全等三角形经典题型50题带答案.docx
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全等三角形经典题型50题带答案
全等三角形证明经典50题(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
D
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE 即: 10-2<2AD<10+24 又AD是整数,则AD=5 2.已知: D是AB中点,ZACB=90°,求证: CD=-AB2 从D做辅助线 3.已知: BC=DE,ZB二ZE,ZC=ZD.F是CD中点,求证: Z仁Z2 证明: 连接BF和EFo因为BC=ED,CF=DF;ZBCF=ZEDF。 所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF;ZCBF=ZDEF.连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF.所以ZEBF二zBEF。 又因为zABC=ZAED0所以ZABE=ZAEB.所以AB二AEo在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,ZABF二ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF。 所以三角形ABF和三角形AEF全等。 所以zBAF=ZEAF(Z仁Z2)o 4. 已知: Z1=Z2,CD二DE.EF//AB,求证: EF=AC证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则zDEG=ZDCA,ZDGE=Z2又•・・CD二DE・・・dADC竺dGDE(AAS)・•・EG二ACTEF//AB.・・zDFE=ZV: Z仁Z2/.ZDFE=ZDGE.\EF=EG.\EF=AC 5.已知: AD平分ZBAC.AOAB+BD.求证: ZB=2ZC 证明: 在AC上截取AE二AB,连接ED.AD平分ZBAC.\ZEAD=ZBAD又TAE二AB, AD=AD.\JAE能dABD(SAS)ZAED=ZB,DE二DBtAC二AB+BD AC=AE+CE.\CE=DE.\ZC=ZEDC/ZAED=ZC+ZEDC=2zC: .ZB=2zC 6.已知: AC平分ZBAD,CE丄AB,ZB+ZD=180。 ,求证: AE二AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF因为CE丄AB所以ZCEB=ZCEF=90°因为EB=EF,CE=CE,所以△CEB竺△CEF所以zB=zCFE因为zB+zD=180°,ZCFE+zCFA=180°所以ZD=ZCFA因为AC平分ZBAD所以ZDAC=ZFAC又因为AC=AC所 以厶ADC旻△AFC(SAS)所以AD=AF所以AE=AF+FE=AD+BE 12.如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE.CE分别平分ZABC.ZBCD,且点E在AD上。 求证: BC二AB+DC。 证明: 在BC上截取BF=BA,连接ERZABE=ZFBE,BE=BE,则zlABE旻AFBE(SAS),ZEFB=ZA;AB平行于CD, 则: ZA+ZD=180°;又ZEFB+ZEFC=180°,则ZEFC=ZD;又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故ZlFC吕ADCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD・ 13•已知: AB//ED,ZEAB=ZBDE,AF二CD,EF=BC,求证: ZF=ZC AB//ED,AE//BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以: zC=zF 14.已知: AB二CD,ZA=ZD,求证: ZB=ZC 证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD 贝IJ: △AED是等腰三角形。 所以: AE=DE而AB=CD所以: BE二CE(等疑加等量,或等量减等量)所以: △BEC是等腰三角形所以: 角B二角C. 15.P是ZBAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: PC-PB 作B关于AD的对称点B爲因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)因为PC 16.已知ZABC=3ZC,Z仁Z2,BE丄AE,求证: AC・AB二2BE ZBAC=180-(ZABC+ZC=180-4zC Z仁ZBAC/2=90-2zC ZABE=90-Z1=2zC延长BE交AC于F因为,z1=z2,BE丄AE所以,AABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BEZFBC=ZABC-ZABE=3zC-2zC=ZCBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE 17.