概率论与数理统计知识点总结.docx
- 文档编号:944016
- 上传时间:2023-04-30
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:111.75KB
概率论与数理统计知识点总结.docx
《概率论与数理统计知识点总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计知识点总结.docx(12页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
概率论与数理统计知识点总结
基本公式要掌握
首先必须会计算古典型概率,这个用高中数学的知识就可解决,如果在解古典概率方面有些薄弱,就应该系统地把高中数学中的概率知识复习一遍了,而且要将每类型的概率求解问题都做会了,虽然不一定会考到,但也要预防
万一,而且为后面的复习做准备。
第一章内容:
随机事件和概率,也是后面内容的基础,基本的概念、关系一定要分辨清楚。
条件概率、全概率公式和贝叶斯公式是重点,计算概率的除了上面提到的古典型概率,还有伯努利概型和几何概型也是要重点掌握的。
第二章是随机变量及其分布,随机变量及其分布函数的概念、性质要理解,常见的离散型随机变量及其概率分布:
0-1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松分布P(λ);连续性随机变量及其概率密度的概念;均匀分布U(a,b)、正态分布N(μ,σ2)、指数分布等,以上它们的性质特点要记清楚并能熟练应用,考题中常会有涉及.
第三章多维随机变量及其分布,主要是二维的。
大纲中规定的考试内容有:
二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度,随机变量的独立性和不相关性,常用二维随机变量的分布,两个及两个以上随机变量简单函数的分布.
第四章随机变量的数字特征,这部分内容掌握起来不难,主要是记忆一些相关公式,以及常见分布的数字特征。
大数定律和中心极限定理这部分也是在理解的基础上以记忆为主,再配合做相关的练习题就可轻松搞定。
数理统计这部分的考查难度也不大,首先基本概念都了解清楚。
χ2分布、t分布和F分布的概念及性质要熟悉,考题中常会有涉及。
参数估计的矩估计法和最大似然估计法,验证估计量的无偏性、有效性是要重点掌握的。
单个及两个正态总体的均值和方差的区间估计是考点。
《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率
§1。
1随机事件
一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件:
二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性:
§1.2概率
古典概型公式:
P(A)=
实用中经常采用“排列组合"的方法计算
补例1:
将n个球随机地放到n个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?
解:
设A:
“每个盒子恰有1个球”.求:
P(A)=?
Ω所含样本点数:
Α所含样本点数:
补例2:
将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少?
解:
设Ai:
“信箱中信的最大封数为i”。
(i=1,2,3)求:
P(Ai)=?
Ω所含样本点数:
A1所含样本点数:
A2所含样本点数:
A3所含样本点数:
注:
由概率定义得出的几个性质:
1、0〈P(A)〈1
2、P(Ω)=1,P(φ)=0
§1。
3概率的加法法则
定理:
设A、B是互不相容事件(AB=φ),则:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
推论1:
设A1、A2、…、An互不相容,则
P(A1+A2+。
。
。
+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
推论2:
设A1、A2、…、An构成完备事件组,则
P(A1+A2+。
..+An)=1
推论3:
P(A)=1-P()
推论4:
若BA,则P(B-A)=P(B)-P(A)
推论5(广义加法公式):
对任意两个事件A与B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
补充-—对偶律:
§1。
4条件概率与乘法法则
条件概率公式:
P(A/B)=(P(B)≠0)
P(B/A)=(P(A)≠0)
∴P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)
有时须与P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)中的P(AB)联系解题。
全概率与逆概率公式:
全概率公式:
逆概率公式:
(注意全概率公式和逆概率公式的题型:
将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。
)
§1。
5独立试验概型
事件的独立性:
贝努里公式(n重贝努里试验概率计算公式):
课本P24
另两个解题中常用的结论——
1、定理:
有四对事件:
A与B、A与、与B、与,如果其中有一对相互独立,则其余三对也相互独立.
2、公式:
第二章随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列:
⑴确定各种事件,记为ξ写成一行;
⑵计算各种事件概率,记为pk写成第二行.得到的表即为所求的分布列。
注意:
应符合性质——
1、(非负性)2、(可加性和规范性)
补例1:
将一颗骰子连掷2次,以ξ表示两次所得结果之和,试写出ξ的概率分布。
解:
Ω所含样本点数:
6×6=36
所求分布列为:
补例2:
一袋中有5只乒乓球,编号1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以ξ表示取出3只球中最大号码,试写出ξ的概率分布。
解:
Ω所含样本点数:
=10
所求分布列为:
2、求分布函数F(x):
分布函数
二、关于连续型随机变量的分布问题:
x∈R,如果随机变量ξ的分布函数F(x)可写成F(x)=,则ξ为连续型。
称概率密度函数.
解题中应该知道的几个关系式:
第三章随机变量数字特征
一、求离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=?
数学期望(均值)
二、设ξ为随机变量,f(x)是普通实函数,则η=f(ξ)也是随机变量,求Eη=?
