综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为;
当-2<a<0时,不等式的解集为;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为.
规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论:
(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
【训练2】
(1)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( )
A.-3B.1C.-1D.3
(2)不等式2x2-x<4的解集为________.
解析
(1)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},
由题意知,-1,2为方程x2+ax+b=0的两根,
由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增,
所以2x2-x<4可化为x2-x<2,解得-1<x<2,
所以2x2-x<4的解集是{x|-1<x<2}.
答案
(1)A
(2){x|-1<x<2}
考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究)
命题角度一 在R上恒成立
【例3-1】若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)
解析 2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,
则必有解之得-3<k<0.
答案 D
命题角度二 在给定区间上恒成立
【例3-2】设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是________.
解析 要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,
则mx2-mx+m-6<0,
即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
法一 令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)=7m-6<0.
所以m<,则0<m<.
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g
(1)=m-6<0.
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.
法二 因为x2-x+1=+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
因为m≠0,所以m的取值范围是
.
答案
命题角度三 给定参数范围的恒成立问题
【例3-3】已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )
A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,
所以f(-1)=x2-5x+6>0,
且f
(1)=x2-3x+2>0即可,解不等式组得x<1或x>3.
答案 C
规律方法 恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解.
(2)一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.
(3)一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成立确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
【训练3】
(1)若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]
(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是______.
解析
(1)由于x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
(2)二次函数f(x)对于任意x∈[m,m+1],
都有f(x)<0成立,
则
解得-<m<0.
答案
(1)A
(2)
[思想方法]
1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.
3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形.
4.
(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
[易错防范]
1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.
2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别.
3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x),g(x)的大小关系是( )
A.f(x)=g(x)B.f(x)>g(x)
C.f(x)<g(x)D.随x的值变化而变化
解析 f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0⇒f(x)>g(x).
答案 B
2.已知下列四个条件:
①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出<成立的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 运用倒数性质,由a>b,ab>0可得<,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C.
答案 C
3.(2017·河北省三市联考)若集合A={x|3+2x-x2>0},集合B={x|2x<2},则A∩B等于( )
A.(1,3)B.(-∞,-1)
C.(-1,1)D.(-3,1)
解析 依题意,可求得A=(-1,3),B=(-∞,1),
∴A∩B=(-1,1).
答案 C
4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}
C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a=0时,满足条件.
a≠0时,由得0<a≤4,所以0≤a≤4.
答案 D
5.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.(-1,0)B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.不能确定
解析 由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即=1,解得a=2.
又因为f(x)开口向下,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
f(x)>0恒成立,即b2-b-2>0恒成立,
解得b<-1或b>2.
答案 C
二、填空题
6.已知函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集为________.
解析 由题意知或解得x>1.故原不等式的解集为{x|x>1}.
答案 {x|x>1}
7.(2016·重庆模拟)若关于x的不等式ax>b的解集为,则关于x的不等式ax2+bx-a>0的解集为________.
解析 由已知ax>b的解集为,可知a<0,且=,将不等式ax2+bx-a>0两边同除以a,得x2+x-<0,即x2+x-<0,解得-1<x<,故不等式ax2+bx-a>0的解集为.
答案
8.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为________.
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,
解得-8≤λ≤4.
答案 [-8,4]
三、解答题
9.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f
(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
解
(1)由题意知f
(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2<a<3+2.
所以不等式的解集为{a|3-2<a<3+2}.
(2)∵f(x)>b的解集为(-1,3),
∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
∴解得
即a的值为3±,b的值为-3.
10.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.
解
(1)由题意得,y=100·100.
因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0.
所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),
定义域为x∈[0,2].
(2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10260,
化简得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时:
20分钟)
11.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要条件是( )
A.a>b+1B.a>b-1
C.a2>b2D.a3>b3
解析 A项:
若a>b+1,则必有a>b,反之,当a=2,b=1时,满足a>b,但不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件;B项:
当a=b=1时,满足a>b-1,反之,由a>b-1不能推出a>b;C项:
当a=-2,b=1时,满足a2>b2,但a>b不成立;D项:
a>b是a3>b3的充要条件,综上所述答案选A.
答案 A
12.(2017·湛江调研)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)<0的解集为,则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是( )
A.{x|x<-ln2或x>ln3}B.{x|ln2C.{x|x解析 法一 依题意可得f(x)=a(x-3)(a<0),则f(ex)=a(ex-3)(a<0),
由f(ex)=a(ex-3)>0,可得解得-ln2法二 由题知,f(x)>0的解集为,
令答案 D
13.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是________.
解析 设f(x)=x2+ax-2,由题知:
Δ=a2+8>0,
所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两根,
于是不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,即a∈.
答案
14.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).
解 原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.
(1)当a>0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)·<0.当0<a<时,2<,则原不等式的解集是;
当a=时,原不等式的解集是∅;
当a>时,<2,则原不等式的解集是.
(2)当a=0时,原不等式为-(x-2)<0,解得x>2,
即原不等式的解集是{x|x>2}.
(3)当a<0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,
根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)·>0,
由于<2,故原不等式的解集是.
综上所述,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};当0<a<时,不等式的解集为;当a=时,不等式的解集为∅;当a>时,不等式的解集为.
第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.
(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax+By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x,y的约束条件
目标函数
关于x,y的解析式
线性目标函数
关于x,y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x,y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT展示
(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( )
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )
(4)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( )
(5)不等式x2-y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.( )
解析
(1)不等式x-y+1>0表示的平面区域在直线x-y+1=0的下方.
(4)直线ax+by-z=0在y轴上的截距是.
答案
(1)×
(2)√ (3)√ (4)× (5)√
2.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( )
A.(0,0)B.(-1,1)
C.(-1,3)D.(2,-3)
解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C.
答案 C
3.(必修5P86T3)不等式组表示的平面区域是( )
解析 x-3y+6≥0表示直线x-3y+6=0及其右下方部分,x-y+2<0表示直线x-y+2=0左上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B.
答案 B
4.(2016·全国Ⅱ卷)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为________.
解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x=3与直线x