已知,E是AB中点,AF二BD,BD=5,AC=7,求DC 作AGIIBD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5AGF-CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 18.(5分)如图,在AABC中,BD=DC.Z仁Z2,求证: AD±BC. 延长AD至H交BC于H;BD=DC; 所以: ZDBC=Z角DCB;Z仁Z2; ZDBC+Z仁Z角DCB+Z2;ZABC=ZACB; 所以: AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; ZBAEZCAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以: AD垂直BC19.(5分)如图,0何平分ZPOQAU±OP,MB丄0Q,4、B为垂足,4B交0加于点N. 求证: ZOAB=ZOBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且ZMOA二ZMOB所以MA二MB所以zMAB二ZMBA 因为zOAM=ZOBM=90度 所以ZOAB=90-ZMABZOBA=90-ZMBA所以ZOAB=ZOBA20.(5分)如图,已知AD//BC.ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E,CE的连线交 4P于D・求证: 4D+BCMB. BEC为全等三角形, 证明: 做BE的延长线,与AP相交于F点, •••PA//BC/.ZPAB+ZCBA=180°, 又・・•,AE,BE均为ZPAB和ZCBA的角平分线 ・・・ZEAB+ZEBA二90S.ZAEB二90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE丄BF,且AE为ZFAB的角平分线 三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中.ZEBC=ZDFE,且BE二EF,zDEF二ZCEB,・••三角形DEF与三角形 21・(6分)如图,AzlBC中, ・•・DF=BC.\AB二AF二AD+DF二AD+BC4D是ZCAB的平分线,且AB=AC^CD,求证: ZC=2ZB 证明: 在AB上找点E,使AE二ACTAE二AC,ZEAD=ZCAD, AD=AD/.△AD吕△ADC。 DE=CD,ZAED=ZC: AB二AC+CD, ・・・DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEzB=zEDBzC=ZB+ZEDB=2zB 22.(6分)如图①,E.F分别为线段4C上的两个动点,且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD.AF二CE,BD交4C于点AI. (1)求证: A1B=A1D,ME=A\F (2) 当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立请给予证明;若不成立请说明理由. 分析: 通过证明两个直角三角形全等•即RtADEC^RtABFA以及垂线的性质得岀四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得岀结论. 解答: 解: (1)连接BE,DF.•••DE丄AC于E,BF丄AC于F,,二ZDEC二ZBFA二90°,DEIIBF,在RtADEC和RtABFA中,TAF二CE,AB=CD,・•.RtADEC旻RtABFA,Z.DE=BF.? .四边形BEDF是平行四边形./.MB=MD,ME=MF: (2)连接BE,DF・••・DE丄AC于E,BF±AC于F,,/.ZDEC=ZBFA二90°,DEIIBF,在RtADEC和RtABFA中,・・AF二CE,AB=CD…•.RdDEC空RtABFA>/.DE=BF・二四边形BEDF是平行四边形.AMB=MD,ME=MF. 23.(7分)已知: 如图,DC//AB.且DC=AE.E为的中点, (1)求证: AAED^AEBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除AEBC外,请再写出两个与的而积相 等的三角形.(直接写出结果.不要求证明): (1)DCIIAE.且DOAE,所以四边形AECD是平行四边形。 于是知 AD=EC,且ZEAD=ZBECo由AE二BE,所以△AED^△EBC。 (2)AAEC."CD、△ECD都而积相等。 24.(7分)如图,A48C中,ZB4C=90度,AB=AC,BD是ZABC的平分线.BD的延长线 垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE・ 证明: 延长BA、CE,两线相交于点FJBE丄CE/.zBEF=ZBEC=90°在△BEF和△BEC中ZFBE=ZCBE,BE二BE,ZBEF=ZBEC・•・△BEF旻△BEC(ASA)/.EF=EC/.CF=2CE •・・zABD+ZADB=90°,zACF+ZCDE二90°又•/ZADB=ZCDE・•・ZABD=ZACF在△ABD和△ACF中zABD二ZACF,AB=AC,ZBAD二zCAF=90°/.卜ABD竺厶ACF(ASA)BD=CF.•-BD=2CE 25、(10分)如图: DF二CE,AD二BC,ZD=ZC.求证: AAED^A BFCo 27、(10分)如图: 在AABC中,BA二BC,D是AC的中点。 