ξ
x1
x2
…
xk
pk
p1
p2
…
pk
η=f(ξ)
y1
y2
…
yk
以上计算只要求这种离散型的。
补例1:
设ξ的概率分布为:
ξ
-1
0
1
2
pk
求:
⑴,的概率分布;⑵。
解:
因为
ξ
-1
0
1
2
pk
η=ξ-1
-2
-1
0
1
η=ξ2
1
0
1
4
所以,所求分布列为:
η=ξ-1
-2
-1
0
1
pk
和:
η=ξ2
1
0
1
4
pk
当η=ξ-1时,Eη=E(ξ-1)
=-2×+(-1)×+0×+1×+×
=1/4
当η=ξ2时,Eη=Eξ2=1×+0×+1×+4×+×
=27/8
三、求ξ或η的方差Dξ=?
Dη=?
实用公式=-
其中,==
=
补例2:
ξ
-2
0
2
pk
0.4
0。
3
0。
3
求:
Eξ和Dξ
解:
=-2×0.4+0×0。
3+2×0。
3=-0。
2
2=(-2)2×0。
4+02×0。
3+22×0.3=2.8
=2-=2。
8-(-0。
2)2=2.76
第四章几种重要的分布(6个)
常用分布的均值与方差(解题必备速查表)
名称
概率分布或密度
期望
方差
参数
范围
0—1分布
二项分布
np
npq
0
q=1-p
正态
分布
μ
μ任意
σ〉0
泊松
分布
λ
λ
λ〉0
指数
分布
λ〉0
均匀
分布
解题中经常需要运用的Eξ和Dξ的性质(同志们解题必备速查表)
Eξ的性质
Dξ的性质
—-——--——
第八章参数估计
§8.1估计量的优劣标准(以下可作填空或选择)
⑴若总体参数θ的估计量为,如果对任给的ε>0,有
,则称是θ的一致估计;
⑵如果满足,则称是θ的无偏估计;
⑶如果和均是θ的无偏估计,若,则称是比有效的估计量。
§8.3区间估计:
几个术语——
1、设总体分布含有一位置参数,若由样本算得的一个统计量及,对于给定的(0〈〈1)满足:
则称随机区间(,)是的100(1-)%的置信区间,和称为的100(1-)%的置信下、上限,百分数100(1-)%称为置信度(置信水平).
一、求总体期望(均值)Eξ的置信区间
1、总体方差已知的类型
①据,得=1-,反查表(课本P260表)得临界值;
②=③求d=④置信区间(-d,+d)
补简例:
设总体随机取4个样本其观测值为12。
6,13。
4,12.8,13.2,求总体均值μ的95%的置信区间。
解:
①∵1-α=0。
95,α=0.05
∴Φ(Uα)=1-=0。
975,反查表得:
Uα=1.96
②
③∵σ=0.3,n=4∴d===0.29
④所以,总体均值μ的α=0.05的置信区间为:
(-d,+d)=(13-0。
29,13+0.29)即(12。
71,13.29)
2、总体方差未知的类型(这种类型十分重要!
务必掌握!
!
)
①据和自由度n-1(n为样本容量),查表(课本P262表)得;
②确定=和
③求d=④置信区间(-d,+d)
注:
无特别声明,一般可保留小数点后两位,下同。
二、求总体方差的置信区间
①据α和自由度n-1(n为样本数),查表得临界值:
和
②确定=和
③上限下限
④置信区间(下限,上限)
典型例题:
补例1:
课本P166之16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布,对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下(单位:
kg/cm2):
482493457471510
446435418394469
试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计(α=0.04)。
解:
①∵α=0.04,又n=10,自由度n-1=9
∴查表得,==19.7
==2。
53
②===457。
5
=[++…+]
=1240.28
③上限===4412。
06
下限===566。
63
④所以,所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为(566。
63,4412.06)
第九章假设检验
必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准
一般思路:
1、提出待检假设H0
2、选择统计量
3、据检验水平,确定临界值
4、计算统计量的值
5、作出判断
检验类型⑵:
未知方差,检验总体期望(均值)μ
①根据题设条件,提出H0:
=(已知);
②选择统计量;
③据和自由度n-1(n为样本容量),查表(课本P262表)得;④由样本值算出=?
和=?
从而得到;
⑤作出判断
典型例题:
对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验,抽查5个,得到爆破压力的数据(公斤/寸2)为:
545,545,530,550,545.根据经验爆破压认为是服从正态分布的,而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2,问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异?
(α=0.05)
解:
H0:
=549
选择统计量
∵=0。
05,n-1=4,∴查表得:
=2。
776
又∵==543
s2==57.5
∴==1.77〈2.776
∴接受假设,即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。
检验类型⑶:
未知期望(均值)μ,检验总体方差
①根据题设条件,提出H0:
=(已知);
②选择统计量;
③据和自由度n-1(n为样本容量),查表(课本P264表)得临界值:
和;
④由样本值算出=?
和=?
从而得到;
⑤若<<则接受假设,否则拒绝!
补例:
某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布,折断力方差=64,今从一批产品中抽10根作折断力试验,试验结果(单位:
公斤):
578,572,570,568,572,570,572,596,584,570.是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64?
(α=0.05)
解:
H0:
=64
选择统计量
∵=0.05,n-1=9,∴查表得:
==2。
7
==19
又∵==575。
2
s2==75.73
∴
∴=2。
7<〈=19
∴接受假设,即认为这批铜丝折断力的方差也是64。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 知识点 总结
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)