1
P20
3
《教学与》P1044、5、6、7
第五教时
教材:
三角函数
目的:
要求学生掌握用位中的段表示三角函数,从而使学生三角函数的定域、域有更深的理解。
程:
一、复三角函数的定,指出:
“定”从代数的角度揭示了三角函数
是一个“比”
二、提出:
从几何的点来揭示三角函数的定:
用位中的段表示三角函数
三、新授:
2.介(定)“位”—心在原点O,半径等于位度的
3.作:
(本
P14
4-12
)
此略⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
任意角的点在原点,始与x的非半重合,
角的也与位交于P,坐正半分与位交于A、B
两点
P(x,y)作PMx于M,点A(1,0)作位切,与角的或其反向延交于T,点B(0,1)作位的切,与角的或其反向延交于S
4.介“向量”(有“方向”的量—用正号表示)
“有向段”(有方向的段)
方向可取与坐方向相同,度用表示。
例:
有向段OM,OP度分x,y
当OM=x若x0OM看作与x同向OM具有正
x
若x0
OM看作与x反向
OM具有x
y
y
yMP
5.sin
1
r
cos
x
x
x
OM
有向段
r
1
MP,OM,AT,BS分称作
tan
y
MP
AT
AT
角的正弦,余弦,
x
OM
OA
正切线,余切线
x
OM
BS
cot
MP
BS
y
OB
四、例一.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
1
sin2
与sin4
2
tan
2
与tan
4
3
cot2
3
4
5
3
5
与cot
3
5
解:
S2
S
1
B
如图可知:
2
P1
P
o
A
2
4
2
sin
sin
T
3
5
T1
tan2
tan
4
3
5
cot
2
cot
4
3
5
例二
利用单位圆寻找适合下列条件的
0
到360
的角
1
sin
≥1
2
tan
3
2
3
解:
1
y
2
y
P2
P1
30T
o
x
o
x
A
210
30
≤
≤
150
30
90或
210
270
例三
求证:
若0
1
2
时,则sin
1
sin
2
y
2
P
证明:
分别作1,
2
2的正弦线x的终边不在x轴上
P1
sin
1
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