求证: BD丄AC。 且BE=CF,川在BC的中点, 28、(10分)AB二AC,DB二DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 证明: 在△ABD与△ACD中AB二ACBD二DCAD二AD ・•・△ABD学△ACD・・.zADB二zADC/.ZBDF二zFDC在厶BDF与厶FDC中 BD=DCZBDF=ZFDCDF=DF.\△FBD竺厶FCD.\BF=FC 29、(12分)如图: AB二CD,AE=DF,CE=FB.求证: AF二DE。 因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF二EF+FB所以三角形ABE二三角形CDF因为角DCB二角ABFAB二DCBF=CE三角形ABF二三角形CDE所以AF=DE 30•公园里有一条仅”字形道路ABCD,如图所示,其中AB //CD.在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,Al, 试说明三只石凳E,F,加恰好在一条直线上. 证: AB平行CD(已知)ZB=ZC(两直线平行,内错角相等)M在BC的中点(已知)・•・EM=FM(中点左义)在厶BME和厶CMF中BE=CF (已知)ZB=zC(已证)EM=FM(已证)・•・△BME全等与△CMF(SAS)Z.ZEMB=ZFMC (全等三角形的对应角相等) ・•・zEMF=ZEMB+ZBMF=ZFMC+ZBMF=zBMC=180°(等式的性质) ・・・E,M,F在同一直线上 31・已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BEIIDF, BE=DF.求证: △ABE旻△CDF. 证明: •••AF二CE.・・AF+EF二CE+EF・・・AE二CF.・BE//DF/.ZBEA=ZDFC又 •・・BE=DF・・・ZlABE旻ZlCDF(SAS) 32•已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E.F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF. 连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得: 角ABC=角ADC在结合已知条件证得: △ADE^AABF 得AE=AF 33.如图,在四边形ABCD中,E是4C上的一点,Z仁Z2,Z3=z4,求证: z5=Z6. 因为角仁角2Z3=Z4所以角ADC二角ABC.又因为AC是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以Z5=Z6 34.己知BC//EF,D,C在妒上,且如求证: △ ABC^/^DEF. 因为D,C在AF上且AD二CF所以AC=DF又因为AB平 行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角阮“=角F(两直 线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形全等 35.已知: 如图,AB=AC.BD1AC,CE1AB.垂足分别为D、E,BD、CE相交于点仁求证: BE二CD. 证明: 因为AB二AC,所以ZEBC=ZDCB因为 BD丄AC,CE丄AB所以ZBEC=ZCDBBC=CB (公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以 BE=CD 36、如图,在ZkABC中,AD为ABAC的平分线,DELABTE,DF丄AC于化 求证: DE二DF・ AAS证ZkADE^AADF 37.已知: 如图异C丄BC于C,DEIAC于E,AD1AB于4,BC=AE. 长? 角。 =角E=90度 角8=角EAD=90度-角BAC BC=AE AABC^ADAE AD二AB=5 38.如图: AB二AC,ME丄AB,MF丄AC,垂足分别为E、F,ME二MF。 求证: MB=MC 证明・・•AB二AC .•.△ABC是等腰三角形ZB=ZC 又•・・ME=MF,△BEM和厶CEM是直角三角形 ・•・△BEM全等于△CEM/.MB=MC 39•如图,给出五个等量关系: ①AD=BC②AC=BD③CE=DE④ZD=ZC⑤ZDAB=ZCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: 求证: 证明: 已知1,2求证4因为AD二BCAC二BD,在四边形ADBC中,连AB所以△ADB全等于△BCA所以角"角C 以4,5为条件,1为结论。 RP: 在四边形ABCD中,ZD=ZC.ZA=ZB,求证: AD=BC因为ZA+ZB+ZC+ZD=360zD=ZC,ZA=ZB,所以2(zA+ZD)=360°,ZA+ZD二180°,所以AB//DC 40.在ZVIBC中,ZACB=90°,AC=BC.直线MTV经过点C,且4D丄MTV于D, BE丄MN于E.(D当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ACEB: ②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1)证明: \ZACB=9O\/.ZACD+ZBCE=9O°,而AD丄MN于D,BE丄MN于E, /.ZADC=ZCEB=90°,zBCE+ZCBE=90°,.•-ZACD=ZCBE・在RMADC和RdCEB中,[ZADC=ZCEBzACD=ZCBEAC=CB,・\RtAADC^RtACEB(AAS),.•・AD二CE,DC=BE>・•・DE二DC+CE二BE+AD: (2)不成立,证明: 在厶ADC和△CEB中,[ZADC=ZCEB=90°ZACD=ZCBEAC=CB, ・•・△ADC竺△CEB(AAS),・・.AD二CE,DC=BE.DE=CE-CD=AD-BE; 41・如图所示,已知AE丄AB,AF丄AC,AE二AB,AF二AC。 求证: (1)EC=BF: (2)EC丄BF (1)证明;因为AE垂直AB所以角EAB二角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=^CAB+角BAF=90度所以角EAC二角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA/F (2) (2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=/fiF(已证)所以角6=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF (3) CF丄AB,BM二AC,CN二AB。 求证: (1)AM二AN: 证明: (1)VBE丄AC,CF丄AB/.ZABM+ZBAC=90\ ZACN+ZBAC=90°.\ZABM=ZACNtBM二AC, CN=AB.\△ABM竺△NAC・・・AM二AN (2) ・・•△ABM^△NAC・・.ZBAM=ZNtZN+ZBAN=9O0/.ZBAM+ZBAN=90c即ZMAN二90°・・・AM丄AN 43.如图,已知ZA二ZD,AB=DE,AF=CD,BC=EE求证: BC/7EF连接BF、CE, 证明△ABF全等于△DEC(SAS), 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 44・如图,已知AC〃BD,EA、EB分别平分ZCAB和ZDBA,CD过点E,则AB与AC+BD相 等吗? 请说明理由 在AB上取点N,使得AN二ACZCAE二ZEAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以ZANE二ZACE又AC平行BD 所以ZACE+zBDE=180而ZANE+ZENB=180 所以ZENB=ZBDEZNBE=ZEBNBE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN所以AB二AN+BN二AC+BD45、(10分)如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE〃CF・ 证明「・・AD是中线・•・BD二CD・・DF=DE, zBDE=ZCDF・・・△BDE旻△CDF/.ZBED二ZCFD.\BE||CF 46、(10分)已知: 如图,4B=CD,DEA.AC,BF1AC.E,F是垂足,DE=BF・ 求证: AB〃CD・ 证明: •・・DE丄AC,BF丄AC,.IZDEC=ZAFB=90°,在RtADEC和RtABFA中,DE二BF,AB二CD,/.RtADEC^RtABFA,・•・ZC=ZA,・•・ABIICD. 47. (10分)如图,已知Z仁Z2,Z3=Z4>求证: AB=CD 【待定】 48、(10分)如图,已知AC丄AB,DB1AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大 小与位置关系,并证明你的结论. 结论: CE>DE。 当ZAEB越小,则DE越小。 证明: 过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件知 AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且厶DFB为等腰三角形。 RTaBAE中,ZAEB为锐角,即 ZAEB<90°・・・DF//AE/.ZFDB=zAEB<90°ADFB中 ZDFB=zDBF=(180°-ZFDB)/2>45°RTaAFB中,zFBA=90°-zDBF<45° ZAFB=90°-zFBA>45°・・・AB>AF.・AB=CEAF=DE.\CE>DE49、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证: AE=DE. 先证明△ABC9ABDC的出角ABC二角DCB在证明△ABE^ADCE 得出AE二DE 图9 50.如图9所示,AABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ZADC=ZBDE. 证明: 作CG平分ZACB交AD于GTZACB=90°.\ZACG=ZDCG=45°VZACB=9O° AC=BC・・・ZB=ZBAC=45°.\ZB=ZDCG=ZACGtCF丄AD.1 ZACF+ZDCF=90° •・・ZACF+ZCAF=90°.\ZCAF=ZDCFtAC=CB ZACG=ZB・・・△ACG竺△CBE・・・CG=BETZDCG=ZB CD二BD・・・△CDG竺△BDE・・・ZADC=ZBDE
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